高中數學“變式教學”策略例談

王傳英 （山東省臨沂市蘭陵縣第二中學）

變式教學指的是從不同層次對具體問題進行變式設計，采用題組形式引導學生分析問題的本質，便于掌握解決問題的基本方法。變式訓練激活了學生的數學思維，不僅幫助他們構建完整的知識體系，還在無形中加深對數學思想和方法的理解，充分鍛煉其思維的廣闊性和創新性。

一、高中數學變式教學的相關概述

（一）變式教學的概念

變式教學是指對數學問題進行多層次、多角度、多情形的變式設計，幫助學生理清問題本質，總結出不同知識點間關聯性的教學方法。具體來說，變式教學是由教師根據本課所學內容布置一道針對性例題，由學生自主探究解題方法，通過獨立思考或合作探究的方式得出最終結論。然后再由教師創編相同類型的題目供學生練習，在不斷嘗試中掌握此種解題技巧。或是學生自主設計相關例題，在發現、提出、分析、解決問題的過程中使其數學思維更加靈活。

（二）變式教學的意義

1.激發學生的學習興趣。在高中數學課堂中運用變式教學，可以為學生提供求異、思辨的空間，起到激發學生學習興趣的作用。與傳統教學模式相比，變式教學更貼合高中生的認知規律和發展需求，多變的例題使數學學習充滿挑戰，在好奇心的驅使下主動探尋知識點之間的內在聯系，學會透過問題看本質，從而快速理清解題思路，保證問題的順利解決。

2.提高學生的歸納能力。變式訓練改變的是問題結構或呈現形式，啟發學生積極思考，踴躍參與到各項活動中，將本節課收獲的理論知識靈活運用于實際，在變化的題目中總結出不變的本質，更好地掌握數學規律，彰顯變式教學對提高學生歸納能力的重要影響。也就是說，學生在思考問題時不僅要認真觀察題目，梳理題干中的關鍵信息，還要總結不同例題之間的相同點，使其歸納能力和分析能力得到增強，變式教學的實施為培育數學核心素養創造了有利條件。

二、基于思維能力培養的高中數學變式教學策略

（一）在概念生成處變式，培養思維的靈活性

概念是高中數學教學的基礎性內容，在教學過程中，很多例題都是以概念為核心進行設計的，為了幫助學生深化知識理解，教師可以在概念生成處進行變式訓練，從最簡單的問題入手，而后逐漸增加難度。學生在循序漸進地練習中產生自己的感悟與體會，形成重點概念全新認知，學會從不同維度分析問題，充分鍛煉其數學思維的靈活性。

以人教版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第三冊（A版）中《排列與組合》為例，本課包含的概念有排列定義、組合定義等。

案例1：判斷下列問題是否是排列問題？（1）從2，3，5，7，11中任取兩數相乘可得多少個不同的積？（2）從上面個數中任取兩數相除，可得多少個不同的商？

解析：（1）乘法符合交換律與順序無關，不是排列問題。（2）上、下互換結果不一樣，與順序有關，是排列問題。

變式：餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3位同學每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？

解析：可以先讓甲從5盤菜中選1種，有5種選法；再讓乙從5盤菜中選1種，也有5種選法；最后讓丙從5盤菜中選1種，同樣有5種選法，根據分布乘法計數原理，不同的選法種數為：5×5×5＝125 。

以上例題檢驗學生對排列概念的掌握程度，同時加強他們對知識點的理解與運用。這樣的變式對學生深刻領悟排列概念內涵以及應用方法具有積極影響，其思維能力也得到一定提升。

（二）在易犯錯誤處變式，培養思維的準確性

教師要留心觀察學生的課堂表現，重點關注他們在解題中的“易錯點”，以此為依據展開變式教學，讓學生在反復練習中發現問題所在，有利于強化新知的理解與運用。

以人教版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第三冊（A版）中《條件概率與全概率公式》為例，部分學生經常在摸球問題中出錯，教師出示具體例題：

案例2：在一個袋子中裝有10個球，設有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率。

解析：設“摸出第一個球為紅球”為事件A，“摸出第二個球為黃球”為事件B，“摸出第2個球為黑球”為事件C。則

變式：設袋中有5個紅球，3個黑球，2個白球，有放回時摸球三次，每摸一次球，求第三次才摸到白球的概率。

解析：設“第一次未摸到白球”為事件A，“第二次未摸到白球”為事件B，“第三次摸到白球”為事件C。則

在同類型習題的計算中，學生掌握了條件概率的相關內容，引導他們運用條件概率及概率乘法公式解決實際問題，找出“易錯點”后經過變式訓練提高解題正確率和思維準確性。

（三）在知識交匯處變式，培養思維的廣闊性

高考數學命題是從學科整體的角度出發，以知識點之間的關聯性為依據進行設計的，目的在于檢驗學生是否具備網格化的知識體系，重點考察她們對所學內容理解的深度和廣度。教師應將重點內容與之前學過的數學知識加以整合，深入研究知識間的聯結點，進行有意義的變式設計，為學生提供多元化的復習渠道，起到培養思維廣闊性的作用。

以人教版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第三冊（A版）中《分類加法技數原理與分步乘法計數原理》為例。

案例3：假如某人有壹元、貳元、伍元、貳拾元、伍拾元、壹佰元的紙幣各兩張，要支付貳佰壹拾玖元的款項，有多少種不同的支付方式？

解析：9元的支付有2種情況，5+2+2或5+2+1+1。（1）當9元采用5+2+2方式支付時，200元的支付方式有2×100或1×100+2×50或1×100+1×50+2×20+10共三種方式，10元的支付只能用1張10元，此時共有1×3×1＝3種支付方式。（2）當9元采用5+2+2+1方式支付時，200元的支付方式為2×100或1×100+2×50或1×100+1×50+2×20+10共3種方式。10元的支付方式只能用1張10元，此時有1×3×1＝3種支付方式，所以總的支付方式共有3+3＝6種。

變式：乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項？

解析：根據多項式的乘法法則，題干中的每一項都必須是在(a1+a2+a3)，(b1+b2+b3+b4)，(c1+c2+c3+c4+c5)三個式子中任取一項后相乘，在(a1+a2+a3)中有3種取法，在(b1+b2+b3+b4)中有4種取法，在(c1+c2+c3+c4+c5)中有5種取法，由乘法原理可得，共有3×4×5＝60種情況。

在知識交匯處變式，學生不僅掌握了本課內容的核心，還在變式中結合以往學過的理論知識進行分析，起到良好的復習效果。將分布乘法計算原理與多項式乘法法則結合在一起，使學生學會從不同視角探索解題方法，促進廣闊性思維的進一步發展。

（四）在拓展延伸處變式，培養思維的深刻性

為了幫助學生全面地理解所學內容，教師可以在拓展延伸處進行變式訓練，適當增加題目難度，引導學生從簡至繁，探究新知。

以人教版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第三冊（A版）中《二項式定理》為例，要求學生知道二項式定理的概念，展開式和系數。

案例4：(1+x)+(1+x)2+...+(1+x)7展開式中，x3項的系數為_____。解析：x3項的系數為

變式1：設（x+a1）（x+a2）（x+a3）（x+a4）＝（A0x4+A1x3+A2x2+A3x+A4），則A2＝_____；A3_____.解析：A2是x2的系數，即從{ a1,a2,a3,a4}中各取兩元的所有組合的和，即A2=a1（a2+a3+a4）+a2（a3+a4）+a3a4，同理A3=a1a2a3+a1a2a4+a1a3a4+a2a3a4。

變式2：（x2-x+1）10展開式中x3的系數為_____。

解析：本題不利于展開所有項，所以考慮將其轉化為10個因式如何分配所出項的問題，若要湊成x3有以下幾種可能：（1）1個x2，1個（-x），8個1， 所得項為：（2）3個（-x），7個1，所得項為，所以x3項的系數為-210.

教師設計了不同難度的變式內容，始終將學生的實際需求放于首位，引領他們不斷深入研究二項式定理的相關知識，在不同難度的變式訓練中完成知識的內化，使其數學思維變得更加愈發深刻，促進學生思維能力的全面發展。

（五）在思想方法處變式，培養思維的創新性

教師在變式教學中要將數學思想方法滲透于典型例題，讓學生在潛移默化中感受到它的重要性，主動關注思想方法的形成與發展，在不同類型習題的輔助下產生新穎的解題思路，有利于創新精神的培養。

以人教版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第三冊（A版）中《成對數據的相關關系》為例，主要內容是通過收集現實問題中的兩個有關聯變量的數據認識變量間的相關關系。

案例5：下列兩個變量之間的關系哪個不是函數關系。（ ）A.角度和它的正切值；B.人的右手一柞長和身高；C.正方體的棱長你和表面積；D.真空中自由落體運動物體的下落距離和下落時間。

解析：A選項，角度和正切值有確定的關系y=tan x；B選項，人的右手一柞長和身高不具有統一關系；C選項，正方體的棱長和表面積有關系x=6a2。D選項，真空中自由落體運動的下落距離和下落關系所以選擇B。

變式：某商家今年上半年各月的人均銷售額（單位：千元）與利潤率統計表如下表。根據表中數據，利潤率與人均銷售額成_____關系。

月份1 2 3 4 5 6人均銷售額6 5 8 3 4 7利潤率（%）12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3

解析：教師引領學生根據表格數據自行繪制利潤率與人均銷售額的散點圖，在直觀圖像的幫助下能夠得出“利潤率與人均銷售額成正相關關系”的結論。

本節課的變式訓練使學生體會到數形結合思想的應用價值，可以將原本抽象的已知條件以形象的方式呈現，通過畫圖的方法得出關鍵信息，便于問題的順利解決。此種訓練也使學生的創新性思維得到激發，擺脫了傳統解題模式的束縛，逐漸形成全新的解題思路，為日后長遠的數學學習之路打好基礎。