一道關于內切球題目的多種解法

劉昌領

(湖北省通山縣第一中學)

立體幾何的內切球是立體幾何模塊重要內容之一,也是高考的熱點問題之一,這類試題蘊含極為豐富的重要數學思想方法,對知識、方法、技能考查十分豐富,對邏輯推理、空間想象、數學建模、數學運算等核心素養考察全面,有很好的探究價值.筆者從一道關于內切球的題目切入,通過多維度多視角分析,得到三種解法.

一、原題呈現

本題以四棱錐為載體,在立體補形、等面積法、等體積法、解三角形等基礎知識的交會處精心設計,能較好地甄別學生的邏輯思維水平和推理能力,是一道優秀的階段性測試題.

二、解法探究

【分析1】由于所給條件是各側面頂角相等,結合常見空間立體幾何模型的結構特征,從而將其補形為正四棱錐.

【解法1】依題意可知:將四棱錐P-ABCD補成正四棱錐P-A1B1C1D1,如圖1所示,易知所有棱長都相等,且PA⊥PC,PB⊥PD.

圖1

【分析2】由于補形為正四棱錐,而正四棱錐內心在高上,根據條件可分析出本題四棱錐內心也在高上,再利用正四棱錐邊角關系可以方便計算出內心到頂點P的距離.

【解法2】如圖2所示,設四棱錐P-ABCD內切球球心為Q,則Q到底面ABCD距離為1,如圖3所示.

圖2

圖3

【評注】結合內心和勾股定理逆定理,以及等面積法進行計算.本法比法一簡單.

【分析3】根據正四棱錐底面中心與四棱錐底面中心和頂點三點共線,在△C1CT中,利用∠C1CT=∠PC1A-∠C1AH,和兩角差的正弦公式解三角形.

圖4

∵PB=PD,PB1=PD1,∴BD∥B1D1.又∵B1D1⊥面PAC1,∴BD⊥面PAC1.又∵BD?面ABCD,∴面ABCD⊥面PAC.過O1作O1H⊥AC于H,則O1H⊥面ABCD,即O1H=1.過C1作C1T⊥AC于T,如圖5所示.

圖5

三、一點感悟

本題得分率極低,分析原因有以下幾種:一是學生不會補形,對于一個不規則的立體圖形,第一感覺是恐慌,不敢嘗試.二是很多學生盲目刷題,追求數量.感悟太少,對典型熱點問題缺乏本質探索和深層次的研究,缺乏必要的拓展與延伸,不注重分析與思考;三是很多學生空間想象、邏輯推理、運算能力偏弱,一旦式子較復雜,就錯誤百出;四是很多學生面對壓軸題直接放棄,信心嚴重不足.

數學知識內部邏輯聯系緊密,很多問題可以多視角、多維度探索,尋求解決問題的最佳途徑,一題多解一題多悟,提升自己發散思維的能力,揭示題目內部規律,使思維向更深層次發展.

在平時教學中,要注重引導學生從不同角度審視題目,從不同的知識點切入題目,尋求多維度、多視角、多層次的探究與思考,從而探究出不同的解決方案,對不同的解題方法進行縱橫深入比較,拓寬解題思路,溝通不同知識,掌握解題規律,權衡不同解法的優劣,提高解題效率,提高分析問題和解決問題的能力.