一道教材習(xí)題的解析及教學(xué)啟示

韋珍

【摘 要】 本文以湘教版教材九年級上冊第90頁第9題為例，對多種解題方法和解題思路進(jìn)行分析，進(jìn)而闡述對解題教學(xué)的思考.

【關(guān)鍵詞】 解題教學(xué);解法分析;教學(xué)啟示

“解題方法多樣化”在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的指導(dǎo)作用，新版的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提倡全新的教學(xué)理念，其中“問題解決策略多樣化”就是對學(xué)生解決問題方式的詮釋，提倡多策略解決問題旨在讓學(xué)生開拓?cái)?shù)學(xué)思維、優(yōu)化思想、創(chuàng)新研究，讓教師實(shí)施解題方法多樣化教學(xué)，老師不要“死教學(xué)”，學(xué)生不能“讀死書”，將重視結(jié)果教學(xué)轉(zhuǎn)變成重視過程教學(xué)。“解題方法多樣化”將重新構(gòu)建師生關(guān)系，老師評價學(xué)生的準(zhǔn)繩變得更加寬泛，學(xué)生分析問題、解決問題的形式多樣化，使得教學(xué)過程中的理念在提升，真正讓數(shù)學(xué)課堂變得高效，很準(zhǔn)確地落實(shí)課堂教學(xué)。

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)問題如煙海，解題思路不單一，若能在解題教學(xué)過程中善于借助課本例習(xí)題，就不會在備課時為“講什么題目”而發(fā)愁，而選定好要講評的題目本就是一節(jié)好課堂的關(guān)鍵。

1 試題呈現(xiàn)

例題 如圖①，△ABC為銳角三角形，AD是邊BC上的高，正方形EFGH的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G，H分別在AC，AB上.已知BC=30cm ，AD=20cm，求這個正方形的邊長.

2 試題解讀

2.1聚焦核心知識和方法，具有評價的價值

本題是以三角形為知識載體的題目，考查了初中階段相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用和矩形的判定等，涉及方程思想、數(shù)形思想、化歸思想等多種思想方法。

難點(diǎn)在于如何根據(jù)基本幾何模型圖選擇知識點(diǎn)來確定解題方法.

作為傳遞數(shù)學(xué)知識的載體，課本中孕育著豐富的思想方法.除了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、

化歸轉(zhuǎn)化等耳熟能詳?shù)乃枷敕椒ㄍ猓覀冞€要善于提取一些隱藏于所學(xué)習(xí)知識和例題習(xí)題中，對解題有直接幫助的思想方法.它們以內(nèi)隱的形式躲在幕后，卻往往是解決問題的關(guān)鍵.^[1]

2.2 聚焦多元解法，展現(xiàn)教學(xué)價值

由條件易得AAHGAABC，但是直接由這對相似三角形的對應(yīng)邊成比例無法直接求出正方形的邊長，故可以考慮用相似三角形的對應(yīng)邊上的高之比等于相似比快速求解. 也可用兩對相似三角形對應(yīng)邊成比例，再在兩個比例間建構(gòu)聯(lián)系方可解.也可用兩種不同的方式（整體、部分）表示△ABC的面積，列出方程，進(jìn)而求解邊長. 也可對關(guān)鍵線段設(shè)兩個參數(shù)求解，其中一個設(shè)而不求. 也可建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示線段長度，再用相似三角形對應(yīng)邊成比例求解.

3 解法精析

解法1 如圖②，設(shè)AD與HG交于點(diǎn)M，

因?yàn)?em>AD是邊BC上的高，

所以 N3=9（）。.

因?yàn)樗倪呅?em>EFGH是正方形，

所以 Z1 = N2=90°，HG〃BC.

所以四邊形DFGM是矩形.

所以AD±HG，MD =GF.

設(shè)正方形的邊長為zcm，則MD =GF=HG =

所以正方形的邊長為12cm.

評注 解法1是直接應(yīng)用相似三角形對應(yīng)邊上高之比等于相似比，進(jìn)而建立關(guān)于邊長的方程求解.

解法2 如圖③，設(shè)AD與HG交于點(diǎn)M ，

解得x=12.

所以正方形的邊長為12cm.

評注 解法2是直接應(yīng)用三角形和正方形面積之間的和差關(guān)系建立關(guān)于邊長的方程求解.

解法3 如圖④，設(shè)正方形的邊長為xcm，則EH=HG=xcm^，

所以正方形的邊長為12cm.

解法4 如圖⑤，設(shè)AD與HG交于點(diǎn)M，設(shè)正方形的邊長為xcm，HM=ycm，則HE=GF=HG=xcm^，

因?yàn)?em>AD是邊BC上的高，

所以 N3=90。；

因?yàn)樗倪呅?em>EFGH是正方形，

所以 Z1 =/2=N6=90°，HG〃BC.

所以N5 =90。，且四邊形DFGM是矩形.

所以AD ± HG，MD =GF=xcm，所以AM =（20-x）cm，N4= N5 =90。

評注 解法3和解法4均是應(yīng)用了兩對相似三角形聯(lián)立比例解決問題.

解法5 如圖⑥，設(shè)AD與HG交于點(diǎn)M，

評注 解法5是利用解析法，建立平面直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)表示線段長度，再結(jié)合相似三角形建立方程求解邊長.

4 教學(xué)啟示

羅增儒教授曾說：“數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了知識，而教師創(chuàng)造的是對知識的理解”，這種創(chuàng)造，需要基于我們對自己教學(xué)思維活動的不斷地反思.

解題教學(xué)實(shí)質(zhì)上是學(xué)生思維活動的教學(xué)，教師是否善于抓住問題的本質(zhì)，找到解題的規(guī)律，邏輯清晰而準(zhǔn)確地概括和表達(dá)，決定了他能否幫助學(xué)生認(rèn)識到問 題的本質(zhì)、解法的本質(zhì)，經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)思考，才能夠提高學(xué)生的思維能力，發(fā)展核心素養(yǎng).^[2]

章建躍認(rèn)為，教學(xué)的目的是要幫助學(xué)生長知識、長見識，使學(xué)生建立知識的整體架構(gòu)，在掌握知識、領(lǐng)悟內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法的過程中提升理性思維水平，提高數(shù)學(xué)能力和用數(shù)學(xué)問題解決的能力.教學(xué)應(yīng)注重學(xué)習(xí)結(jié)果的可遷移性，實(shí)現(xiàn)舉一反三、觸類旁通，在己有基礎(chǔ)上再創(chuàng)造知識，而不是原地踏步的進(jìn)行重復(fù)訓(xùn)練. ^[3]

雅諾夫斯卡婭有句名言：“解題就是把題目化歸為已經(jīng)解過的題”.課本作為教學(xué)的首席資料，不僅是我們教知識的載體，同樣也能教我們怎樣去解題.愿我們每位數(shù)學(xué)老師用好課本例習(xí)題，充分發(fā)揮其應(yīng)有的價值.

參考文獻(xiàn)：

[1]張俊.從課本中汲取解題營養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2020（8）：55-59.）

[2]程華.從“一題多解”審思解題教學(xué)的思維培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2020（8）：50-54

[3]章建躍.研究一點(diǎn)真問題[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2021 （9）：96