數(shù)形結(jié)合探思路,深度分析練思維

張建文

(甘肅省岷縣第一中學(xué))

直觀想象素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一,是數(shù)學(xué)思維能力的重要體現(xiàn).培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的主要方式就是在不斷解決問題的過程中逐步訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的能力.圖象是函數(shù)的直觀表示,更是函數(shù)的靈魂,函數(shù)問題的分析解答通常是以其圖象為引路方向,函數(shù)圖象通常引導(dǎo)文本書寫過程,函數(shù)圖象的展現(xiàn)使得函數(shù)富有生機(jī)與趣味.

深度分析與淺顯表達(dá)是培養(yǎng)學(xué)生思維的重要方式.所謂深度分析就是在原問題解決的基礎(chǔ)上探究其發(fā)生的深層次原因以及更一般化的結(jié)論,而淺顯表達(dá)則是在深度分析的基礎(chǔ)上用比較淺顯而直觀的語言解釋與表達(dá).在函數(shù)圖象教學(xué)過程中,深度分析主要從“一點(diǎn)兩線”進(jìn)行探究,引導(dǎo)學(xué)生體會繪制函數(shù)圖象過程中的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性.

1.探究函數(shù)的“關(guān)鍵點(diǎn)”——分界點(diǎn).函數(shù)有零點(diǎn)、駐點(diǎn)、極值點(diǎn)和拐點(diǎn)等,不同類型的點(diǎn)處于函數(shù)圖象的不同位置.一般地,零點(diǎn)區(qū)分函數(shù)值的正負(fù),是函數(shù)圖象處于x軸上下部分的分界點(diǎn);極值點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性變化的分界點(diǎn),而拐點(diǎn)是函數(shù)增減速率變化的分界點(diǎn).

2.探究端點(diǎn)附近的“親密線”——漸近線.若函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(x0,+∞),且f(x0)無意義,則f(x)可能存在漸近線.通過定量分析而實(shí)現(xiàn)定性判斷,進(jìn)而繪制準(zhǔn)確的函數(shù)圖象.漸近線的意義在于確定函數(shù)圖象的邊界,能夠直觀確定函數(shù)的屬性,蘊(yùn)含著極限思想和幾何美感.

3.探究函數(shù)的“放縮線”——切割線.切線是割線的極限位置,切線與割線相伴而生,借助切割線能夠?qū)瘮?shù)值進(jìn)行有效放縮,在不等式證明和函數(shù)值近似計(jì)算過程中發(fā)揮著不可代替的價(jià)值,同時(shí)通過圖象觀察利用切割線進(jìn)行數(shù)值放縮是比較直觀而易得的思路.

數(shù)形結(jié)合是一種問題解決方法,更是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的有效手段.在函數(shù)問題中,數(shù)與形的結(jié)合通常體現(xiàn)為函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的有機(jī)結(jié)合與轉(zhuǎn)化,具體包括“由式探形”與“以形助式”這兩個方面.利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題,最終都是先以式探形,再以形助式,其基本流程是:式→形→式.本文重點(diǎn)以例說明如何利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行深度分析.

一、由式探形

由式探形就是根據(jù)函數(shù)解析式或等價(jià)函數(shù)繪制函數(shù)圖象并探究函數(shù)圖象的“一點(diǎn)兩線”,通常借助方程f(x)=0,f′(x)=0和[f′(x)]′來探究“關(guān)鍵點(diǎn)”,利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性,利用洛必達(dá)法則求極限來探究函數(shù)圖象的漸近線.

1.求極限探漸近線,求二階導(dǎo)找拐點(diǎn)

漸近線是函數(shù)圖象的輔助直線,是函數(shù)圖象在某一區(qū)域內(nèi)無限靠近但無法相交的直線,對于理解函數(shù)單調(diào)性和值域有重要意義.一般地,通過探究函數(shù)值的變化情況來研究漸近線.在函數(shù)單調(diào)性明確的情況下,我們通常會進(jìn)一步探究函數(shù)圖象的凹凸性,以期達(dá)到深度分析和強(qiáng)化訓(xùn)練思維的效果.

圖1

圖2

小結(jié)與反思：函數(shù)單調(diào)性的判斷不僅要觀察導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),更要看定義域的組成形式,若定義域是中間斷開的,函數(shù)有可能存在漸近線,需要我們利用洛必達(dá)法則進(jìn)行深入判斷.同時(shí)利用二階導(dǎo)數(shù)可以進(jìn)一步判斷單調(diào)函數(shù)增減速率變化情況,由式探形,進(jìn)一步準(zhǔn)確繪制函數(shù)圖象.

2.看式似有漸近線,洛必達(dá)法則解惑

根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),分式函數(shù)在分母為零的位置通常會存在漸近線,但在某些特殊函數(shù)中并不存在漸近線,就需要我們利用洛必達(dá)法則求極限來判斷.

圖3

3.觀式構(gòu)圖辨位置,導(dǎo)數(shù)正負(fù)巧判斷

導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷是確定函數(shù)單調(diào)性的前提,對于復(fù)雜導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)中的部分因式,在保證其正負(fù)取值一致的情況下,我們通常將其等價(jià)轉(zhuǎn)化成較簡單的式子,再通過構(gòu)造函數(shù)畫簡圖來確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù).

(1)討論函數(shù)f(x)在(0,π)上的單調(diào)性;

(2)若h(x)=f(x)-g(x),判斷h(x)的單調(diào)性.

深度分析：(1)f(x)=sinx-(x+a)cosx,則f′(x)=(x+a)sinx,x∈(0,π).可知sinx>0,f′(x)的正負(fù)由x+a決定.令x+a=0,得x=-a,-a與(0,π)的關(guān)系有三種情況,所以y=x+a的圖象與(0,π)的關(guān)系也有三種情況,如圖4.

圖4

①當(dāng)-a≤0,即a≥0時(shí),有x+a>0,f′(x)>0,所以f(x)在(0,π)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)-a≥π,即a≤-π時(shí),有x+a<0,f′(x)<0,所以f(x)在(0,π)上單調(diào)遞減;

③當(dāng)0<-a<π,即-π0,f(x)單調(diào)遞增.

圖5

①當(dāng)-a>0,即a<0時(shí),m(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,-a),遞減區(qū)間為(-∞,0)和(-a,+∞);②當(dāng)-a<0,即a>0時(shí),m(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-a,0),遞減區(qū)間為(-∞,-a)和(0,+∞);③當(dāng)-a=0,即a=0時(shí),m(x)在R上單調(diào)遞減.

小結(jié)與反思：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性關(guān)鍵在于確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值,通過將導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化成比較簡單的函數(shù),再根據(jù)其函數(shù)圖象來判斷函數(shù)值的正負(fù),從而確定原函數(shù)的單調(diào)性,需要注意的是,根據(jù)轉(zhuǎn)化后的函數(shù)圖象不能判斷原函數(shù)增減的快慢.在具體教學(xué)過程中我們可以比較轉(zhuǎn)化與不轉(zhuǎn)化之間的異同,體會轉(zhuǎn)化后函數(shù)圖象的神奇功效.

二.以形助式

以形助式就是借助函數(shù)圖象或是等價(jià)圖形,從中獲得問題解答思路或是對原問題進(jìn)行等價(jià)變形.一般地,在函數(shù)問題解決過程中,函數(shù)圖象作為函數(shù)問題解答的靈魂,起著隱形統(tǒng)領(lǐng)作用.

1.繪制切線與割線,放縮證明不等式

切線是割線的極限形式,切割線是與函數(shù)圖象聯(lián)系緊密的兩種直線.一般地,放縮有兩個方向:①縱向放縮,就是借助切線將函數(shù)值在切點(diǎn)附近進(jìn)行放大或縮小,或是求解函數(shù)值的近似值;②橫向放縮,就是將函數(shù)圖象上的點(diǎn)左移或右移到切割線上,從而實(shí)現(xiàn)對圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行放縮.切割線放縮法是一種證明不等式的重要手段,需要借助函數(shù)圖象的凹凸性,對函數(shù)圖象的繪制要求較高,在證明過程中能達(dá)到事半功倍的效果.

圖6

圖7

所以x1+x2

小結(jié)與反思：切割線放縮法是證明不等式的一種重要方法,就是結(jié)合函數(shù)圖象的凹凸性,利用切線和割線對自變量或函數(shù)值進(jìn)行放大或縮小,通常進(jìn)行一次放縮或兩次放縮.本題經(jīng)過兩次放縮,恰好證明了結(jié)論成立.在實(shí)際教學(xué)過程中,引導(dǎo)學(xué)生探究圖象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),挖掘圖象中隱含的信息,體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

2.以斜率尋找切點(diǎn),兩線合一證結(jié)論

公切線的證明通常有兩種方法:方法一,先求出曲線1的切線方程,再求出曲線2的切線方程,最后說明這兩條切線為同一條直線;方法二,先分別找出曲線1和曲線2的切點(diǎn)A,B,再分別計(jì)算曲線1和曲線2在切點(diǎn)處的切線斜率k1,k2和直線AB的斜率kAB,最后驗(yàn)證k1=k2=kAB.在具體問題中,應(yīng)堅(jiān)持具體問題具體分析,嘗試選擇最優(yōu)解答方法.

圖8

圖9

3.起始點(diǎn)引領(lǐng)探路,充要性嚴(yán)謹(jǐn)證明

在恒成立問題解答中,若分離參數(shù)等方法難以實(shí)現(xiàn),而且在端點(diǎn)處恰好滿足條件,則可以先找不等式成立的必要條件,再證明其充分性即可.在整個分析過程中,不等式作為明線,函數(shù)圖象作為暗線來引導(dǎo)問題解決.

小結(jié)與反思：在此問題解答過程中恰好有g(shù)(1)=0,而且分離參數(shù)等其他方法處理比較困難,所以我們可以考慮尋找其必要條件.結(jié)合函數(shù)簡圖(圖10),存在δ使得g(x)在(1,δ)內(nèi)遞增,即有g(shù)′(1)≥0,進(jìn)而得到一個必要條件,再證明其充分性即可.在實(shí)際教學(xué)過程中,要引導(dǎo)學(xué)生自然而然地思考問題,體會數(shù)學(xué)計(jì)算與證明的嚴(yán)謹(jǐn)性.

圖10

三、總結(jié)與展望

在直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)上,課標(biāo)要求能夠通過想象對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀表達(dá),反映數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),形成解決問題的思路,能夠在綜合的情境中,借助圖形,通過直觀想象提出數(shù)學(xué)問題.在具體教學(xué)過程中,教師要設(shè)置恰當(dāng)問題情境,從“由式探形”和“以形助式”這兩個方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考.對于數(shù)學(xué)問題的分析解答我們不能滿足于具體問題的答案,需要探究更一般的問題解答模型,引導(dǎo)學(xué)生深度分析準(zhǔn)確理解.