“構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的靈活運(yùn)用

陳霞

【摘 要】? 初中階段，學(xué)生通常會(huì)在數(shù)學(xué)試卷中遇到比較復(fù)雜的幾何題目，解決這些題目需要用到一些輔助手段簡(jiǎn)化解題過(guò)程.輔助圓的應(yīng)用能夠幫助學(xué)生挖掘幾何圖形內(nèi)部隱藏的條件，可以將分散、復(fù)雜的幾何圖形關(guān)系集中起來(lái)，具有較高的利用價(jià)值.本文主要圍繞構(gòu)造輔助圓在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行探討.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；幾何題；構(gòu)造輔助圓

圓是一種包含明確性質(zhì)、數(shù)形關(guān)系的幾何圖形，在原題圖形基礎(chǔ)上構(gòu)造輔助圓，可將原本較難解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題，借助圓的性質(zhì)、特征進(jìn)行解題，達(dá)到簡(jiǎn)化解題的目的，提高學(xué)生的解題效率.

1? “構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用現(xiàn)狀

初中生在解幾何題時(shí)，會(huì)遇到難度較大、結(jié)構(gòu)較為特殊的題型，依靠題干和圖形元素較難順利解題.這時(shí)候通常需要用到輔助線、輔助圖形，構(gòu)建更有利于解題的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系，曲線救國(guó).構(gòu)造輔助圓就是初中階段幾何題目中的一種輔助解題形式，但學(xué)生的普遍使用頻率較低，使用效果也不太理想.

2? “構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的靈活應(yīng)用策略

2.1? 解線段長(zhǎng)度題

求解線段長(zhǎng)度是初中階段幾何題目中的一種常見(jiàn)題型，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用常見(jiàn)方法很難順利求出線段長(zhǎng)度時(shí)，可觀察題干和圖形，通過(guò)構(gòu)造輔助圓的方式將線段長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題.通常來(lái)講，能夠構(gòu)造輔助圓的題目都具有某點(diǎn)是多條線段公共點(diǎn)的已知條件，具有公共點(diǎn)出發(fā)線段等長(zhǎng)的已知條件，可以確定輔助圓的圓心和半徑.

例1? 現(xiàn)有四邊形ABCD.已知AB∥CD，且線段AB=AC=AD=5，線段BC=.求線段BD的長(zhǎng)度.

輔助圓構(gòu)筑思路：根據(jù)已知條件線段AB=AC=AD=5可知，點(diǎn)A是三條線段的公共點(diǎn)，且三條線段的長(zhǎng)度一致，說(shuō)明可以點(diǎn)A為圓心，做輔助圓過(guò)點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D，線段AB、AC、AD都是圓A的半徑.構(gòu)造輔助圓后，為了給求線段BD長(zhǎng)度做鋪墊，在輔助圓中延長(zhǎng)線段AB使其與圓A相交于E點(diǎn)，并連接DE.構(gòu)造輔助圓的結(jié)果如圖1：

圖1

解? 已知AB∥CD，在線段BD過(guò)AB和CD的情況下，可得到∠CDB=∠DBE的結(jié)果.因?yàn)橥瓿闪溯o助圓的構(gòu)造，結(jié)合圓的特征可知，在同一個(gè)圓中圓周角角度相同則角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)相同.所以弧線BC=DE.又因?yàn)榫€段BE是線段AB過(guò)圓心A延長(zhǎng)出的線段，所以可視為圓A的直徑.又因?yàn)樵趫A中有內(nèi)接三角形，且三角形一條邊是圓的直徑時(shí)，這條邊所對(duì)應(yīng)的三角形的角一定是直角.所以在三角形BDE中，邊BE作為圓A的直徑所對(duì)應(yīng)∠BDE=90°.在已知三角形BDE是直角三角形，∠BDE=90°，斜邊BE=2AB=10的情況下，可計(jì)算得到線段BD的長(zhǎng)度.

從例1的解題過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，圓的性質(zhì)、特征以及圓內(nèi)存在的數(shù)形關(guān)系是構(gòu)造輔助圓解題時(shí)的重要抓手[1].如果學(xué)生對(duì)圓部分的概念、規(guī)律、定理掌握不扎實(shí)，則很難應(yīng)用構(gòu)造輔助圓順利簡(jiǎn)化題目.這也是部分學(xué)生用不好也不愿意用構(gòu)造輔助圓的原因.

2.2? 解角的大小題

求一個(gè)角的大小在初中數(shù)學(xué)幾何題目中也屬于較為常見(jiàn)的題型.求角的大小通常是求一個(gè)三角形中的某個(gè)角的大小，三角形與圓有著密切的關(guān)系，所以除了使用常規(guī)方法，還可以用構(gòu)造輔助圓的方式進(jìn)行解答.但用于求角大小的輔助圓構(gòu)造，需要學(xué)生提前做好觀察和分析，避免構(gòu)造不當(dāng)影響解題.

例2? 現(xiàn)有等腰三角形ABC，邊AB=AC.∠B的平分線與邊AC相較于點(diǎn)D.已知線段BD+AD=BC，求∠A的角度.

輔助圓構(gòu)造思路：根據(jù)題干已知條件可知，BD平分∠ABC，∠ABD=∠DBC=∠ABC.可過(guò)點(diǎn)B、A、D做圓，滿足同圓內(nèi)角相同弧線相同的情況.三角形ABC的BC邊與圓的焦點(diǎn)為E，則弧AD=DE，弦AD=DE.具體如圖2所示：

圖2

解? 因?yàn)闃?gòu)造輔助圓是四邊形ABED的外接圓，所以根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)原則，∠ABC=∠EDC=∠C，可推測(cè)∠BED=2∠C.根據(jù)題干條件已知，線段BD+AD=BC.因?yàn)锽C=BE+EC，且AD=DE，所以可得到BD+DE=BE+EC.又因?yàn)榍懊嫱茖?dǎo)出的∠BED=2∠C，可知三角形EDC為等腰三角形，ED=EC，所以可得到BE=BD的結(jié)果.三角形BDE中4∠C+∠C=180°，可得出∠C=40°，等腰三角形ABC中∠BAC=180°-2∠C=100°.

從例2的解題過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，用到了四邊形外接圓的對(duì)角互補(bǔ).因?yàn)橹挥袑?duì)角互補(bǔ)的四邊形采用外接圓，所以有了接下來(lái)對(duì)∠C與∠BED的關(guān)系推論，為解題提供了隱藏的已知條件.

2.3? 解面積大小題

在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，學(xué)生會(huì)遇到無(wú)法直接使用面積計(jì)算公式的情況，需要根據(jù)題干已知條件和圖形信息轉(zhuǎn)化面積計(jì)算所需要用到的條件.在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，學(xué)生可使用構(gòu)造輔助圓的形式，尋找?guī)缀螆D形線段、角之間的關(guān)系.也可以將求幾何圖形的面積大小問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求圓部分面積大小的問(wèn)題，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.這部分題目雖然在初中數(shù)學(xué)解題中出現(xiàn)的頻率不高，但教師需要結(jié)合具體題型進(jìn)行構(gòu)造引導(dǎo)分析，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到構(gòu)造輔助圓在解決此類問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值.

3? 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，輔助圓是初中數(shù)學(xué)解決幾何題時(shí)使用價(jià)值較高的一種方法，可以將部分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的基本性質(zhì)、外接圓問(wèn)題、圓的面積問(wèn)題等形式，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.輔助圓構(gòu)造需要結(jié)合題目具體的情況來(lái)進(jìn)行，靈活應(yīng)用方面充分發(fā)揮輔助圓的輔助價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

[1]郭杰.巧用輔助圓，解答數(shù)學(xué)題[J].數(shù)理天地（初中版），2023（15）：2-3.