關于一個中考總復習中常見的錯題的研究

羅明珍

【摘 要】? 本文圍繞著一個初中數學錯題展開討論，探究題目出錯的原因，以及給出修正意見.

【關鍵詞】? 命制試題；合理性；半徑

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中指出，命制試題要確保命題框架合理、試題命制規范、內容準確無誤.筆者在帶領學生做中考復習中，發現了一個已知條件之間互相矛盾的題目.

1? 錯題的發現

在中考的總復習中，我們會做到這樣一個題：

如圖1，已知BC切⊙O于點B，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過點D作CD⊥OA交弦于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．如果CD=15，BE=10，，求⊙O的半徑．

解法1? 如圖2，過點C作CG⊥BE于點G，

因為CE=CB，

所以EG=BE=5，

因為∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，

所以△CGE∽△ADE，

所以

所以

所以

所以

所以

因為

所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

所以在Rt△ADE中，根據勾股定理，

因為點D是OA的中點

所以

所以⊙O的半徑是.

解法2? 如圖3，連接OB、OC.

因為BC切⊙O于點B

所以

因為.

所以設，.

所以在Rt△ADE中，根據勾股定理，

.

因為點D為半徑OA的中點

所以

因為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖3

所以

因為在Rt△COD中，根據勾股定理，

在Rt△OBC中，根據勾股定理，

所以

所以

所以⊙O的半徑是.

解法1利用相似的方法求出了⊙O的半徑，解法2用OC作為橋梁，根據勾股定理列出了方程，解出了⊙O的半徑.兩種方法都沒有知識性的錯誤，可是算出了兩種不同的結果.究竟是哪里出了問題呢？

2? 錯因分析

題目條件出錯了！因為在的條件下，可得，所以CD=15與BE=10不能同時成立！

證明如下：

題目? 如圖4，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．如果，求的值．

解? 過點C作CG⊥BE于點G，過點O作OH⊥AB于點H.

因為.

所以設，.

所以在Rt△ADE中，根據勾股定理，

.

因為點D為半徑OA的中點

所以

因為在Rt△ADE中，，

在Rt△AHO中，

所以

所以

解得.

因為OH是⊙O的半徑，且OH⊥AB

所以

所以

因為，CG⊥BE

所以

因為

所以

所以

所以

所以

所以

3? 題目修正

如圖5，已知BC切⊙O于點B，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過點D作CD⊥OA交弦于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．如果CD=15，，求⊙O的半徑．

解：用解法2來解即可.

4? 反思

數學考試題目的命制環節很多，從選材、搭建題目框架、到反復解答檢驗，每個環節都要求嚴謹，考慮周全.還要嚴格審查題目的考查內容、圖形比例與條件是否一致.只有通過多角度的求解、驗算和斟酌，才能盡量避免題目與解答出現偏差的情況.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022