第三屆跨區域命題征集活動成果展示(三)

本刊編輯部

【深度改編題】

【原題】如圖,已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于點D,點D的坐標為(2,1),求p的值.

【改編分析】在往年的高考題中有許多題改編于書本,本次改編的試題來源于2019年人教A版教材選擇性必修1第146頁第10題,在改編過程中涉及的定點定值問題用到了極點極線思想,雖然極點極線的知識我們課本上沒有學習,但如果掌握了就可以用它來分析題干,指引我們思考的方向,有了方向再一步步地書寫步驟就會較為容易.改編框圖如下:

【創新點分析】OA⊥OB這個條件,本質上就是斜率之積為定值時直線AB恒過定點,又由OD⊥AB,創造了一個新的圓,進而考慮到圓上點到圓心距離為定值,從而改編出存在定點Q,使得|DQ|為定值的題目.

(1)證明:P點在一條定直線上;

(2)求△PAB的重心G的軌跡方程.

【創新點分析】對于拋物線方程x2=2py,若P點在一條定直線上運動時,△PAB的重心G的軌跡方程為:4x2-6py-x1x2=0.

在求解過程中,我們涉及消參數法求軌跡問題,可以作為一個新點來做簡單練習.

在上述改編題中若把定點D改為焦點,則可以繼續研究拋物線中的阿基米德三角形的相關性質.感興趣的同學可以自己做一下嘗試.

【改編3】已知拋物線x2=4y,D(1,2),圓O:x2+y2=r2(r>0)過定點D,圓O與拋物線交于C,M兩點,E為劣弧CM上一點,過點E的切線交拋物線于F,G兩點,過此兩點作拋物線的切線交于點H,求點H到直線FG距離的最大值.

【創新點分析】把圓錐曲線與圓相結合來命題,相對來說較為新穎,當然以前的高考題中已經出現過,只是運算量較大,對于學生運算能力、邏輯思維能力要求較高,本題把E點放在劣弧,限制了E的運轉范圍,從而為求最值帶來了可能.

高三數學復習已進入第二階段,這是一個將知識連點成線、成網的過程,無論對于學生的知識遷移應用能力,還是對于老師的總結歸納、方法提煉以及合作能力都是一個巨大的挑戰,其中課本題的歸納、總結、提煉更是不可或缺的一項.

(改編命題人:黃先鋒 安徽省合肥市長豐縣第一中學)

【試題評語】這是一道解析幾何題,主要考查了邏輯推理能力與數學運算能力.以課本例題為本進行改編,深挖教材,一題多變,層層遞進,從拋物線與直線的關系開始,到定點定值問題,再到拋物線與圓的關系,層層遞進,設置難度恰當,適合考查學生能力.

(評語老師姓名、單位:魏清泉 青島市教育科學研究院)

【原創題】

(1)求:軌跡G的方程;

(2)問:直線CD是否恒過定點,若過定點,求出該點坐標;若不過定點,請說明理由.

由題意可知:||MG|-|NG||=||QA|-|QB||=|AB|,∴||MG|-|NG||=4<|MN|.

【思維導圖】

思路2：設斜率分別表示出直線AP與直線BP的方程,分別和雙曲線方程聯立消元,得出關于x的一元二次方程,利用根與系數之間的關系,求出C,D的坐標,根據雙曲線的對稱性可知定點在x軸上.先利用橫坐標相等,特殊化處理,求出點H的坐標(4,0),最后檢驗kCH=kDH,從而證明直線CD過定點.

【思維導圖】

思路3：設出點C(x1,y1),D(x2,y2)的坐標,以及直線CD的方程x=ty+m.先根據直線AC與BD交點在x=1上,求出點P的坐標,建立兩根的“非對稱”的關系,再把直線CD方程和雙曲線方程聯立消元,得出關于x的一元二次方程,得出兩根的和與積的關系,再代入到非對稱關系中化簡,求出m的值,從而證明直線CD過定點.

【思維導圖】

思路4：設出點C(x1,y1),D(x2,y2)的坐標,以及直線CD的方程x=ty+m.先根據直線AC與BD交點在x=1上,求出點P的坐標,建立兩根的“非對稱”的關系,根據點C在雙曲線上,把非對稱問題轉化為對稱處理.再把直線CD方程和雙曲線方程聯立消元,得出關于x的一元二次方程,利用韋達定理直接帶入“對稱”關系,求出m的值,從而證明直線CD過定點.

【思維導圖】

思路5：設出點C(x1,y1),D(x2,y2)的坐標,以及直線CD的方程x=ty+m.先根據直線AC與BD交點在x=1上,得出3kAC=-kBD,再利用雙曲線的第三定義(二級結論)將斜率關系轉化為kBD·kBC=-3,得出兩根的“對稱”關系,再把直線CD方程和雙曲線方程聯立消元,得出關于x的一元二次方程,利用韋達定理直接代入“對稱”關系,求出m的值,從而證明直線CD過定點.

【思維導圖】

【創新點分析】

1.題干背景選取:題干背景來自課本的探究,知識來源課本,又高于課本.

2.試題考查角度:第(1)小題,是以兩圓的位置關系為載體,考查雙曲線的定義和標準方程,側重基本概念的理解,難度不大,面向全體學生;第(2)小題,以直線與直線、直線與雙曲線為載體,考查直線是否恒過定點問題,側重綜合知識以及能力的考查,有較好的區分度.

3.試題題型選擇:第(1)小題體現知識的融合.第(2)小題選擇定點問題考查,有區分度,有難度,有利于選拔人才.

4.試題考查維度:多角度考查基本知識,基本技能,基本思想,關鍵能力.一是基本概念的考查;二是直線方程的設立;三是直線過定點的知識;四是曲線與曲線的位置關系;五是兩根的“非對稱”的處理;六是考查數形結合、函數與方程、轉化與化歸的基本思想;七是考查運算求解、邏輯推理的關鍵能力.

5.試題設問形式:由易到難,層層遞進,入口寬,有深度,讓不同的學生得到不同的發展;另外試題具體有開放性,有利于培養學生的探究精神.

【學法指導】涉及直線與(雙)曲線問題.

(1)設直線方程通常有兩種方法表示:一是設點(坐標)表示,二是設斜率表示.

(2)直線過定點問題通常有兩種表示:一是點斜式方程化簡,二是利用三點共線.

(3)解決定點問題通常有兩種方法:一是先研究特殊后一般,二是直接研究一般情況.

(4)解決定點問題,有時可以先利用(雙)曲線的對稱性,分析出定點的大致位置,然后設合適的參數,建立直線系或者曲線系方程,如果是兩參數,要注意這兩個參數之間的相互關系.

(5)涉及直線與(雙)曲線相交問題,通常要聯立方程組,消元轉化為一元二次方程,得出根與系數的關系,然后將目標問題代數化,轉化為兩根的有關形式,最后代入求解.

(6)對圓錐曲線非對稱問題,通常有四種方法化解:一是利用兩根關系轉化;二是求根公式代入;三是利用曲線方程轉化;四是利用二級結論轉化.

(7)掌握必要的方法和技巧,如,常用的順口溜“聯立方程解交點,設而不求巧判別,選參建模求軌跡,曲線對稱找定點,動點相關歸定義,動中求靜助解析,非對稱曲根轉化”等.

【知識延伸】

【易錯警示】解析幾何中的直線(曲線)與(雙)曲線(相交)問題,有時思路清晰,方法自然,但是結果運算不出來.這一方面是運算能力不過關,另一方面是由于方法的選擇不適當導致.因此解析幾何的問題,首先要用幾何眼光觀察,即先利用幾何的相關性質轉化,再用代數知識表示幾何問題,然后進行代數運算.

【高考風向】解析幾何是每年高考的必考內容與重點內容,是考查學生關鍵能力和學科素養的重要載體.高考對解析幾何的考查一般以課程學習情境與探索創新情境為主,注重數學知識的基礎性、綜合性和應用性以及創新性與選拔性的考查,具體呈現以下規律.

(1)基礎性:高考通過對直線、圓與圓錐曲線的基本概念、簡單幾何性質以及位置關系的考查,考查考生邏輯思維能力和運算求解能力等,從而促進學科素養的提升,提高考生從數學角度發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力.

(2)綜合性與應用性:解析幾何涉及知識點眾多,高考通過綜合設計試題,將多個知識點銜接起來.如,與平面向量、三角函數、導數、不等式等學科內容進行考查.這就要求考生從整體上把握各種現象的本質和規律,能綜合應用所學知識、原理和方法來分析和解決問題.

(3)創新性與選拔性:理性思維的高層次表現就是創新意識的呈現.在高考數學中,對解析幾何的考查充分考慮學科特點,通過提出有跨度和有挑戰的問題,創設新穎的試題情境,創新試題呈現方式,增強試題的開放性和探究性等途徑,引導考生深度思考和自主探究,展現考生分析問題和解決問題的思維過程,考查考生獨立思考、創新能力、批判性思維能力,以及考查學生應用數學與探索數學的素養,體現選拔功能.

(原創命題人:吳文明 安徽省合肥北城中學)

【試題評語】本題是數學探究情境,考查的學科素養是理性思維和數學探索,利用圓與圓的位置關系,考查雙曲線的定義與標準方程、直線與雙曲線的位置關系、直線過定點問題,考查邏輯思維能力和運算求解能力,難度較大.

(評語老師姓名、單位:魏清泉 青島市教育科學研究院)