淺談二次函數與面積綜合下的教學探究

孫文瑜

【摘 要】? 等面積法、面積最值問題轉化為二次函數問題，探究二次函數下的面積綜合解法策略及思路十分重要，可提升學生解決綜合性問題的能力.文章將從易到難層層遞進，揭示基于問題類型開展解法探究，并提出相應的建議.

【關鍵詞】? 二次函數；面積；面積法

二次函數的基本知識與現代數學的發展有著密切的關系，是符號化研究數學的繼續，是數形結合思想近乎完美的體現，圍繞二次函數能全面考察對函數形態的分析，以二次函數為載體把數的運算和幾何證明融合在一起，把方程、不等式、絕對值、最值、動點、面積等知識融合起來，將數學學科內在聯系和知識進行綜合運用.二次函數作為初中數學階段函數的終章，其重要性和難度不言而喻.因此，學生需要深刻理解二次函數的基本知識，了解函數之間的關系，靈活掌握并運用知識點，結合生活實際并利用二次函數來解決問題.

1? 二次函數與面積的綜合

二次函數經常以壓軸題的形式出現在我們面前，難度較高，主要是綜合性考察較多，二次函數可以與一元二次方程、不等式之間形成有機聯系，結合圖形，二次函數是一條拋物線，它可以聯系其他平面曲線或直線，縱向和橫向聯系，圍繞二次函數可以編制各種形式多樣的數學問題.其中我認為“面積問題”是其中的集大成者， 從直三角形到斜三角形，從定點三角形到動點三角形，從定值面積到最值面積，從三角形到四邊形再到多邊形，因此，二次函數圖像中的面積問題就像二次函數皇冠上瑰麗的珍珠，絢麗奪目，發人深省.

2? “面積問題”的準備

（1）相關知識點的儲備.例如二次函數的相關概念，二次函數的圖像和性質，二次函數的最值，二次函數的解析式等，以及三角形多邊形的面積公式，平面直角坐標系、一元二次方程、平行線之間的關系.

（2）學生基本思想和能力的準備.初中階段學生的思維正處于過渡階段，抽象邏輯能力得到發展，但在一定程度上還需依賴形象思維，函數內容較為抽象，需要學生仔細閱讀題目，必要時候圈點勾畫，也能從一定程度上抽絲剝繭尋找蛛絲馬跡，將知識點前后聯系.

（3）點動成線，線動成面.“面積問題”本質上是找點、找線，掌握兩點間線段公式.

3? “面積問題”事例

問題1? 已知拋物線y= -+2x+3與x軸交于A，B兩點，其中A點位于B點的左側，與y軸交于C點，頂點為P.如圖1所示.

圖1

在平面直角坐標系中，當三角形的某一邊在坐標軸上或者與坐標軸平行，可稱之為特殊三角形，求此類三角形的面積用面積公式即可.

等面積法的運用：圖形面積模型往往難以直接構建，需要通過等量轉化來簡化模型，常采用的方法是運用平行線造就同底等高的三角形.若三角形同底，則對應高相等，可作底邊的平行線，推導直線解析式；若為高相等，則可推知底相等，此時可考慮圖形的中點.

方法? 過點P作BC的平行線交X軸于點F，交y軸于點E，如圖2所示.

圖2

易得的斜率為-1，

因為平行線之間的距離處處相等，所以點P到BC的高和點E、點F到BC的高是相等的.

在上述方法中我們是采用了直線平移法.這是基于兩個三角形存在相同的底，故可推得高相等，進而轉化為兩線平行.其中隱含了“平行線之間，距離處處相等”的性質定理.建立幾何特性與等面積之間的關聯是問題突破的關鍵點，也是平面幾何性質在函數中的應用體現.

三角函數特殊角的運用：

如圖3所示.

圖3

問題2：點E為該二次函數圖像上一動點，且在第一象限，連接CE、BE，求并求出此時點E的坐標.

從定三角形到動三角形，我們還是要從前面的問題中尋找思路.

方法一：過點E作EF//y軸，交直線BC于點F，如圖4所示.

圖4

接下來就是轉化為解這個新的二次函數它的最大值，可用配方法也可用公式法求得在處取得最大值，最大值為，得到.

4? “面積問題”模型下的課堂探究

4.1? 提高對二次函數認識，總結反思經典題型

相對于初中數學其他知識而言，二次函數研究的是自變量與因變量之間的關系，比較抽象，難度也相對較大.但是再復雜的二次函數，我們都應該回歸教材，從本質著手，加深學生對二次函數基礎知識的認識與理解，注重分析問題的全面性.在我們平時的教學中，教師也應注重講解一些經典題型，從而提高學生對二次函數的理解能力，使學生掌握二次函數的精髓.另外，在講解一些經典題型時應注重多角度地對經典題型進行分析，使學生理解經典題型，讓學生觸類旁通，從而達到事半功倍的教學效果.此外還應強調學習反思與總結的重要性，二次函數與面積綜合雖然對同學的要求較高，從經典題型中找到靈感，總結其中方法.

4.2? 關注數學學科核心素養

解決二次函數面積問題時需要用到一定的數學思想，如數形結合、方程、模型、等量轉化等思想.利用數形結合整體分析問題，基于模型思想構建面積模型，從而轉化面積條件，構建方程求解，這是數學思想鏈的分析過程.在教學中要善于引導學生仔細讀題分析問題，尤其應注重一些隱含條件，還應該學會利用二次函數與方程根之間具有的關系，讓學生逐步感知思想，體會數學思想的價值，在潛移默化中提升學生的數學素養，學會用建模的思想去解決其他和函數有關的應用問題，做到舉一反三，甚至延伸到其他學科中.

4.3? 克服心理障礙

數學需要學生必須具備較強的邏輯思維，在初中數學二次函數的教學過程中，經常會出現教師在講臺上侃侃而談，下面的學生卻昏昏欲睡，像二次函數與面積綜合專題訓練中經常會涉及大量計算和需要分析轉化的條件，對于學生來說也是極具挑戰.因此，在二次函數的專題學習中出現了嚴重的兩極分化，在實際教學中，教師可以借助于幾何畫板、圖形計算器等現代教學工具輔助教學，使學生從直觀狀態下發現函數的各種性質，通過強烈的視覺效果引發學生的學習積極性，使記憶保持得更持久.希望通過像二次函數與面積綜合這樣子的一個專題訓練，既復習二次函數的基礎知識，又幫助學生克服見到綜合題目的畏難情緒.

4.4? 數形結合的巧妙應用

在新課程改革背景下，強調對基本數學思想、基本技能的掌握，函數是表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量，函數自產生就和圖形結下了不解之緣.作為最基本的數學思想——數形結合，而二次函數這一章就完美地體現了這一點.教師一定要幫助學生養成未解題，先作圖的習慣，二次函數的學習過程是一個非常抽象的教學過程，正因其抽象性和邏輯性，使得學生在二次函數的學習上很難接受和掌握，這時候二次函數教學形象化是一個很重要的教學方式，合理地利用圖像教學的優勢，將其具體化.

4.5? 教學相長的課堂

以教師為主導學生為主體的課堂是新課標中大力倡導的，課堂教學以“設問——講授知識——解決問題”的程序呈現，但是教師的“問”通常只是一種形式，往往只問不答，幾乎是為講解知識設計的一句串詞；課堂上問題多且瑣碎，未能圍繞一個主題展開.學生的“學”由于被動而生惰性，學習重心仍然是對知識的死記硬背.而二次函數與面積綜合這一專題由于難度較高，可能不能夠一次性完整解決， 但在各個小問題上， 都能充分發揮學生的參與熱情，也可以適當增加小組合作、討論、評價環節，在獨立思考和小組合作中改變以往方式，使學生積極參與課堂學習活動中，同時將問題難度降低，讓學生在能力范圍內掌握新知識.

5? 結論

二次函數與面積的綜合，是學生學習平面圖形面積的基礎，也是學生進一步學習拋物線、切線的基礎，更是學生形成空間觀念、提高空間想象能力的途徑.以上，是我在教學實踐中以二次函數背景下的面積綜合問題的一點粗淺的看法.數學問題千變萬化，關鍵要找到問題間的相互關系，體會其中用意，使學生在今后學習和生活中，將數學化繁為簡，提高學習效率.

參考文獻：

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