相似三角形的幾種常見模型分析

謝子婧

【摘 要】? 相似三角形是初中幾何中重要的證明模型之一，它主要描述了兩個相似三角形的邊、角之間關系，其中對于不同的三角形的相似模型可以歸納為“A”字形、“8”字形、子母型和一線三等角型.本文對這幾種數學模型進行歸納，并列舉了例題進行講解，以期望幫助學生們對相似三角形的知識掌握得更加全面.

【關鍵詞】? 初中幾何；相似三角形；模型

1? “A”字形

“A”字形的相似模型有兩種：（1）如圖1（左）所示，平行于；（2）如圖1（右）所示，與不平行，但.

圖1

例1? 如圖2所示，在中，邊、上分別有、兩點，與線段、分別交于、兩點，已知，且，求證：

（1）平分；

（2）.

圖2

解? （1）因為在和中

所以.

而在和中

因為，

所以

所以

所以平分

（2）在和中

所以

所以

由（1）知

所以，

所以

2? “8”字形

“8”字形的相似模型也有兩種：（1）如圖3（左）所示，平行于；（2）如圖3（右）所示，與不平行，但.

圖3

例2? 如圖4所示，在正方形中，邊和的中點分別為點和，連接、、，線段與線段、分別相交于點、.

（1）求的值；

（2）求的值.

圖4

解? （1）因為點是的中點

所以

因為四邊形是正方形

所以，且平行于

所以，

所以

所以

（2）因為是的中點

所以，

因為平行于

所以

所以，

由（1）知，即

所以

所以

3? 子母型

子母型的相似模型有：（1）如圖5（左）所示，；（2）如圖5（右）所示，.

圖5

例3? 如圖6所示，在中，點為邊上一點，.

圖6

（1）求證：；

（2）的長為6，的長為3，求的長.

解? （1）因為，

所以

（2）因為

所以

因為，

所以，得

所以

4? 一線三等角型

一線三等角型有以下兩種模型：

（1）以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景的三等角型相似三角形，如圖7所示.

圖7

（2）以正方形為背景的三等角型相似三角形，如圖8所示.

圖8

例4? 如圖9所示，在中，為邊上一動點，點、分別是邊、上的點，已知，，求：

（1）若，且，求；

（2）若，不改變的值，以為旋轉中心，把按順時針或逆時針方向適當轉動后，和始終保持相似，求.

圖9

解：? （1）因為，

所以

因為，所以

所以

又，

所以

則

（2）因為轉動后，三角形和三角形始終保持相似

所以

又因為

所以

即時，和始終相似

5? 結語

相似三角形具有相同的形狀但是大小不同的特點，在初中數學中是一個重要的概念.通過模型的介紹，我們可以通過圖形比較的方式來展示相似三角形的特點，既可以幫助學生更直觀地理解相似三角形的性質和應用，也可以幫助學生更好地掌握這一概念，為他們的數學學習打下堅實的基礎.

參考文獻：

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[2]丁兆全.相似三角形的模型[J].中學生數理化（初中版.中考版），2023，（Z1）.

[3]杭永根.相似三角形的三個基本模型探究[J].初中生學習指導，2020，（36）.