變化磁場(chǎng)力的沖量及應(yīng)用

許 文

(華中科技大學(xué)附屬中學(xué))

物體所受合力的沖量等于其動(dòng)量的變化,即動(dòng)量定理,它是力學(xué)中重要的物理規(guī)律。動(dòng)量定理既適用于恒力的作用,也適用于變力的作用;既適用于直線運(yùn)動(dòng),也適用于曲線運(yùn)動(dòng)。在導(dǎo)體棒做切割磁感線運(yùn)動(dòng)的有關(guān)電磁感應(yīng)問(wèn)題中,導(dǎo)體棒中的電流與受到的安培力FA大小往往隨導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的速度變化而變化;帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的洛倫茲力F的方向是不斷變化的。本文將推導(dǎo)出以上兩類變化磁場(chǎng)力的沖量有關(guān)結(jié)論,并通過(guò)2023年高考實(shí)例的分析,談?wù)動(dòng)脛?dòng)量定理分析處理變化磁場(chǎng)力作用下的有關(guān)問(wèn)題。

一、安培力的沖量

圖1

上式表明,做切割磁感線運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體棒受到變化的安培力的平均沖量大小IA可以通過(guò)一段時(shí)間內(nèi)流過(guò)電路中的電荷量q或電路中磁通量的改變量ΔΦ來(lái)求出,從而為利用動(dòng)量定理來(lái)定量分析研究這類電磁感應(yīng)問(wèn)題帶來(lái)方便。

【例1】(2023全國(guó)甲卷第25題)如圖2,水平桌面上固定一光滑U形金屬導(dǎo)軌,其平行部分的間距為l,導(dǎo)軌的最右端與桌子右邊緣對(duì)齊,導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì)。導(dǎo)軌所在區(qū)域有方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B。一質(zhì)量為m、電阻為R、長(zhǎng)度也為l的金屬棒P靜止在導(dǎo)軌上。導(dǎo)軌上質(zhì)量為3m的絕緣棒Q位于P的左側(cè),以大小為v0的速度向P運(yùn)動(dòng)并與P發(fā)生彈性碰撞,碰撞時(shí)間很短。碰撞一次后,P和Q先后從導(dǎo)軌的最右端滑出導(dǎo)軌,并落在地面上同一地點(diǎn)。P在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí),兩端與導(dǎo)軌接觸良好,P與Q始終平行。不計(jì)空氣阻力。求:

圖2

(1)金屬棒P滑出導(dǎo)軌時(shí)的速度大小v;

(2)金屬體P在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的熱量Q;

(3)與P碰撞后,絕緣棒Q在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

【分析】絕緣棒Q與靜止的金屬棒P發(fā)生彈性碰撞,由彈性碰撞遵循的動(dòng)量守恒與機(jī)械能守恒可求出碰后兩棒的速度;碰后絕緣棒Q做勻速運(yùn)動(dòng)到桌邊離開(kāi)導(dǎo)軌做平拋運(yùn)動(dòng);金屬棒P做切割磁感線運(yùn)動(dòng),回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流,棒P受到向左的安培力大小與其運(yùn)動(dòng)速度大小有關(guān),做變加速運(yùn)動(dòng),直到桌邊離開(kāi)導(dǎo)軌后做平拋運(yùn)動(dòng)。第(1)問(wèn)根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與兩棒平拋落地點(diǎn)相同,可知金屬棒P滑出導(dǎo)軌時(shí)的速度大小v與兩棒碰后Q棒在導(dǎo)軌上勻速運(yùn)動(dòng)的速度相同;第(2)問(wèn)根據(jù)金屬體P在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能的變化由能量守恒定律求出在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱;第(3)問(wèn)求絕緣棒Q在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,關(guān)鍵是求出兩棒的碰撞位置與桌邊的距離x,這個(gè)距離可通過(guò)兩棒碰后金屬棒P在導(dǎo)軌上做變加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程,由安培力沖量的推論與動(dòng)量定理求出。

二、洛倫茲力的沖量

圖3

-BqvyΔt=mΔvx,可得Δpx=-Bq∑vyΔt=

-Bqy0

BqvxΔt=mΔvy,可得Δpy=Bq∑vxΔt=Bqx0

上式表明,帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做一段圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到變化的洛倫茲力的平均沖量大小I等于B、q及此過(guò)程運(yùn)動(dòng)中粒子運(yùn)動(dòng)的位移大小a三者的乘積,從而為利用動(dòng)量定理來(lái)定量分析研究這類帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)問(wèn)題帶來(lái)方便。

【例2】(2023浙江6月卷第20題)利用磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)離子偏轉(zhuǎn)是科學(xué)儀器中廣泛應(yīng)用的技術(shù)。如圖4所示,xOy平面(紙面)的第一象限內(nèi)有足夠長(zhǎng)且寬度均為L(zhǎng)、邊界均平行x軸的區(qū)域Ⅰ和Ⅱ,其中區(qū)域Ⅰ存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1的勻強(qiáng)磁場(chǎng),區(qū)域Ⅱ存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2的磁場(chǎng),方向均垂直紙面向里,區(qū)域Ⅱ的下邊界與x軸重合。位于(0,3L)處的離子源能釋放出質(zhì)量為m、電荷量為q、速度方向與x軸夾角為60°的正離子束,沿紙面射向磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)離子的重力及離子間的相互作用,并忽略磁場(chǎng)的邊界效應(yīng)。

圖4

(1)求離子不進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ的最大速度v1及其在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t;

【解析】解法1:(1)當(dāng)離子不進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ速度最大時(shí),軌跡與邊界相切,則由幾何關(guān)系有

L=r1(1-cos60°),解得r1=2L

(2)B2=2B1,可知r1=2r2;離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5。設(shè)O1O2與磁場(chǎng)邊界夾角為α,由幾何關(guān)系有

圖5

(3)當(dāng)最終進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ的離子若剛好到達(dá)x軸時(shí)速度沿x軸方向,由動(dòng)量定理有BqvyΔt=mΔvx,兩邊求和有Bqy0=m(v-vcos60°),即B1qL+B2qL=mv(1-cos60°)

圖6

三、結(jié)語(yǔ)

利用變化磁場(chǎng)力沖量的兩個(gè)推論,結(jié)合動(dòng)量定理可以定量分析研究導(dǎo)體桿受變化的安培力作用做切割磁感線運(yùn)動(dòng)與帶電粒子在磁場(chǎng)中受變化洛倫茲力作用下做曲線運(yùn)動(dòng)的有關(guān)問(wèn)題。利用變化磁場(chǎng)力沖量分析這類問(wèn)題也體現(xiàn)了微積分思想。