從一題多解到一題多變,提升學(xué)生的關(guān)鍵能力
——以求三角形面積或周長的范圍為例

鄧成兵

(四川省成都市航天中學(xué)校)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》中提出,高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,通過數(shù)學(xué)解題教學(xué)去落實“四基”“四能”,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),達(dá)到學(xué)生用科學(xué)方法分析問題、解決問題,才有利于引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為自己的思維方式,實現(xiàn)這一目標(biāo),需要提升學(xué)生的關(guān)鍵能力,借此筆者就以一題多解到一題多變?yōu)槔?提升學(xué)生的關(guān)鍵能力與大家交流.

一、概念界定

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力:指在數(shù)學(xué)情境中發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的,為達(dá)到某種特定目標(biāo)或完成某項任務(wù)而付諸努力的一種綜合性能力,包括問題分析解決能力、數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力、創(chuàng)造力和批判性思維能力等.

一題多解指運用不同的思維方式,從不同角度來解答同一道題的思考方法.經(jīng)常進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練,能從多種解法的對比中優(yōu)選最佳解法,總結(jié)解題規(guī)律,尋找創(chuàng)造性的解題方法,有益于學(xué)生解題技巧的形成和能力的提高,從而提升學(xué)生批判思維、創(chuàng)造性思維和自主學(xué)習(xí)能力等.

一題多變是指變換題目的條件或結(jié)論,變換題目的形式,或者將某項條件與結(jié)論交換等,而題目所考查的實質(zhì)不變,變化的目的是從不同角度、不同方向揭示題目的本質(zhì).通過一題多變,讓學(xué)生在變化中總結(jié)解題方法,從變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,從變中發(fā)現(xiàn)“不變”,從而解決一類問題,遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”,從而提升學(xué)生創(chuàng)新能力、邏輯思維能力和舉一反三能力等.

二、案例分析

一題多解,培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新的發(fā)散思維.通過一題多解的訓(xùn)練,學(xué)生可以從多角度、多途徑解決問題的方法,拓展解題思路.

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題時,不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概況、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程.一題多解,可以幫助學(xué)生學(xué)會多角度分析和解決問題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和非認(rèn)知能力.下面以2023·四川石室中學(xué)高考適用性考試(一)第14題為例,通過“一題多解”探究如何提升學(xué)生的關(guān)鍵能力.

【題目呈現(xiàn)】(2023·四川石室中學(xué)高考適用性考試(一)·14)在△ABC中內(nèi)角A,B,C對邊分別為a,b,c,若b+2cosB+bcosA=6,a=2,求S△ABC最大值.

【分析】本題屬于傳統(tǒng)題,利用余弦射影定理把acosB+bcosA轉(zhuǎn)化為c,得到兩邊的和與第三邊,利用余弦定理+基本不等式或轉(zhuǎn)化為橢圓的第一定義求解.

2.1 題之一問,問之一解

解：把a=2代入b+2cosB+bcosA=6,由余弦射影定理可得:b+c=6.

解法一:余弦定理+基本不等式

解法二:海倫公式+基本不等式

解法三:類比化歸思想

【評析】解法一利用余弦定理構(gòu)造方程,用∠A表示bc,代入三角形面積第二公式,S△ABC轉(zhuǎn)化關(guān)于∠A的三角函數(shù),最后利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行求解;解法二利用海倫公式+基本不等式進(jìn)行求解;解法三利用類比化歸思想,發(fā)現(xiàn)b+c=AC+AB=6>BC=2恰好滿足橢圓的第一定義(數(shù)形結(jié)合),再結(jié)合橢圓的焦點三角形求面積的最大值,動點A運動到短軸的端點處時有最值.從三種解法發(fā)現(xiàn):解法二利用海倫公式求三角形的面積,在高中階段沒作要求;解法三利用橢圓的第一定義求解,但絕大部分同學(xué)難以想到;解法一利用余弦定理、三角函數(shù)進(jìn)行求解,雖然運算量大,但解法一是求有關(guān)三角形問題的常規(guī)解法;所以,求三角形有關(guān)面積或周長的范圍或值,有兩種途徑:

(1)利用正、余弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角,利用三角函數(shù)進(jìn)行求解;(2)數(shù)形結(jié)合求解.

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過這樣一句話:“掌握數(shù)學(xué)也就意味著要善于解題.”如何挖掘題目的內(nèi)涵和價值呢?筆者認(rèn)為可以借助思維導(dǎo)圖來完成.這對進(jìn)一步提高學(xué)生的解題能力,完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有著重要作用.如本題可以畫出它的思維導(dǎo)圖,如圖所示:

通過一題多解,讓學(xué)生從不同的角度思考問題,得到多種解題思路,更好地理解數(shù)學(xué)知識,增強解題能力,還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力.為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力,增強學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和提高數(shù)學(xué)解題能力,需要積極開展“型異質(zhì)同”或“型近質(zhì)同”題目的訓(xùn)練——一題多變.例如把上題中的條件改為已知一邊與一角或兩邊,如何求三角形面積或周長的范圍呢?

2.2 解之一變,變之一通

解法一：余弦定理+基本不等式

解法二：正弦定理+三角恒等變換

【點評】解法一主要利用余弦定理+基本不等式求三角形的面積和周長的范圍,求解過程比較容易,易錯點為漏掉三角形兩邊之和大于第三邊這一隱含條件,從而得到錯誤答案(2,6];解法二主要利用正弦定理+三角恒等變換,這種方法是求三角形面積和周長的通解通法,思路比較清晰,但解題過程比較煩瑣.如果把△ABC改為銳角三角形,其他條件不變,求三角形的面積和周長的范圍時,上面兩種方法都能用嗎?為什么呢?

【分析】如果△ABC為銳角三角形,利用余弦定理+基本不等式求解,整個求解過程中,無法體現(xiàn)此三角形是銳角三角形,所以只能利用正弦定理+三角恒等變換求解.

解法一：正弦定理+三角恒等變換

解法二：數(shù)形結(jié)合

解法一：正弦定理+三角恒等變換

解法二：數(shù)形結(jié)合

【變式4】在銳角△ABC的內(nèi)角A、B、C對邊分別為a、b、c,若b=2,a=3,求△ABC面積與周長的取值范圍.

解法一：余弦定理+極限思想

解法二：數(shù)形結(jié)合

通過上面一題多變發(fā)現(xiàn),如果知道銳角三角形的一邊一角或兩邊,可以求出此三角形的面積與周長的范圍,有兩種思路:思路一:利用正、余弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角,利用三角函數(shù)進(jìn)行求解,此方法是通解通法,求解時一定要注意所求解角的取值范圍;思路二:數(shù)形結(jié)合,此方法高效,省時省力對學(xué)生的關(guān)鍵能力要比較高;當(dāng)然,若是鈍角三角形,已知一邊與一角、兩邊求其面積或周長的取值范圍,其解法與銳角三角形對應(yīng)的解法相似.

三、教學(xué)反思

“一題多解與一題多變”的教學(xué)方法,有助于調(diào)動學(xué)生思維和行動的積極性,主動參與知識方法和系統(tǒng)的構(gòu)建,啟發(fā)學(xué)生自主分析、思考,逐步引導(dǎo)學(xué)生從簡單到復(fù)雜的途徑來拓展知識視野,增強獲取知識的能力,激發(fā)創(chuàng)新思維.教師在教學(xué)中不僅要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,而且要善于幫助學(xué)生學(xué)會及時歸納、總結(jié)、提煉,解決問題的過程實際上就是尋求認(rèn)識問題的正確途徑,使學(xué)生分析、綜合、評價能力得以逐步提高,實現(xiàn)由“解題”向“解決問題”的轉(zhuǎn)變;幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.