信息智慧轉(zhuǎn)化 基礎(chǔ)變式拓展
——以對(duì)正四面體與正方體自由旋轉(zhuǎn)的思考為例

李長(zhǎng)波 余繼光

(1.江蘇南京市南京大學(xué)附屬中學(xué);2.浙江省紹興市柯橋中學(xué))

將旋轉(zhuǎn)體隱藏在內(nèi)多面體與外多面體之間,探究它們之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系,成為空間想象能力訓(xùn)練的一個(gè)熱點(diǎn),“自由旋轉(zhuǎn)”一詞引起學(xué)習(xí)者思考,什么幾何體可以自由旋轉(zhuǎn)呢?只有球體!然而一個(gè)多面體在另一個(gè)多面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),需要考慮兩個(gè)球,內(nèi)多面體的外接球與外多面體的內(nèi)切球,于是想到如果內(nèi)多面體的外接球能夠放入外多面體的內(nèi)切球內(nèi),就可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)多面體的自由旋轉(zhuǎn),本文思考正四面體,正方體內(nèi)放入正四面體或正方體時(shí)自由旋轉(zhuǎn)的相關(guān)空間位置關(guān)系與度量關(guān)系問題.

引子:學(xué)生面對(duì)《浙江新陣地教育聯(lián)盟2024屆高三數(shù)學(xué)聯(lián)考》(測(cè)試題1)時(shí),遇到一個(gè)多面體在另一個(gè)多面體內(nèi)“自由旋轉(zhuǎn)”情境時(shí),由于題干表面是多面體,并不能自由旋轉(zhuǎn),問題情境中雖然給出“內(nèi)切球”“外接球”的暗示,但缺少兩者的直觀想象,空間想象能力較弱者不知將題設(shè)問題向何處轉(zhuǎn)化,從而產(chǎn)生思維障礙,學(xué)生的思維痛點(diǎn)引發(fā)我們的深入思考.

一、“自由旋轉(zhuǎn)”題型審題的基礎(chǔ)

1.一個(gè)正四面體在另一個(gè)正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)

題型1.一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正四面體A—BCD在另一個(gè)棱長(zhǎng)為b的正四面體E—FGH內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)

(1)a與b之間的不等關(guān)系是什么?

(2)b為定值,a的最大值為多少?

(3)a為定值,b的最小值為多少?

圖1

借助于直觀圖形給學(xué)生解讀“自由旋轉(zhuǎn)”,正四面體A—BCD在其外接球O1內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),正四面體E—FGH在其內(nèi)切球O2外自由旋轉(zhuǎn),而O1在O2內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),從而實(shí)現(xiàn)正四面體A—BCD在正四面體E—FGH內(nèi)“自由旋轉(zhuǎn)”.

題型2.兩個(gè)小正四面體放進(jìn)一個(gè)大正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)

兩個(gè)棱長(zhǎng)為a的小正四面體A—BCD在另一個(gè)棱長(zhǎng)為b的大正四面體E—FGH內(nèi)自由旋轉(zhuǎn).

(1)a與b之間的不等關(guān)系是什么?

(2)b為定值,a的最大值為多少?

(3)a為定值,b的最小值為多少?

【解析】?jī)蓚€(gè)小正四面體的外接球放入大正四面體E—FGH的內(nèi)切球內(nèi),才能保證“自由旋轉(zhuǎn)”,設(shè)正四面體A—BCD外接球半徑為R,正四面體E—FGH內(nèi)切球半徑為r,則2R≤r.

2.一個(gè)正四面體在一個(gè)正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)

題型1.一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正四面體E—FGH在一個(gè)棱長(zhǎng)為b的正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)

(1)a與b之間的不等關(guān)系是什么?

(2)b為定值,a的最大值為多少?

(3)a為定值,b的最小值為多少?

題型2.兩個(gè)小正四面體在一個(gè)正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)

兩個(gè)棱長(zhǎng)為a的小正四面體A—BCD在棱長(zhǎng)為b正方體EFGH—E1F1G1H1內(nèi)自由旋轉(zhuǎn).

(1)a與b之間的不等關(guān)系是什么?

(2)b為定值,a的最大值為多少?

(3)a為定值,b的最小值為多少?

【解析】?jī)蓚€(gè)小正四面體的外接球放入正方體EFGH—E1F1G1H1的內(nèi)切球內(nèi),則4R≤b.

3.一個(gè)正方體在一個(gè)正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)

題型1.一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1在一個(gè)棱長(zhǎng)為b的正四面體E—FGH內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)

(1)a與b之間的不等關(guān)系是什么?

(2)b為定值,a的最大值為多少?

(3)a為定值,b的最小值為多少?

題型2.兩個(gè)小正方體在一個(gè)大正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)

兩個(gè)棱長(zhǎng)為a的小正方體ABCD—A1B1C1D1在一個(gè)棱長(zhǎng)為b的大正四面體E—FGH內(nèi)自由旋轉(zhuǎn).

(1)a與b之間的不等關(guān)系是什么?

(2)b為定值,a的最大值為多少?

(3)a為定值,b的最小值為多少?

4.一個(gè)正方體在另一個(gè)正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)

題型1.一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1在另一個(gè)棱長(zhǎng)為b的正方體EFGH—E1F1G1H1內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)

(1)a與b之間的不等關(guān)系是什么?

(2)b為定值,a的最大值為多少?

(3)a為定值,b的最小值為多少?

以上正四面體或正方體放入正四面體或正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)思考,滲透了多面體的內(nèi)切球與外接球的數(shù)量關(guān)系思考,為空間圖形綜合問題求解奠定了思維基石.

二、“自由旋轉(zhuǎn)”測(cè)試題型

新高考數(shù)學(xué)在空間想象能力核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)中,常將多面體與旋轉(zhuǎn)體綜合在一個(gè)問題中,最常見的題型是在題干中直接提供多面體與旋轉(zhuǎn)體,然而“自由旋轉(zhuǎn)”題型將旋轉(zhuǎn)體隱藏在多面體中,提升了空間想象能力評(píng)價(jià)的力度,在一個(gè)問題中綜合了兩個(gè)多面體與兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體(內(nèi)切球與外接球),而且將它們的位置關(guān)系隱藏其中,這正是符合《普通高考數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的水平測(cè)試的要求:“能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中,借助圖形的性質(zhì)和變換(平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn))發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律;能夠描述簡(jiǎn)單圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系及其特有性質(zhì)”.

測(cè)試題1(多選題)(浙江新陣地教育聯(lián)盟2024屆高三聯(lián)考)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,正四面體E—FGH的棱長(zhǎng)為a,則以下說法正確的是

( )

A.正方體ABCD—A1B1C1D1的內(nèi)切球直徑為4

測(cè)試題2(多選題)已知正四面體A—BCD的棱長(zhǎng)為4,正四面體E—FGH的棱長(zhǎng)為a,則以下說法正確的是

( )

D.若正四面體A—BCD放入正四面體E—FGH內(nèi)可以自由旋轉(zhuǎn),則a的最小值是3

三、空間圖形新題型拓展

空間圖形的新題型著力于提升檢測(cè)學(xué)生的空間想象能力,面對(duì)空間圖形的新信息時(shí),學(xué)生的理解是有層次的,于是,在高考立體幾何復(fù)習(xí)訓(xùn)練中,要多種方式提升學(xué)生的空間想象能力.

幾何模型訓(xùn)練法:利用立體幾何中多面體(正方體,四面體等)模型,在直觀教具引導(dǎo)下,養(yǎng)育學(xué)生的空間想象能力,比如,一個(gè)正方體模型,如圖2,其中六個(gè)面的面對(duì)角線是用橡皮筋連接的.

圖2

請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)面數(shù)大于6的多面體?畫出設(shè)計(jì)的多面體的直觀圖.

變式1.正方體框的棱為鐵絲,面對(duì)角線為橡皮筋,將一組對(duì)面的面對(duì)角線橡皮筋交點(diǎn)處向外拉,如果構(gòu)成一個(gè)多面體,它是幾面體?

變式2.正方體框的棱為鐵絲,面對(duì)角線為橡皮筋,將兩組對(duì)面的面對(duì)角線橡皮筋交點(diǎn)處向外拉,如果構(gòu)成一個(gè)凸多面體,它是幾面體?

變式3.正方體框的棱為鐵絲,面對(duì)角線為橡皮筋,將三組對(duì)面的面對(duì)角線橡皮筋交點(diǎn)處向外拉,如果構(gòu)成一個(gè)凸多面體,它是幾面體?

變式4.變式1—3中,數(shù)一數(shù)它們有多少棱、多少個(gè)面、多少個(gè)頂點(diǎn)?棱數(shù)、面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)之間有什么規(guī)律嗎?

列表來加以研究:

條件面數(shù)F頂點(diǎn)數(shù)V棱數(shù)E規(guī)律性正方體68126+8-12=2各面中心連成八面體86128+6-12=2相對(duì)兩面中心向外拉成十二面體d∈(0,0.5)12102012+10-20=2增加兩面中心向外拉成十八面體d∈(0,0.5)18143018+14-30=2再增加兩面中心向外拉成二十四面體d∈(0,0.5)24184024+18-40=2當(dāng)d=0.5時(shí),十二面體12102012+10-20=2當(dāng)d=0.5時(shí),十四面體14122414+12-24=2

歐拉公式:F+V-E=2

邏輯推理訓(xùn)練法:立體幾何中位置關(guān)系的推理證明是檢測(cè)學(xué)生空間想象能力的重要陣地,比如,如圖3,AC為圓O的直徑,B為圓周上不與點(diǎn)A,C重合的點(diǎn),PA垂直于圓O所在的平面,連接PB、PC、AB、BC,AN⊥PB,AS⊥PC,連接SN,試判斷互相垂直的平面有哪幾對(duì)?并能逆推法展示.

圖3

新高考數(shù)學(xué)試卷中的空間圖形命題正在以檢測(cè)學(xué)生“創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力”為目標(biāo),創(chuàng)設(shè)新穎題型(舉例題、數(shù)據(jù)題、開放題等)來檢測(cè)學(xué)生空間想象能力與邏輯推理能力,高三最后階段數(shù)學(xué)復(fù)習(xí),除了動(dòng)手刷題訓(xùn)練外,動(dòng)手舉例實(shí)踐與動(dòng)腦提出問題的訓(xùn)練也十分必要,這樣在高考數(shù)學(xué)考試中才能無(wú)實(shí)物空間想象與邏輯推理,才能培養(yǎng)或篩選出來創(chuàng)新型人才,以適應(yīng)人工智能時(shí)代對(duì)人才的要求.