遵循認知發展規律 設計初中數學教學

陸智紅

[摘 要] 學生的成長遵循著一定的規律，教師若遵循學生的認知發展規律采取相應的教學手段，則可取得事半功倍的教學效果.文章從認知發展的不同階段的理論出發，分別以兩位教師執教“等腰三角形性質”的教學設計為例，從“以發展‘形式運算為導向”“教師的有效引導必不可少”“注重學材的再建構”三個方面談一些思考.

[關鍵詞]認知發展；教學；引導

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，數學教學需建立在學生實際認知水平與經驗基礎上實施.皮亞杰的認知發展理論作為教學活動、知識建構與學生認知發展的理論基礎，深刻描述了人類認知發生與發展的情況，揭示了人類認識這個世界的心理機制，是中學數學教學的心理學依據.事實證明，發展才是永恒的真理.

認知發展的階段

皮亞杰是認知發展理論的代表人物，他認為兒童身心發展需經歷如下四個階段：感知運動階段、前運算階段、具體運算階段與形式運算階段[1].

其中，具體運算階段是指7～11歲的兒童，以小學生為主.該階段已經具備了前兩個階段的一切品質，形成了表象邏輯思維，但這種思維需依托于具體事物.處于此階段的學生尚未形成自主抽象概念的能力，缺乏抽象邏輯思維.該階段兒童思維成熟最大的表現為“去集中化”.

形式運算階段是指11～16歲的兒童，中學生恰巧處于這個階段，此時，學生的思維與成人的思維已經非常接近，可以應用假設或命題的形式對數學事物進行思維.教師對這個階段學生進行授課時，需以發展學生的抽象邏輯思維為目標.

例析教學設計

究竟該如何將認知發展理論融入初中數學課堂中呢？筆者根據兩位教師對“等腰三角形性質”的教學進行類比分析，希望給讀者帶來啟發.

1.第一位教師的設計

師：如圖1，對折一張長方形的紙張，在折疊的那一邊沿著虛線剪下，看看得到一個怎樣的圖形.

學生操作，并提出這是一個等腰三角形.

追問：確定這是一個等腰三角形的理由是什么？

學生表示這個三角形的腰是折疊后沿著同一條虛線剪下而得來的，因此它們的長度相等，從圖上來看，即AB=AC.教師對學生的觀察力表示肯定，并提出進一步從三角形性質的角度來探究這個剪下來的圖形.學生經深入思考與分析，發現不僅僅存在AB=AC，還存在BD=CD.

師：非常好，根據BD=CD這個條件，有什么新的發現嗎？

生1：BD=CD，代表著D為BC的中點，因此線段AD為△ABC的中線.

師：很好！還有其他發現嗎？

生2：除了邊，還存在角相等的情況，分別是∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC.

師：還有補充嗎？

生3：有，根據∠ADB+∠ADC= 180°可知∠ADB=∠ADC=90°.

將三角形的邊角關系基本找全后，學生共同分析等腰三角形的性質，過程如下：根據∠B=∠C，可知等腰三角形ABC的兩個底角相等；根據∠ADB=∠ADC=90°，可知AD為底邊BC上的高，同時∠BAD=∠CAD，因此線段AD又是△ABC頂角的平分線.由此總結出三線（底邊上的高、中線與頂角的平分線）均為同一條線段AD.

獲得的性質有：①等腰三角形的兩個底角相等；②等腰三角形底邊的中線、高與頂角的平分線重合（三線合一）.

師：以上是大家通過觀察、分析與探究總結而來的結論，現在請大家嘗試用已知的定理來證明以上總結的兩個性質.

分析 此教學設計，將等腰三角形的中線通過折痕引出來.學生通過自主操作、觀察與分析，在合作交流中獲得了等腰三角形的性質.在后續的證明中，學生通過這條折痕獲得了“中線”這條關鍵性的輔助線，成功地解決了課堂教學的重點與難點.

從認知發展理論來看，處于該年齡階段的學生的思維水平基本達到形式運算階段，而處于形式運算階段的思維可以脫離具體事物形象性的支撐，通過抽象邏輯就能將相關知識從內容上實現分離，完成由具體向抽象的轉變.

這位教師以實踐操作為課堂導入方法，從認知心理學的角度出發，就是以具體運算階段為起點實施的教學.雖然從內容與形式上并沒有什么問題，而且能幫助學生從直觀操作中發現并抽象出等腰三角形的性質，但從學生認知水平與思維發展的角度來看，此過程使得學生的認知依然停留在具體運算階段，沒有達到初中生應有的形式運算水平.

2.第二位教師的設計

首先帶領學生回顧等腰三角形的定義，并要求學生在草稿紙上自主畫一個等腰三角形，標注出各條邊長，同時讓一位學生在黑板上演示作圖過程.

學生在黑板上先畫出三角形的一條邊，而后又畫出與第一條邊等長的第二條邊（與第一條邊共點），連接兩條邊的端點獲得一個等腰三角形.教師要求這位學生再在黑板上畫一個底邊為50厘米的等腰三角形，該生經過多次嘗試，卻以失敗告終.其他學生在草稿紙上，先畫出一條底邊，再畫兩條腰，也沒有能夠成功.

師：通過以上活動來看，在已知底邊的情況下，要直接畫出等腰三角形的腰確實存在一定的障礙，因為徒手畫圖出現誤差是難免的.遇到這種情況該怎么辦呢？

生4：之前遇到過無法依靠測量來完成的任務，可以通過等量關系的探尋來進行等價轉化，這里應該是找出兩條相等的邊.

師：很好，之前我們遇到過什么內容也需要通過等量關系的探尋來完成畫圖任務的？

生5：在學習角平分線時，是通過圓來獲得相等的角的.

在生5的提醒下，教師要求所有學生在自己的草稿紙上先畫出一個角，并通過畫圓的方式獲得相應的角平分線，同時思考：借鑒角平分線的畫法，怎樣能又快又準地畫出一個等腰三角形呢？

學生自主探索，教師投影其中一位學生的畫圖過程如下：如圖2，第一步作出三角形的底邊AB= 5 cm，鑒于所作圖形為等腰三角形，因此兩條腰的長度要大于AB的一半（該生所取的AC=BC=4 cm）；第二步，借助圓規進行作圖，先以A為圓心，4 cm為半徑畫圓，再以B為圓心，4 cm為半徑畫圓，所作的兩個圓相交成兩個交點；第三步，取一個交點C，分別連接AC，BC，所得的△ABC就是一個等腰三角形.

師：非常好！當初咱們在探索角平分線的畫法時，沒有應用量角器與直尺來作圖，而是通過等量關系獲得相應的圖形.借鑒此作圖經驗，這位同學同樣應用圓探尋出等腰三角形的兩條相等的邊.圖2中的兩個圓的半徑都是4 cm，顯而易見，AC=BC.請這位同學來說說為什么這樣作圖.

生6：我是從畫角平分線的方法中受到的啟發，畫兩個等圓，取它們的交點可快速得到角平分線.與之類似，仿照這種方法可以畫出等腰三角形.

師：解釋得非常清楚，觀察所畫出來的圖形，從中能發現等腰三角形的什么性質嗎？

面對這個問題，學生沉默不語.教師適時進行點撥，提出可以考慮作輔助線來探尋.

在教師的引導下，有學生立即提出如下思路：如圖3，設所作兩圓的另一個交點為E，分別連接EA，EB，EC，其中CE與AB交于點D.在△CEA與△CEB中，有AC=BC，BE=AE，CE=CE，根據三角形全等的判定定理中的“SSS”，可知△CEA≌△CEB，因此∠ACD=∠BCD.在△CDA與△CDB中，AC=BC，且∠ACD=∠BCD，根據三角形全等的判定定理中的“SAS”，可確定△CDA≌△CDB.（后面的性質探尋過程與第一位教師一樣，此略）

分析 從這位教師的教學設計來看，他對學生的實際認知水平比較了解，整個教學過程都是緊扣形式運算階段的思維特點進行的，沒有通過具體實物操作來引發學生探索與發現，而是引導學生借助自身原有的認知經驗進行知識的推理演算.因此，這是能夠促進學生認知發展的教學方法，值得推廣.

幾點思考

1.以發展形式運算為導向

教師的職責除了授課，更重要的是做好課堂的精心預設.這就要求教師充分了解學生的實際認知水平與經驗，設計貼合學生最近發展區的問題與教學方法等，以促進該階段學生的形式運算能力的發展.

對于等腰三角形性質的探究，第一位教師帶領學生從直觀操作著手，讓學生在直觀感知中獲得相應的知識.雖說取得的教學成效是一樣的，但從學生認知發展的角度來看，這屬于具體運算層面的設計，對于學生形式運算的發展幫助不大.

第二位教師以問題情境的方式引導學生從等腰三角形的畫法著手，以啟發學生思維的發散性.當學生在探索過程中思維出現卡殼時，教師鼓勵學生從畫角平分線的探索經驗中探尋出路.隨著思維的逐漸深入，學生在脫離直尺等具體事物支持的情況下，利用自己的邏輯關系發現了解決問題的具體方法，充分促進了學生形式運算的發展.

2.教師的有效引導必不可少

雖說學生是課堂教學的主體，但教師作為課堂的組織者與引導者，有著無可替代的重要作用.課堂中，教師的有效引導不僅能起到四兩撥千斤的作用，還能讓學生的思維豁然開朗，為學生形成系統的知識結構奠定基礎.實踐發現，以促進學生認知發展為前提的教學引導，可從以下幾點實施：

第一點，導之有趣，讓學生想學.興趣是學習最好的老師，也是激發學習動力的源泉.以上兩位教師的教學導入都比較成功.第一位教師以操作實踐作為導入的起點，讓學生在動手、動腦中對本節課教學內容產生探究興趣；第二位教師從充滿“數學味”的問題情境出發，成功地激起了學生的學習動機，讓課堂充滿活力.

第二點，導之有時，讓學生能學.教師的引導并非越多越好，而應在適當的時機加以引導，如在知識的生長點處、思維的卡殼點處等.如第二位教師的授課，學生在“作輔助線”的環節出現了障礙，教師則在這個關節口給予點撥，使得學生豁然開朗.

第三點，導之有法，讓學生會學.數學學習除了知識與技能的學習外，更重要的是讓學生獲得良好的發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力（簡稱“四能”），以及會用數學的眼光、數學的思維、數學的語言來觀察、思考與表達現實世界（簡稱“三會”）.這就要求教師注重學法的指導，讓學生在學習中主動提煉數學思想方法，獲得“四能”，形成“三會”.

3.注重學材的再建構

教材是教學的依據，但完全遵循教材的教學設計并不一定適用于每一個班級的學生.受社會、家庭與教育背景的影響，同一學段學生的認知水平也有著較大差別.這就需要教師從教材出發，但又不拘泥于教材，將教材與學生的實際認知水平有機地融合在一起，形成符合實際的個性化教學模式[2].

第二位教師的授課，雖然說沒有完全遵循教材安排，但整個教學過程都以發展學生的思維為教學目標，充分尊重了學生的認知發展規律，每一個環節的教學活動都落在學生的最近發展區內，有效促進了學生邏輯推理能力的形成與發展.

學材呈現的知識點都是固定不變的內容，但學生的思維卻是靈活多變，具有生命力的.因此，教師應在充分了解學生與教材的基礎上實施學材再建構，可促進學生形式運算階段思維的有效發展.事實證明，依據教材并超越教材的教學設計，是學生擴充知識，突破自身原有認知水平的基礎.

總之，認知發展理論對初中數學教學確實有指導意義，但在學生情感與數學文化等方面卻涉及較少.因此，教師在進行教學設計與教學活動的過程中，應全方位考慮學生的實際需求，辯證地看待認知發展理論對數學教學的作用.

參考文獻：

[1] 戴維·謝弗.發展心理學：兒童與青少年[M].鄒泓，譯.北京：中國輕工業出版社，2009.

[2] 加洛蒂.認知心理學（第3版）[M]吳國宏，譯.西安：陜西師范大學出版社，2005.