談一道PISA 題的解法探究和解題反思

王戎燁 李先兵

【摘 要】 PISA 試題旨在考查學(xué)生是否具備相應(yīng)年齡應(yīng)有的能力，與所學(xué)的學(xué)科知識掌握情況無關(guān).正因為如此，PISA試題沒有固定的解題策略，所以學(xué)生和教師在解決 PISA 問題時，都比較迷茫.本文通過一道期末考試中的 PISA 試題的講解，給出此類問題的思考方向和解題策略.

【關(guān)鍵詞】 PISA;初中數(shù)學(xué);解法探究

數(shù)學(xué)是拓展性很強(qiáng)的學(xué)科，PISA試題理念尤為突出.激發(fā)學(xué)生主動參與、積極探究，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)課堂成敗的重要體現(xiàn).典型習(xí)題的教學(xué)，更應(yīng)該是習(xí)題課的重中之重.筆者對慈溪市2022學(xué)年九年級期末數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行講解，第10題的PISA 問題，課堂上的講解感覺意猶未盡，在課后進(jìn)行研究，積累了一些心得，在此與各位同行交流.

1 原題呈現(xiàn)

一個大矩形按如圖1方式分割成五個小矩形后仍是中心對稱圖形，且矩形 ABCD ∽ 矩形BEFG.設(shè)矩形ABCD 與矩形AHIE 的面積分別為m 和n，則這個大矩形的面積一定可以表示為（ ）

（A）4m. （B）2m +3n.

（C）m +3n. （D）3m +n.

圖1

2 試題分析

此題是一道以相似矩形為背景的 PISA 題，旨在考查學(xué)生的幾何直觀、推理能力、運算能力等核心素養(yǎng).也引導(dǎo)教師在教學(xué)過程中，應(yīng)把握問題實質(zhì)，實施針對性、導(dǎo)向性教學(xué)，讓學(xué)生跳出題海煩惱.

3 解法探究

思路1：代數(shù)法.用字母表示相關(guān)的長度，然后去表達(dá)已知關(guān)系和所求問題，再根據(jù)所得的已知關(guān)系化簡所求問題，進(jìn)而求得答案.

解法1 因為矩形ABCD ∽ 矩形BEFG，

所以設(shè)BE =a，BG =b，相似比為k，

則AB =ka，AD =kb.

所以m =ka×kb=k

2ab，

n=（a+ka）× （kb-b）= （k

2 -1）ab，

因為大矩形的面積 =（a+2ka）× （2kb-b）

= （4k

2 -1）ab

=3k

2ab+ （k

2 -1）ab

=3m +n.

故答案選（D）.

思路2：幾何法.利用圖形的特征，進(jìn)行等積變換，尋求面積之間的關(guān)系，達(dá)到解決問題的目的.

解法2 如圖2，連結(jié)AI，IK，KC，AC，BF.

圖2

因為矩形ABCD ∽ 矩形BEFG，

所以

AB

BC

=

BE

EF

，

因為 ∠BAC =∠EBF，所以BF ∥AC，

因為整個圖形是中心對稱圖形.

所以四邊形AIKC 是平行四邊形，AC

IK，且相鄰兩條平行線間的距離相等，不妨

∥

設(shè)

BF

相

∥

鄰

平行線間的距離為d.

則 △ABC 的面積 =

1

2

AC ×d=

d

2

AC，

平行四邊形AIKC 的面積= AC×2d=2dAC，所以平行四邊形AIKC 的面積是 △ABC 的面積的4倍，即平行四邊形AIKC 的面積為2m.所以大矩形的面積 =2m +m +n=3m +n.

解法3 如圖3，連結(jié)AC，BF，BF 與DL 交于點 M .

因為矩形ABCD ∽ 矩形BEFG，

所以

AB

BC

=

BE

EF

，

因為 ∠BAC =∠EBF，所以BM ∥AC，

又因為AB ∥CD，

所以ABMC 是平行四邊形，CM =AB，

S△ABC =S△MBC ，

因為整個圖形是中心對稱圖形.

所以AB=FK，CM =FK.所以梯形FMCG 和FKLM 的面積相等.

所以

1

2

SABCD =

1

2

SBEFG +

1

2

SGKLC ，

所以SBEFG =m -n.

所以大矩形的面積=2m+2n+m-n=3m+n.

解法4 如圖 4，連結(jié) BI，BK，BF，IK.延長AE 交JL 于點N，延長CB 交HJ 于點M .

同解法3可得，IK ∥BF.

所以S△BIF =S△BKF ，

2S△BIF =2S△BKF ，即矩形MIFG 和矩形ENKF

的面積相等.

顯然矩形ABMH 和矩形ENJI 的面積相等，

所以SIJKF =SBEFG +SAEIH ，

所以SBEFG =m -n.

所以大矩形的面積=2m+2n+m-n=3m+n.

4 解題反思

4.1 理解本質(zhì)特征，探尋 PISA 題解題策略

對于 PISA 題，我們通常可以從代數(shù)法和幾何法兩類方法入手解題.代數(shù)法的特點是思維要求比較低，學(xué)生容易想到，不足之處是所設(shè)字母有時會比較多，運算較繁瑣，對學(xué)生的代數(shù)式變形和運算能力要求較高.而幾何法解決這類問題巧妙且直觀，但它對思維的要求較高，學(xué)生不容易想到，所以我們要在平時教學(xué)中多進(jìn)行訓(xùn)練，提高學(xué)生的思維能力.以上兩種方法各有千秋，在平時教學(xué)中，教師應(yīng)多引導(dǎo)、多比較.

4.2 經(jīng)歷形成過程，落實學(xué)生核心素養(yǎng)

通過思路2中的三種解法，我們不難發(fā)現(xiàn)，相似矩形（多邊形）的知識，往往通過添加對角線，利用邊、角關(guān)系，化歸為相似三角形、全等三角形等知識.由于多邊形的相似問題在各類統(tǒng)考中涉及甚少，導(dǎo)致在九上“相似多邊形”的教學(xué)中，很多教師都忽略了相關(guān)知識的形成過程，對相似多邊形的性質(zhì)讓學(xué)生機(jī)械記憶，并配一些簡單的題目加以鞏固，草草了事.這種教學(xué)方式，學(xué)生只能解決一些簡單的題目，并沒有把思維向深度發(fā)展，一旦遇到綜合題，學(xué)生就束手無策了.筆者認(rèn)為，在平時教學(xué)中，教師應(yīng)多研究教材和題目，多總結(jié)思想和方法，多整合教學(xué)資源.

4.3 挖掘圖形特征，養(yǎng)成圖形探究習(xí)慣

基本幾何圖形蘊含了豐富的知識和方法，相似的矩形特殊的放置方式，可以得到對角線的特殊位置關(guān)系.筆者認(rèn)為，在圖形與幾何的日常教學(xué)中，要重視基本幾何圖形的教學(xué)，學(xué)會探究常見結(jié)論的獲得過程，挖掘基本幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，嘗試強(qiáng)化或弱化題設(shè)開展拓展探究，形成研究圖形的一般路徑.當(dāng)然，不提倡過度開發(fā)二級基本圖形，給學(xué)生增加不必要的負(fù)擔(dān)，在這個過程中重點是經(jīng)歷圖形探究過程學(xué)會思考.

4.4 重視思路形成過程，積累思考經(jīng)驗

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重中之重是幫助學(xué)生學(xué)會思考，通過思考積累經(jīng)驗，再遷移運用經(jīng)驗解決問題.本題幾何解法眾多，但是解法的形成方法離不開日常解題經(jīng)驗的積累，通過連結(jié)對角線將矩形的相似轉(zhuǎn)化為三角形相似，從而得到角度相等，再轉(zhuǎn)化為矩形對角線的位置關(guān)系，這些解題經(jīng)驗不斷融入到思路中，促進(jìn)解法自然生成.筆者建議在解題教學(xué)后不急于進(jìn)入下一題，而是搭建“悟”的時間，讓學(xué)生通過“悟”回顧解題思路的獲得過程，積累解決問題的經(jīng)驗，并配備類似的問題幫助學(xué)生學(xué)會遷移.