小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識(shí)培養(yǎng)的有效途徑

陳清泉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）將數(shù)學(xué)建模分為小學(xué)階段的模型意識(shí)和初中階段的模型觀念，相比2011年版課標(biāo)的模型思想更加具體，更符合學(xué)生的年齡特征和更突顯層次性。在核心素養(yǎng)中將模型意識(shí)歸入數(shù)學(xué)語言的主要表現(xiàn)范疇之中，彰顯數(shù)學(xué)模型的抽象性、簡(jiǎn)潔性、概括性與系統(tǒng)性，針對(duì)小學(xué)階段，如何培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)，總結(jié)如下幾點(diǎn)。

一、了解模型意識(shí)——培養(yǎng)模型意識(shí)之根本

一直以來，模型思想被當(dāng)作數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想方法之一，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在很多時(shí)候都成了數(shù)學(xué)建模的過程。在建模過程中，什么是模型意識(shí)，成為擺在教師面前的一個(gè)問題，針對(duì)模型意識(shí)，《新課標(biāo)》的解釋是“模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”。從其內(nèi)涵看，模型意識(shí)主要包括三個(gè)特征：一是采用形式化的數(shù)學(xué)語言；二是用來表述一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或解決一類數(shù)學(xué)問題；三是知道數(shù)學(xué)模型的作用并有意識(shí)地加以運(yùn)用。其外延主要是對(duì)數(shù)學(xué)中各種概念、公式、理論和數(shù)學(xué)關(guān)系的理解與領(lǐng)悟。教學(xué)中使學(xué)生知道數(shù)學(xué)各種概念、公式、法則、定理等的基本作用，能夠認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中大量的事物或問題都可以抽象結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)建構(gòu)，并有意識(shí)地用數(shù)學(xué)模型予以解釋，則是模型意識(shí)的體現(xiàn)，教師只有懂得模型意識(shí)的范疇，才能有意識(shí)加以引導(dǎo)與培養(yǎng)。

二、精選數(shù)學(xué)問題——培養(yǎng)模型意識(shí)之基礎(chǔ)

1.創(chuàng)設(shè)問題情境，孕育模型意識(shí)之溫床

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開問題情境的創(chuàng)設(shè)，問題與情境是相輔相成的，問題以情境為土壤，情境以問題為靈魂。在教學(xué)中，教師所創(chuàng)設(shè)的情境應(yīng)是數(shù)學(xué)情境，提出的問題應(yīng)建立在數(shù)學(xué)情境的基礎(chǔ)之上，使問題——情境——數(shù)學(xué)三者融為一體。我們?cè)u(píng)價(jià)一個(gè)問題情境，重要的是看其所創(chuàng)設(shè)的問題是否指向數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，是否引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和推進(jìn)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的實(shí)施與發(fā)展。在實(shí)際教學(xué)中，我們常看到一些教師創(chuàng)設(shè)的問題情境不僅豐富多彩、活潑有趣，還凸顯了問題的本質(zhì)，為數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)提供了孕育的溫床。如，四年級(jí)“用數(shù)對(duì)確定位置”，這個(gè)內(nèi)容學(xué)習(xí)之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了用直線上的點(diǎn)描述數(shù)的順序和大小關(guān)系以及用方位來描述方向，具有了平面上確定位置的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。在本課教學(xué)中，教師以某軍事小組執(zhí)行掃雷任務(wù)創(chuàng)設(shè)情境，掃雷小組來到一條小路（用一條線段表示），先后在它的終點(diǎn)、中點(diǎn)、路上任意點(diǎn)和路外任意點(diǎn)發(fā)現(xiàn)地雷，讓學(xué)生描述出這些地雷的位置。學(xué)生在情境中清楚地認(rèn)識(shí)到精準(zhǔn)描述地雷的位置的重要性，為后面行、列的確定，以及用數(shù)對(duì)確定位置打下良好的基礎(chǔ)。

2.精選數(shù)學(xué)問題，開啟模型意識(shí)之航程

《新課標(biāo)》在第二學(xué)段和第三學(xué)段目標(biāo)中分別指出：“嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，探索分析和解決問題的方法，經(jīng)歷獨(dú)立思考并與他人合作交流解決問題的過程，形成初步的模型意識(shí)”“嘗試在真實(shí)的情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，探索運(yùn)用基本的數(shù)量關(guān)系，以及幾何直觀、邏輯推理和其他學(xué)科的知識(shí)、方法分析與解決問題，形成模型意識(shí)”。從中我們發(fā)現(xiàn)模型意識(shí)的培養(yǎng)雖是漸進(jìn)式的，但都離不開數(shù)學(xué)問題這一有效載體，憑借情境問題，學(xué)生在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，分析和解決數(shù)學(xué)問題，在問題解決和數(shù)學(xué)探究中逐步形成模型意識(shí)。那么應(yīng)該如何精選數(shù)學(xué)問題？我認(rèn)為一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題，它應(yīng)該既能夠啟發(fā)學(xué)生的思維，又能夠指向思維更深層次的發(fā)展，它應(yīng)該成為統(tǒng)領(lǐng)整節(jié)數(shù)學(xué)課教學(xué)活動(dòng)的靈魂，為整節(jié)課的教學(xué)發(fā)揮導(dǎo)向作用。如，在教學(xué)“確定位置”一課時(shí)，教師在學(xué)生描述出小路終點(diǎn)和中點(diǎn)兩顆雷之后，針對(duì)小路中任意點(diǎn)的第三顆地雷和小路外部的第四顆地雷，提出：“用什么辦法確定第三（四）顆地雷的位置？請(qǐng)?jiān)趯W(xué)習(xí)單上畫一畫，并試著描述第三（四）顆地雷的位置。”以這一問題為導(dǎo)向，學(xué)生借助量一量、畫一畫，在操作活動(dòng)中逐步認(rèn)識(shí)到要確定地雷的位置，必須以小路的一端為坐標(biāo)，懂得地雷縱向、橫向距坐標(biāo)軸的距離并用數(shù)量表示，為確定行、列以及用數(shù)對(duì)確定位置打下了基礎(chǔ)。因此，從問題情境中精選數(shù)學(xué)問題，并以具體的問題為導(dǎo)向，讓學(xué)生經(jīng)歷建模過程是培養(yǎng)模型意識(shí)的基礎(chǔ)。

三、經(jīng)歷抽象本質(zhì)——培養(yǎng)模型意識(shí)之關(guān)鍵

新課程要求數(shù)學(xué)教學(xué)必須發(fā)揮學(xué)生的主體作用。同樣，數(shù)學(xué)建模過程也應(yīng)是以學(xué)生為主體，在學(xué)生自主理解、合作探究、總結(jié)推廣基礎(chǔ)上的一種建構(gòu)過程，教師要組織學(xué)生充分感知大量的感性材料，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、舉例、驗(yàn)證、歸納等推理過程，引導(dǎo)學(xué)生從感性材料中總結(jié)出數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)這些問題的共性，從而概括出其本質(zhì)屬性，進(jìn)而建構(gòu)成具有高度概括性的數(shù)學(xué)模型。這種從具體到一般，從感性到理性的抽象過程，有助于學(xué)生模型意識(shí)的培養(yǎng)。如，教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”一課時(shí)，教師從學(xué)生熟悉的三角尺導(dǎo)入，讓學(xué)生說說三角尺的特點(diǎn)。學(xué)生從三角尺的邊、角入手，回顧了一副三角尺中三個(gè)角的度數(shù)，并得出三個(gè)角的度數(shù)之和是：45°+45°+90°=180°、30°+60°+90°=180°。是不是所有三角形的內(nèi)角和都等于180°？學(xué)生有了猜想后，于是開展小組合作。在小組合作中學(xué)生經(jīng)歷畫（做）三角形并測(cè)量出三角形的內(nèi)角和、折一折使三角形的三個(gè)角成一平角和將三角形的三個(gè)角拼成一個(gè)平角等過程，驗(yàn)證得出任意三角形的內(nèi)角和都等于180°。

在這一過程中，學(xué)生經(jīng)歷了從一副三角尺到所畫（做）的任意三角形，得出“三角形的內(nèi)角和都是180°”這一從特殊到一般的抽象過程，有效地培養(yǎng)了學(xué)生在推理與建構(gòu)中數(shù)學(xué)模型意識(shí)的培養(yǎng)。

四、依托數(shù)學(xué)思想——培養(yǎng)模型意識(shí)之靈魂

數(shù)學(xué)模型的核心是數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)建模的過程必須有相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法支撐。《新課標(biāo)》將數(shù)學(xué)基本思想列為“四基”之一，指出教學(xué)活動(dòng)必須“促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想與方法，獲得數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，常見的數(shù)學(xué)思想有：概括思想、歸納思想、轉(zhuǎn)化思想、抽象思想、分類思想、類比思想、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、符號(hào)化思想與模型思想等，這些思想既是數(shù)學(xué)思想中最基本的部分，也是最核心的部分，需要教師在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中結(jié)合知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)，結(jié)合建模過程加以滲透。審視數(shù)學(xué)建模過程，概念的建構(gòu)、公式的推導(dǎo)、規(guī)律的揭示、結(jié)論的總結(jié)等，無不蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)思想的發(fā)生與運(yùn)用過程，教師若能在建模過程中向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想及方法，使學(xué)習(xí)成為一個(gè)明思想、重過程、促發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，能更好地增加建模的思維厚度，催化建模的理性提升。如，教學(xué)“平行四邊形的面積”一課時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了長(zhǎng)方形的面積，并有了一定的測(cè)量基礎(chǔ)，教學(xué)時(shí)教師安排如下幾個(gè)活動(dòng)。活動(dòng)一：出示一個(gè)畫在方格紙上的平行四邊形，數(shù)一數(shù)這個(gè)平行四邊形的面積是多少？反饋時(shí)，學(xué)生有的直接用數(shù)格子的方法，有的沿高線切開通過平移變成一個(gè)長(zhǎng)方形，再計(jì)算長(zhǎng)方形的面積。這一過程中，學(xué)生直觀地體會(huì)到平行四邊形的形狀發(fā)生了變化，但面積始終不變，初步體會(huì)到了運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法可以使平行四邊形的面積計(jì)算變得簡(jiǎn)單。活動(dòng)二：動(dòng)手操作，將平行四邊形紙片通過剪一剪、拼一拼等方法，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形，之后小組交流得到的長(zhǎng)方形與原平行四邊形之間的關(guān)系，最后得出平行四邊形的面積計(jì)算公式“平行四邊形的面積=底×高”。在這一過程中，教師依托轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，建構(gòu)了平行四邊形的面積計(jì)算公式，并使學(xué)生體會(huì)到面積公式這一模型的簡(jiǎn)潔性與普適性，培養(yǎng)了學(xué)生的模型意識(shí)。

五、借助問題解決——培養(yǎng)模型意識(shí)之沃土

《新課標(biāo)》在模型意識(shí)的內(nèi)涵中指出：“能夠認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋。”可見，在數(shù)學(xué)建模過程中，學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、舉例、驗(yàn)證、歸納等活動(dòng)從具體問題抽象出數(shù)學(xué)模型后，整個(gè)建模過程看似結(jié)束，實(shí)則遠(yuǎn)未停止。此時(shí)，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)模型放至現(xiàn)實(shí)生活中去，用數(shù)學(xué)模型去解釋生活中的現(xiàn)象，在實(shí)踐中既豐富了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的表象，深化了模型的內(nèi)涵，又檢驗(yàn)了模型特征，拓展了模型的外延。如：在“平行四邊形的面積”這一課，學(xué)生結(jié)合轉(zhuǎn)化的思想方法，建構(gòu)出平行四邊形的面積公式后，教師安排了“綜合應(yīng)用，鞏固拓展”的環(huán)節(jié)：（1）（出示一組平行四邊形）先說說平行四邊形的底和高，再計(jì)算它們的面積；（2）（根據(jù)一個(gè)平行四邊形相鄰的兩條邊和一條高的長(zhǎng)度，產(chǎn)生的不同的面積計(jì)算方法）判斷哪種方法正確，為什么？（3）一塊平行四邊形菜地，底是12米，高是底的一半，求這塊菜地的面積。要解決這些問題，必須依靠平行四邊形的面積公式，學(xué)生在解決這些問題的過程中，頭腦不斷閃現(xiàn)平行四邊形的底和高與面積的關(guān)系，再現(xiàn)了平行四邊形面積公式的建構(gòu)過程，也體會(huì)到了面積公式的適用性，再次發(fā)展了學(xué)生的模型意識(shí)，讓模型意識(shí)在問題解決過程中不斷生根發(fā)芽。

結(jié)語：模型意識(shí)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一，是模型觀念培養(yǎng)的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)使用多種方法、途徑培養(yǎng)模型意識(shí)，讓核心素養(yǎng)真正落地。