圓錐曲線中平面幾何特征的靈活應用

吳明飛

［摘? 要］ 圓錐曲線中經常涉及幾何圖形問題，其中直線與圓錐曲線的位置關系至關重要，是解析幾何中重要的題型之一. 另外，特殊的幾何圖形的性質也要深入挖掘，這樣才能更有效地解決問題.

［關鍵詞］ 圓錐曲線；中點弦；等腰三角形；斜率

解析法是求解圓錐曲線問題最基本的方法，但往往有煩瑣的推理和計算過程. 而平面幾何特征通常能夠提供非常簡潔的方法，幫助優化解題過程. 筆者借助實例，探究平面幾何特征對解決圓錐曲線問題的作用，下文是教學中筆者的一些實踐和思考.

試題呈現

方法解析

注 由等腰三角形可得其底邊的中線與弦垂直，這里就涉及弦中點問題. 上述解法先聯立直線與橢圓的方程，運用韋達定理求出弦中點的坐標，然后通過直線垂直建立參數的等量關系，最后由Δ>0求出k的取值范圍. 此解法思路明確，但運算量不小. 進一步思考以上求解過程，發現可以優化解題步驟. 對于弦中點問題，我們常常利用點差法求解，更容易找到中點與已知條件之間的關系. 下面介紹由點差法得到的一個重要結論（結論1）.

注 上述解法運用了結論1和等腰三角形的性質. 等腰三角形可以轉化到直線垂直，從而刻畫出直線斜率的數量關系，而中點弦也含有直線斜率間的關系，故將直線斜率作為橋梁，能更加有效、簡潔地解決問題.

用解法2很好地解決了橢圓中的等腰三角形問題，對于雙曲線中的等腰三角形問題，情況又是怎么樣的呢？下面繼續研究利用直線斜率間的關系解決雙曲線中的等腰三角形問題，首先觀察下面這個結論（結論2）.

橢圓中的弦中點在橢圓內部，可以保證直線與橢圓有兩個交點，而雙曲線是不封閉的曲線，那么弦中點落到雙曲線哪個區域可以保證直線與雙曲線有兩個交點呢？這是必須解決的雙曲線中點弦存在性問題.

教學反思

1. 把握數學本質，強化幾何特征

中點弦與等腰三角形相結合的問題，可借助平面幾何特征，通過有效轉化（將直線斜率作為橋梁），把該問題變得簡單清晰，從而順利地解決了該問題. 從解析幾何的性質突破，拓寬解題思路，化繁為簡，才能使得解法靈活多樣.

2. 凸顯內在聯系，挖掘思想方法

在教學中，要凸顯圓錐曲線和特殊幾何圖形的性質以及內在邏輯聯系，挖掘其隱含的思想方法，以發展學生數學學科核心素養為導向，啟發學生思考，引導學生把握平面幾何特征和本質，提倡學生獨立思考，合作交流，激發學生的興趣，提高教學的實效性.

參考文獻：

［1］ 林麗娟，楊萬江. 關于圓錐曲線弦中點問題的解法再探［J］. 中學數學，2000（05）：21-23.

［2］ 黃富春. 雙曲線中有關中點弦存在性問題的探索［J］. 中學數學研究，2006（03）：40-41.