以圖促思，讓學生“畫”出一片精彩

蔡彥

數學是研究數量關系與空間形式的科學，它是抽象概括的，同時也是直觀形象的。畫圖正好可以把“數與形”相結合，圖能把學生接收的信息和想法直觀地呈現出來，將抽象的數學問題直觀化、形象化。畫圖是學生們打開數學大門的一把“金鑰匙”，能讓數學知識由繁變簡，由難變易，對于發展學生的空間想象能力、思維能力、觀察能力、遷移能力、計算能力、解決問題能力、創新能力等都具有深遠的影響。

一、以圖助學，讓學習真可視

小學生的思維處于具體形象階段，幫助學生從具體過渡到抽象，畫圖成為一個重要的方法，它在學生思維和數學學科知識之間架起了一座橋梁，讓學生的思維呈現于畫中，讓思維可視化，這樣不但豐富了數學課堂，還提高了學生學習數學的興趣。

數學概念是數學知識的重要組成部分、其結論是抽象的，如何幫助學生從機械的記憶過渡到意義的理解就需要借助直觀圖形。如，“分數的初步認識”一課教學中：分數作為小學階段數概念教學中一個非常重要的概念，是學生學習整數之后第一次數域擴展的學習內容。分數和自然數一樣有計數單位，可以比較大小，可以計算，也是學生學習小數的輔助工具。相比較自然數和小數，分數出現在學生實際生活中的概率較小，雖然有些孩子能口頭說出一些分數，但對于分數意義的理解和掌握，學生是存在困難的。本課我的教學策略是使用“畫圖法”，從視覺與觸覺通道積累對分數的感性經驗，通過形的直觀彌補數的抽象，加強對概念的理解。

教學過程如下：

環節一：揭示課題，自學1/2的讀寫及各部分名稱

同學們，今天我們要學習一種新的數，你們知道是什么數嗎？（此時，引發學生的發散思維）

你們見過分數嗎？誰來說一說并寫出幾個分數？怎樣正確讀寫分數，請教書本老師，自學數學書。

在學生的交流匯報中完成分數讀寫及各部分名稱的認識。

環節二：畫圖表征，理解的本質含義

1.請學生動手畫圖，用自己的方式表示。

2.展示作品，學生介紹。

師提問：都是，有什么相同點？（由圖對比提取本質）

師：這些，有什么不同？（由圖再次對比）

追問：為什么不同的圖形都能找到它的？（由圖第三次對比，理解含義）每個圖形平均分成兩份，每份都是這個圖形的一半，都是這個圖形的。

師：除了平均分圖形，平均分物體可不可以也得到？（生畫圖或說一說）這里的2表示什么？1又表示什么？（在圖中深刻理解的含義，感受分數的相對性）

環節三：繼續畫圖表征，理解其他分數的本質含義。

師問：分數只有嗎？你能表示出其他分數嗎？

此時，學生的思維是發散的，在理解分數意義的基礎上，自發畫圖，學生創造出了許多分數。

通過多次畫圖，讓學生認識到了分數的本質，把知識挖得更深，在有效的時間里學生學得透徹，學得明白。

小學階段無論是整數、分數還是小數的認識，或是他們的進制和意義都離不開圖形的幫忙。教學中采取將概念、定理、性質等與直觀圖形相結合的方法，可以展現概念的本質內涵，實現教師“可視”的教與學生“可視”的字，從而引發學生深度學習，促進概念的意義建構。

二、以圖釋理，讓理解真發生

計算教學中，要使學生計算能力強，算法靈活，最重要的是讓學生理解算理，這個“理”是學生不容易理解的，我們可以通過現實情境、直觀的圖、學生已有的知識基礎等幫助學生去理解。用圖溝通算理與算法。

如，“小數乘法”是人教版數學五年級上冊第一單元的內容。在學習小數乘法以前，學生學習的內容都是兩個整數相乘求積，從數位順序表來看，兩個整數相乘的積的計數單位要么和以前的計數單位一樣，要么從右往左出現更大的計數單位，也就是說，積會變大（0和1除外）。小數乘整數的學習與前面學習過的兩個整數相乘是有聯系的，但是也有區別，小數乘法的算理以乘法的意義和小數的意義為基點，遷移承接整數乘法的計算規則，當學生學習小數與小數相乘以后，就會遇到積比因數小的情況。學生利用知識遷移按照整數乘法計算的方法來做后，結果到底等于幾呢？一部分學生會產生疑惑或困難，畫圖就成為學生自發尋求“突圍”的重要手段。通過畫圖不斷地類比、辨析，就能從本質上認識小數乘法的意義和算理。

教學：“小數乘整數”，學生對于計算“0.4×3”有著一定的經驗，會利用加法或轉化為整數乘法，很快就能得出結果是1.2。學生能計算出結果，并不能代表能清晰地理解算理，如果教學就此停步，直接進入練習環節，學生的“會”只是表象，一旦進入小數乘小數及以后的小數乘法計算，就會發現學生錯誤百出、后患無窮。我們應該出示算式“0.4×3后，充分讓學生用多種形式直觀地表征出0.4，再呈現3組這樣的0.4。有的學生畫計數器，有的學生畫格子圖，在直觀圖形的基礎上以整數乘法“4×3=12”推導出“0.4×3=1.2”。引導學生對這些方法進行解釋、對比關聯，發現這些不同形式的理解表征有共同點：即都在表示4個0.1為一組，共有3組就是有12個0.1的意思，0.4×3=1.2可以理解為是在計算有幾個0.1，也就是在計算計數單位的個數。

教學：“小數乘小數”，我們就可以順勢而為：

環節一：畫圖表征，理解算理

1.布置任務：不列豎式，計算各題，并畫圖表示計算過程。

3×5 ? 3×0.5 ? 0.3×0.5 ? 0.3×0.05

2.尋找學生的典型作品并展示。

3.整體反饋。

（1）計算這四道算式時有什么相同的地方？

（2）討論算理。

①層次一：整數乘法的算理。

問：哪幅圖你能一眼就看明白是怎么畫的？

生：作品1“3×5”表示5個3，畫了3行5列，算出15個一。

②層次二：小數乘法的算理。

討論1：3×0.5的畫法。

生：作品2，把3個一看作一個整體，平均分成10份，取其中的5份，就是3個0.5，陰影部分表示15個0.1，也就是1.5。這里1小格就是0.1，3×0.5就是在算有幾個0.1。

討論2：0.3×0.5的畫法。

生1：作品3，把整個正方形看作整體“1”，平均分成10份，取其中的3份就是0.3，然后再把0.3看作一個整體，平均分成10份，取其中的5份，也就是0.3的0.5倍，是0.15。0.3×0.5，計算經歷兩次平均分，把一個整體平均分成了100份，產生了新的計數單位0.01，0.3×0.5就是在算這樣的15個0.01。

討論3：0.3×0.05的畫法。

生：作品4，0.3×0.05，是把單位1平均分成10份，然后再把0.3平均分成100份，相當于把單位“1”平均分成了1000份，0.3×0.05就是計算“3×5”個0.001。

總結：小數乘法的計算，就是在不斷平均分的過程中產生新的計數單位，也是在計數新計數單位的個數。

環節二：溝通聯系，拓展延伸

師：整體觀察上面四幅圖和算式，在計算過程中有什么相同點？

生：不管是整數乘法，還是小數乘法，都是在算計數單位的個數。

總結：整數乘法、小數乘法的算理是相同的，都是數計數單位的個數。以后會學習到分數乘法，道理也是一樣的。

通過圖處理好算理直觀與算法抽象的關系，打通整數乘法和小數乘法的本質，都是計算計數單位的個數，體現運算的一致性。

三、以圖促思，讓思維真進階

數形結合是一種思維，同時也是一種思想。學生在畫圖中可以經歷形成思維，優化思維，最后成為一種思維習慣的過程。在這一過程中學生能彰顯個性，發散思維，使學生的學習有深度和寬度，從源點走向遠點。

例如，在解決這樣的題：會場原來每排20座，有15排，擴建后每排增加5座，增加3排，擴建后共增加多少個座位？

學生自發想到的算式是：（20+5）×（15+3）-20×15，但是常常就有學生會有這樣的錯誤，會認為5×3就是增加的座位數，這時教師及時追問：你們同意這樣的想法嗎？這樣的題，學生解釋起來比較費口舌，而且也不是很清晰。

這時，如果我們通過長方形的圖去表示，3×5為什么會是錯的？就不言而喻了。我們能發現：白色部分是原有的座位，黑色部分是增加的座位，所以我們通過這個圖不僅能解釋出5×3為什么錯？而且還可以幫助學生去理解，除了剛才的算法，還有哪些算法呢？看圖這個問題也就迎刃而解了。學生能快速想到其他算法并能輕松解決，其原因主要還是直觀的長方形圖，激活了學生有關組合圖形面積的知識與技能。以圖為討論、思辨的對象，學生在交流對話中自覺調動認知經驗參與分析、判斷、推理等數學活動，繼而進行自我優化，促進了思維的提升。

在日常的教學中，我們要有意識地培養學生見數想形、見形想數的意識和習慣。把算式形象化，學生看到算式就聯想到圖形，看到圖形就能聯想到算式。例如：5×5，你能想到什么？邊長5厘米的正方形的面積，邊長是5厘米的正五邊形的周長，5的5倍的線段圖，5個度數為5的角度之和。

在圖形與幾何中，更要重視通過畫圖直觀觀察與直觀理解。如，在三年級上冊“長方形和正方形”單元例5：用同樣個數的小正方形去拼長方形和正方形，這樣一個周長規律的變化時，就是要通過學生親身操作拼、擺、畫，然后通過觀察長和寬，越來越接近的變化，進而得到結論：長和寬越接近的時候，周長越短。但是當教師繼續追問：你能不能說一說為什么呢？因為許多學生是數出來的，所以根本說不出理由，這個時候，圖的幾何直觀作用就體現出來了。用圖解釋起來是很輕松的，重合在圖形里邊的邊長越多，留在外邊，作為這個新圖形的邊長就越少，所以長和寬越接近，圖形的周長就越短。對于學生來說這樣的教學，不僅僅是得到一個結論，更是在這樣的操作和過程當中去真正地理解和感受到了為什么會有這樣的結論，最大限度地發揮學生的探究本能和思維的連續生長。

畫圖能力的培養需滲透在每一節課中，可以讓學生的理解真正有章可循、由淺入深，激活學生思維，提升數學學科素養，真正實現從知識立意向智慧立意的轉變。