析真題 引教學 育素養
——以2023年全國甲卷理科第12題為例

邢鐵軍

(甘肅省酒泉中學)

1.真題呈現

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2.解法探究

【點評】從本質講,解法1、2、3、7屬于同種解法,即求出點P的坐標,利用兩點間的距離公式求出|OP|,但求點P坐標的途徑不同,解法1屬于通法,解法2利用橢圓焦點三角形面積的一個二級結論,解法3利用焦半徑公式,解法7利用橢圓的參數方程.解法4利用中點的向量參數式方程,解法5利用向量極化恒等式的三角形模式,解法6數形結合法,充分利用橢圓的對稱性和平行四邊形的性質.結合本題客觀題的屬性,解法2、3、4、5、6都運用了解析幾何中常用的二級結論,從中我們可以看出在客觀題中充分利用一些常用的二級結論會使問題變得簡單、運算變得簡潔,避免“小題大做”的弊端,符合客觀題“小題小做、小題巧做、快速得分”的思路.

“不同工業通信協議的時代已經一去不返。”貝加萊戰略與創新副總裁Stefan Schonegger如是說道。

3.拓展推廣

4.幾點啟示

2023年全國甲卷理科的第12題,打破往常選擇題導數壓軸的慣常,難度降低,特別對中檔學生利好,使得大部分學生敢想敢做能做,起點低、思路廣、方法多,通過多種方法探究,深度剖析試題的內涵價值,對于指導和引領數學日常教學與高考備考復習都有積極作用.

4.1 基礎知識階段教學應立足教材,重視概念教學

概念是數學學習的起點,只有正確形成概念,方能掌握和運用數學知識.教材是知識、方法、思想的重要載體.在解析幾何基礎知識的教學中,應以教材為主,摒棄丟掉教材、教輔資料為主的教學形式.重視概念教學,其一要重視概念的形成過程,注重為學生理解概念創設情景,如在解析幾何教學中,課堂應留空白,采取學生親自動手實驗或信息技術手段畫出橢圓、雙曲線和拋物線,讓學生體會曲線的形成過程,掌握獲得曲線的基本活動經驗,為深刻認識各種曲線提供直觀感覺,培養學生直觀想象核心素養;其二,要重視相近概念之間的區別和聯系,感悟數學的整體性,如三大曲線的統一定義中的相同點和不同點,培養學生邏輯推理核心素養;其三,數學中的任何定義都是可逆的,既要重視概念的正面理解更要重視概念的逆用,解析幾何中利用概念解題是首要掌握的,例如2022年全國乙卷第5題、第11題、2021年全國甲卷第5題、2022年全國甲卷第20題都是直接考查拋物線、雙曲線的定義問題.

4.2 深化和升華典型例題和習題的價值功能

從近年高考試題看,教材是產生高考題的主要來源,相當數量的高考題源于教材,即使是綜合題,也是基本題整合、加工而成.基礎知識教學階段,應該以典型例題、習題為主要解題教學對象,充分發揮例題的示范功能,同時挖掘習題背后隱藏的潛在價值,串聯例題、練習、習題和復習題四個試題板塊,引導學生利用歸納、整合等基本邏輯方法將其歸類,如在平面解析幾何中可歸類為概念類、標準方程類、中點弦類、離心率類、直線與曲線的位置關系類等,特別注意試題中蘊含的二級結論及其推導過程,尋找共性、掌握通法,深挖蘊含的數學思想,從而順應現行高考“反套路、機械刷題”的思路.

案例1:探究橢圓的產生方式

(1)求動點M的軌跡方程,并指出隨m變化時方程表示的曲線C的形狀.

通過課本一個例題和一道習題的教學,其一,引導學生準確認識不同曲線,從不同角度理解橢圓概念,提高學生的數學運算、直觀想象、邏輯推理核心素養;其二,滲透分類討論等數學思想;其三,引導學生總結除橢圓定義外,產生橢圓的其他形式,進一步有:

定義3：平面內到兩定點A(-a,0)和B(a,0)連線的斜率之積為m,當m<0且m≠-1時,表示焦點在x軸上除去這兩點的橢圓.

通過縱向串聯例題和習題的教學我們得到橢圓的另外兩種產生方式,分別叫做橢圓的第二、第三定義.例如2009年全國高考數學文理科第20題(瓊、寧卷)、2013年全國卷Ⅰ理科第20題(文科第21題)、2013年大綱卷理科第8題、2013年陜西文科第22題、2019年全國Ⅰ理科第10題、2022年高考全國甲卷數學理科第10題等都是以橢圓的三個定義為背景命制的高考題.

4.3 重視經典問題

縱觀歷年解析幾何部分的高考試題可以看出,高考從不回避經典,“定義、焦點三角形、中點弦、垂徑定理、極點極線、阿基米德三角形”等問題常考常新.題在書外,根在書內,這些經典知識教材中或以例題出現或以習題出現,或以閱讀形式出現,教學中一定要重視對這些經典問題的研究和積累,讓學生理解掌握經典問題的知識背景,通過變式探究、特殊到一般、拓展延伸等路徑進行歸納總結讓一些知識形成定理作為二級“結論”積累下來使用.如解法2中焦點三角形的面積公式、極化恒等式等都可由課本例題或習題探究得到.

案例2:探究橢圓中的垂徑定理

以該知識點為背景的高考試題有2013年新課標Ⅱ卷理科第20題、2015年新課標文科Ⅱ第20題、2015年新課標Ⅱ理科第20題等.

4.4 重視向量工具的使用

平面向量作為數形結合思想的典范,架起了代數與幾何的橋梁,在解析幾何教學中要充分利用向量工具性的作用,加強與向量的融合,利用等價轉化思想將問題轉化為向量問題,利用向量的幾何性質或者代數運算解決問題,如證明線段垂直可轉化證明對應向量垂直、夾角(銳角、直角、鈍角)問題可利用向量的數量積解決、直線恒過定點可利用直線的向量參數式方程或向量定比分點公式等證明.

4.5 重視多解探究和變式教學

解題教學中應注意多解探究,在多解探究和變式教學中注意以下幾個方面:一是例題的典型性,可選擇真題中的典型試題開展;二是重視過程分析,重點引導學生思考破題視角和思路分析及思維訓練;三是注重總結復盤,包括條件轉化方法、模型構建方法、運算簡化方法等,對比不同方法的優勢與不足,讓學生掌握各種方法的使用思路,達到快速準確解題.

總之高考真題是命題者智慧和心血的結晶,教材是知識的主要載體,在雙減、反機械刷題等政策的大背景下,充分研究真題、探究真題與教材的聯系,對于一線教學具有重要的啟示意義.