基于高斯過程模型的在線穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)

周曉劍，高云龍

（南京郵電大學(xué) 管理學(xué)院，南京 210023）

0 引言

穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)（Robust Parameter Design，RPD）是基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)，結(jié)合統(tǒng)計(jì)知識(shí)和工程技術(shù)發(fā)展起來的一種質(zhì)量改進(jìn)方法[1]。其基本原理為選擇最佳的組合參數(shù)水平以使產(chǎn)品及過程對(duì)環(huán)境噪聲等不確定因素帶來的變化不敏感，從而降低產(chǎn)品質(zhì)量波動(dòng)，提高產(chǎn)品及過程設(shè)計(jì)的穩(wěn)健性，使產(chǎn)品性能更加穩(wěn)定可靠[2]。計(jì)算機(jī)試驗(yàn)通過構(gòu)建元模型近似模擬物理試驗(yàn)，在保證仿真優(yōu)化精度的同時(shí)大大降低了試驗(yàn)成本。對(duì)于元模型，人們進(jìn)行了大量的研究，其中，多項(xiàng)式模型由于其簡單高效的優(yōu)勢(shì)在模型擬合的使用中最為廣泛，但模型本身的局限性也很明顯，僅適用于低階問題仿真場景[3]。機(jī)器學(xué)習(xí)的蓬勃發(fā)展也推動(dòng)了對(duì)元模型的探索，如支持向量機(jī)（SVM）[4]、徑向基模型（RBF）[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（NN）[6]等。然而在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，相關(guān)數(shù)據(jù)的輸入輸出越趨復(fù)雜，越來越表現(xiàn)出高維性、非線性等特點(diǎn)，以上提到的元模型很容易因數(shù)據(jù)的高維性造成計(jì)算困難，甚至?xí)萑刖S數(shù)災(zāi)難。高斯過程（Gaussian Process,GP）模型是一種基于貝葉斯推斷的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，適用于處理高維性、非線性等復(fù)雜回歸問題[7]。基于以上優(yōu)良特性，GP模型被廣泛應(yīng)用于復(fù)雜工業(yè)過程建模領(lǐng)域，且在穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)研究中具有優(yōu)良表現(xiàn)[8,9]。

傳統(tǒng)的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)是離線設(shè)計(jì)，即在生產(chǎn)之前就確定好可控因子的最優(yōu)水平，且該水平在整個(gè)生產(chǎn)過程中并不改變。但在實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)中，環(huán)境因素（噪聲因子）實(shí)時(shí)變化會(huì)給參數(shù)設(shè)計(jì)帶來影響，導(dǎo)致可控因子最優(yōu)設(shè)置水平的準(zhǔn)確性往往得不到保證。為了提高生產(chǎn)設(shè)計(jì)中參數(shù)設(shè)計(jì)的可靠性，希望新的觀測數(shù)據(jù)能夠更新響應(yīng)面模型，從而實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)的在線調(diào)整。對(duì)此，Zhou 等（2021）[10]提出了一種序貫SVR的在線穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)方法，他將先前得到的可控因子最優(yōu)設(shè)置水平以及現(xiàn)階段觀測到的噪聲因子水平作為新的數(shù)據(jù)樣本更新響應(yīng)面模型，進(jìn)而在下一階段得到更可靠的參數(shù)設(shè)置水平。然而其研究仍存在一些不足，主要表現(xiàn)在精度和效率二者不能兼顧。

基于上述問題，本文將采用在線學(xué)習(xí)策略改進(jìn)的OGP模型作為元模型構(gòu)建響應(yīng)面，在實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)實(shí)時(shí)調(diào)整的同時(shí)進(jìn)一步提高了建模效率，進(jìn)而提出了一種在線穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)方法（OGP-RPD）。

1 高斯過程（GP）模型

GP 模型是一種基于貝葉斯框架的非參數(shù)建模方法，它可以用未知的先驗(yàn)信息來探索輸入變量和輸出響應(yīng)之間的復(fù)雜關(guān)系[11]。

給定數(shù)據(jù)樣本集合D={(xi，yi)|i=1，…，n}，xi∈Rm，其中，xi為輸入，yi為輸出。假設(shè)輸入x與輸出y之間的函數(shù)關(guān)系為：

其中，ε是與f(x)獨(dú)立同分布的隨機(jī)噪聲，即高斯噪聲（ε～N(0，)）。f(x)是預(yù)測函數(shù)，其值為預(yù)測輸出，服從高斯過程分布：

其中：μ(x)表示高斯過程的均值函數(shù)，為簡化計(jì)算，通常取值為0；k(x，x')表示高斯過程的協(xié)方差函數(shù)，本文選取靜態(tài)平穩(wěn)高斯過程中最常用的平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)。樣本xi和樣本xj之間的協(xié)方差函數(shù)定義如下：

其中：wd為模型的測度函數(shù)，用于衡量不同輸入維度的權(quán)重；為幅度參數(shù)，表示局部相關(guān)性的程度；為服從高斯分布的噪聲方差。以上參數(shù)組合成為協(xié)方差函數(shù)的超參數(shù)集合，表示為，Dim是輸入數(shù)據(jù)樣本的維數(shù)，δij為Kronecker 算子（δij=1 ifi=jand 0 otherwise）。

基于以上模型假設(shè)，對(duì)于給定訓(xùn)練集X，可以得到測試樣本x*處的預(yù)測輸出和預(yù)測方差：

其中：K是K(X，X)的縮寫，表示訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的協(xié)方差矩陣；K*是K(X，x*)的縮寫，表示訓(xùn)練集X與測試樣本x*之間協(xié)方差的向量；k*是k(x*，x*)的縮寫，表示測試樣本本身的協(xié)方差。

在確定協(xié)方差函數(shù)類型后，需要對(duì)其超參數(shù)集合Θ進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整。本文根據(jù)ARD原理[12]，選擇極大似然法來優(yōu)化超參數(shù)。模型超參數(shù)的對(duì)數(shù)邊際似然表示如下：

其中，Ky=K+I。將求解上述對(duì)數(shù)邊際似然的最大值轉(zhuǎn)換為其負(fù)對(duì)數(shù)邊際似然的最小值，即可得到：

接下來利用梯度信息求解，得到超參數(shù)Θ的導(dǎo)數(shù)：

其中，α=K-1y。一般情況下采用梯度下降的共軛梯度法搜索超參數(shù)的最優(yōu)解。

2 在線高斯過程（OGP）模型

本文采用在線學(xué)習(xí)策略改進(jìn)現(xiàn)有的GP 模型，使其具備處理流式數(shù)據(jù)的能力。隨著樣本數(shù)據(jù)的不斷增加，增量算法會(huì)面臨存儲(chǔ)空間飽和、歷史樣本價(jià)值降低等問題。尤其是當(dāng)協(xié)方差矩陣K的規(guī)模不斷增大時(shí)，矩陣處理的計(jì)算成本呈指數(shù)級(jí)增長，甚至?xí)萑刖S數(shù)災(zāi)難，因此，設(shè)置數(shù)據(jù)集的容量上限是有必要的。當(dāng)樣本數(shù)量增加至數(shù)據(jù)集容量上限時(shí)，需要在新增樣本的同時(shí)刪去一個(gè)對(duì)模型影響程度最小的舊數(shù)據(jù)，也就是減量算法。這樣一來，在增量算法和減量算法的共同作用下，可以始終保持訓(xùn)練數(shù)據(jù)的規(guī)模不變，能夠在保證合理的計(jì)算復(fù)雜度的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)GP模型的在線更新以及對(duì)新樣本的預(yù)測。在線高斯過程（Online Gaussian Process,OGP）模型的基本原理如圖1 所示。

圖1 OGP模型原理

從圖1可以看出，OGP模型主要需要解決兩個(gè)關(guān)鍵問題：（1）篩選出舊樣本；（2）更新模型與超參數(shù)。

針對(duì)第一個(gè)問題，由于需要從訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中刪除一個(gè)對(duì)模型影響程度最小的樣本，因此引入信息論中信息增益的概念（數(shù)據(jù)樣本間的信息增益反映影響模型的程度）。利用式（6）中的對(duì)數(shù)邊際似然來表示數(shù)據(jù)樣本間的信息增益。當(dāng)從含有n個(gè)樣本的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中刪除一個(gè)數(shù)據(jù)樣本時(shí)，需要計(jì)算n-1 個(gè)數(shù)據(jù)樣本的對(duì)數(shù)邊際似然。對(duì)數(shù)邊際似然越高意味著n-1 個(gè)數(shù)據(jù)樣本的信息增益越高，同時(shí)也就意味著剩余的那個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)模型的影響越小。這樣一來，數(shù)據(jù)樣本的信息增益可以通過式（7）來計(jì)算。此外，本文引入一種遺忘機(jī)制來調(diào)整減量規(guī)則，從時(shí)間序列的角度分析，越晚加入訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)對(duì)模型的影響程度越大，所以刪除較早加入的數(shù)據(jù)是合理的?；谏鲜鏊枷?，本文給出減量算法的準(zhǔn)則：

其中，λ為遺忘因子，n為當(dāng)前數(shù)據(jù)樣本的序列號(hào)，c為當(dāng)前加入訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)樣本的序列號(hào)。利用式（9）計(jì)算得到舊數(shù)據(jù)的信息增益，并從中找到信息增益最小的舊數(shù)據(jù)樣本，將其從訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中刪除。

針對(duì)第二個(gè)問題，在線算法基于前一階段的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行更新迭代，以最小的計(jì)算代價(jià)實(shí)現(xiàn)模型的更新。所以無論是增加樣本還是刪除樣本，更新GP 模型實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)在協(xié)方差矩陣的更新。本文的在線迭代策略是一種基于貝葉斯方法的近似技術(shù)[13,14]。

根據(jù)GP 模型的定義，當(dāng)加入新樣本xn+1時(shí)，均值μn與協(xié)方差函數(shù)kn(x，x')增量更新的近似值可以由式（10）迭代計(jì)算：

其中，系數(shù)qn+1和rn+1分別是對(duì)數(shù)似然的一、二階導(dǎo)數(shù)：

其中，Z=E{P(yn+1|fn+1(x))}n是已知的完全數(shù)據(jù)似然函數(shù)。

展開式（11）中的更新遞歸步驟得到GP模型后驗(yàn)概率的近似值：

其中：kn+1=kxn+1；en+1是n+1 階單位向量；Tn+1和Un+1是增加樣本后擴(kuò)展矩陣的n+1 維算子，是通過在向量的末尾和矩陣的最后一行和一列添0得到的。

利用上述遞歸方式可以實(shí)現(xiàn)增量過程的迭代更新，系數(shù)規(guī)模也將隨著新數(shù)據(jù)樣本的到來不斷增加。當(dāng)數(shù)據(jù)樣本增加至訓(xùn)練數(shù)據(jù)集容量上限時(shí)，需要進(jìn)行減量操作，系數(shù)更新如下：

對(duì)于模型的超參數(shù)來說，本文沿用前文提到的GP 模型的超參數(shù)尋優(yōu)方法，利用式（7）求取最大似然，之后采用共軛梯度法尋優(yōu)超參數(shù)。

以上闡述了OGP模型的兩個(gè)關(guān)鍵性問題。由此根據(jù)圖1所示的OGP模型原理圖總結(jié)OGP模型具體步驟如下：

步驟1：加入新數(shù)據(jù)樣本。

步驟2：判斷訓(xùn)練數(shù)據(jù)集是否達(dá)到規(guī)模上限。若未達(dá)到則轉(zhuǎn)步驟4；若已達(dá)到則轉(zhuǎn)步驟3。

步驟3：計(jì)算數(shù)據(jù)樣本iGain，刪除信息增益最小的舊數(shù)據(jù)樣本。

步驟4：更新OGP模型。

步驟5：更新OGP模型超參數(shù)。

重復(fù)步驟1至步驟5，直至沒有新樣本用于更新模型。

3 基于OGP模型的在線RPD(OGP-RPD)方法

在響應(yīng)面方法（Response Surface Methodology,RSM）的理論指導(dǎo)下，發(fā)展出兩種RPD建模策略：一種是雙響應(yīng)模型方法，分別對(duì)響應(yīng)值的均值和方差建模；另一種是單響應(yīng)模型方法，控制變量和噪聲變量共同作用于同一模型。其中方差響應(yīng)面是由均值模型來確定的[15]。本文擬采用單響應(yīng)模型方法構(gòu)建優(yōu)化模型。

構(gòu)建優(yōu)化模型的方法同樣有很多，大致思想為在保持均值的同時(shí)最小化方差或者在保持方差小于一定閾值的同時(shí)最小化均值和目標(biāo)值的偏差。

不同于以上兩種思想，Lin 和Tu（1995）[16]提出了一個(gè)更簡單的解決方案：

該方法不是圍繞特定響應(yīng)（均值或方差）進(jìn)行優(yōu)化，而是圍繞目標(biāo)值進(jìn)行優(yōu)化。本文將式（15）作為RPD優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)。其中，y^ 表示響應(yīng)面模型的預(yù)測輸出，T表示相應(yīng)質(zhì)量特征的目標(biāo)值。

在OGP-RPD 方法中，將OGP 模型用于構(gòu)建響應(yīng)面，其輸入是可控因子和噪聲因子的組合(xc，xe)，輸出則是與生產(chǎn)過程/產(chǎn)品質(zhì)量相關(guān)的屬性值y(xc，xe)，其理想目標(biāo)值為T。在線RPD的思想為利用上一階段獲得的可控因子設(shè)置水平，將由當(dāng)前階段觀察到的噪聲因子以及對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值組成的數(shù)據(jù)樣本{(xc，xe)，y(xc，xe)}作為新樣本更新RPD 過程，即通過新樣本更新OGP 模型進(jìn)而得到下一階段的可控因子設(shè)置水平。按照上述規(guī)則不斷對(duì)生產(chǎn)過程/產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行在線調(diào)整，直至獲得可控因子的最優(yōu)設(shè)置水平。下面詳細(xì)闡述OGP-RPD方法的具體實(shí)現(xiàn)步驟：

步驟1：選擇初始數(shù)據(jù)樣本。利用拉丁超立方抽樣（Latin Hypercube Sampling，LHS），同時(shí)基于maxmin 準(zhǔn)則抽取初始樣本點(diǎn)Sn={ }s1，s2，…，sn，每個(gè)樣本輸入均包含可控因子和噪聲因子兩個(gè)部分，即表示為si=(xci，xei)，樣本輸入對(duì)應(yīng)的響應(yīng)輸出為y(·) 。

步驟2：構(gòu)建響應(yīng)面模型。利用OGP模型擬合抽取的初始數(shù)據(jù)樣本，構(gòu)建響應(yīng)面模型，探索樣本輸入與輸出之間的函數(shù)關(guān)系

步驟3：構(gòu)建噪聲樣本分布簇。采用蒙特卡洛方法模擬高斯噪聲因子的分布，隨機(jī)生成ne個(gè)噪聲樣本。

步驟4：求解可控因子最優(yōu)設(shè)置水平。利用優(yōu)化策略式（15）中最小化偏差的思想構(gòu)建RPD 優(yōu)化模型，求解可獲得當(dāng)前階段的可控因子最優(yōu)設(shè)置水平。優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)如下：

其中，預(yù)測方差參見式（5），可得：

步驟6：更新OGP 模型，重復(fù)RPD 流程。用步驟5 中獲得的新樣本更新響應(yīng)面模型（OGP），重復(fù)步驟3至步驟5，在線更新RPD 流程，直至得到滿足優(yōu)化終止條件的可控因子最優(yōu)設(shè)置水平，算法終止，在線RPD結(jié)束。

在步驟6 中，主要從以下兩個(gè)方面衡量RPD 是否有效：一方面，當(dāng)獲得的參數(shù)最優(yōu)設(shè)置水平與真實(shí)值（產(chǎn)品或過程潛在的真實(shí)參數(shù)最優(yōu)設(shè)置，在生產(chǎn)實(shí)踐中往往可以根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)獲得）之間的偏差很小時(shí)，可認(rèn)為已經(jīng)達(dá)到了好的RPD 效果，算法可以終止；另一方面，當(dāng)獲得的參數(shù)最優(yōu)設(shè)置水平維持在一定水平且相對(duì)波動(dòng)較小時(shí)，算法也可以終止。

在生產(chǎn)實(shí)踐中，當(dāng)工程師們獲得推薦的參數(shù)最優(yōu)設(shè)置水平時(shí)，并非直接將其應(yīng)用于產(chǎn)品生產(chǎn)或過程控制中，而是需要在該參數(shù)水平下進(jìn)行數(shù)次驗(yàn)證試驗(yàn)。由于噪聲因子的影響，可能會(huì)得出多個(gè)不同的輸出響應(yīng)值，這時(shí)可以計(jì)算這些響應(yīng)的均值和方差，進(jìn)而計(jì)算當(dāng)前參數(shù)水平下的均方誤差（MSE）。可以將MSE作為一種有效的評(píng)估指標(biāo)，如果算法推薦的參數(shù)水平不夠理想，那么可以選擇在整個(gè)在線RPD過程中MSE值最小的參數(shù)設(shè)計(jì)水平作為參數(shù)最優(yōu)設(shè)置水平。

4 仿真與實(shí)證算例

本文選取了一個(gè)仿真算例和一個(gè)實(shí)證算例，均屬于研究復(fù)雜產(chǎn)品質(zhì)量設(shè)計(jì)問題的經(jīng)典案例。通過與Zhou 等（2021）[10]提出的在線穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)方法（SSVR-RPD）進(jìn)行對(duì)比，從而驗(yàn)證本文所提方法（OGP-RPD）在穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問題上的有效性和優(yōu)越性。

4.1 仿真算例

本實(shí)驗(yàn)采用Branin函數(shù)[17]作為仿真測試函數(shù)，Branin函數(shù)被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)。其函數(shù)定義在χ=[-5，10]×[0，15]范圍內(nèi)，表示如下：

假設(shè)上述定義式中變量x1是可控因子，x2是噪聲因子且服從高斯分布（x2～N(0.5，1)），y(·) 表示在可控因子和噪聲因子共同作用下的真實(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)值。

為了驗(yàn)證所提方法（OGP-RPD）是否能夠有效地找到可控因子的最優(yōu)設(shè)置水平，需要先知道仿真系統(tǒng)可控因子潛在的真實(shí)最優(yōu)水平。本文將式（15）中的響應(yīng)面替換為本實(shí)驗(yàn)中的Branin函數(shù)，然后通過求解優(yōu)化問題即可得到仿真系統(tǒng)潛在的真實(shí)可控因子最優(yōu)設(shè)置水平。式（15）中T表示函數(shù)系統(tǒng)的響應(yīng)目標(biāo)值，在本次實(shí)驗(yàn)中是根據(jù)Branin函數(shù)的真實(shí)分布情況來設(shè)置的。然而從數(shù)學(xué)的角度精準(zhǔn)計(jì)算是比較困難的，尤其在不可積的情況下更是難以完成。因此本文統(tǒng)一采用蒙特卡洛近似方法進(jìn)行積分近似求解，為此隨機(jī)產(chǎn)生1×105個(gè)高斯白噪聲樣本。在得到的近似解后，利用MATLAB工具箱中的fmincon函數(shù)求解式（15）表示的最優(yōu)化問題，得出Branin函數(shù)仿真系統(tǒng)的可控因子最優(yōu)設(shè)置水平?？煽匾蜃幼顑?yōu)設(shè)置水平被確定后，即可以根據(jù)生成的1×105個(gè)噪聲樣本計(jì)算對(duì)應(yīng)響應(yīng)值y(·) 及其波動(dòng)情況，將其記為MeanY和VarY。由于本文采用的是近似求解，而且每次生成的噪聲因子樣本是不同的，因此為了降低不確定性，重復(fù)上述優(yōu)化求解過程10次并求取平均值，最終得到Branin函數(shù)仿真系統(tǒng)的數(shù)據(jù)結(jié)果（如表1所示）。從表1中可以看出，Branin函數(shù)仿真系統(tǒng)的可控因子潛在真實(shí)最優(yōu)設(shè)置水平為5.1808，其MeanY的值穩(wěn)定在57.8268左右，且波動(dòng)較小。

表1 仿真算例可控因子真實(shí)最優(yōu)設(shè)置水平

為了驗(yàn)證OGP-RPD是否能夠準(zhǔn)確有效地找到可控因子的真實(shí)最優(yōu)設(shè)置水平，基于高斯過程的在線穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)（OGP-RPD）的過程如下：

第一步：確定初始數(shù)據(jù)集。在實(shí)際生產(chǎn)中，工程師們根據(jù)生產(chǎn)過程中生成的樣本構(gòu)建模型。而在本文的仿真實(shí)驗(yàn)中，生產(chǎn)過程由式（19）表示。本文采用LHS方法，遵循maxmin準(zhǔn)則隨機(jī)從系統(tǒng)中抽取20個(gè)樣本點(diǎn)，并獲得其對(duì)應(yīng)響應(yīng)值。每個(gè)數(shù)據(jù)樣本由影響因子（可控因子與噪聲因子的組合）及其對(duì)應(yīng)響應(yīng)值組成，記為{(x1，x2)，y(·) }。

第二步：構(gòu)建響應(yīng)面模型。將上述抽取的20個(gè)數(shù)據(jù)樣本作為初始訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，采用OGP模型構(gòu)建響應(yīng)面。

第三步：求解優(yōu)化策略。用得到的OGP模型替換優(yōu)化策略（見式（15））中的響應(yīng)面，當(dāng)前狀態(tài)下的優(yōu)化策略變成式（16），求解式（16）中的優(yōu)化問題需要計(jì)算期望值，考慮到所建模型的函數(shù)可能不可積，因此依舊采用蒙特卡洛方法來近似求解，為此隨機(jī)生成了ne個(gè)噪聲樣本（ne=1×104），其服從的分布為N(0，0.5)。然后可以通過MATLAB工具箱中的fmincon 函數(shù)進(jìn)行求解，進(jìn)而可以得到當(dāng)前的可控因子最優(yōu)設(shè)置水平，如表2所示。

表2 OGP-RPD仿真算例實(shí)驗(yàn)結(jié)果

第四步：判斷當(dāng)前可控因子的最優(yōu)設(shè)置水平是否達(dá)到優(yōu)化終止條件。通過當(dāng)前可控因子的最優(yōu)設(shè)置水平處ne個(gè)噪聲樣本可以計(jì)算MeanY和VarY，結(jié)果如表2 所示。可以看到，第一次參數(shù)設(shè)計(jì)得到的可控因子最優(yōu)設(shè)置水平為-3.0343，對(duì)應(yīng)的MeanY值為24.6524。很顯然與表1中的真實(shí)數(shù)據(jù)相比，二者都相差甚遠(yuǎn)。得到的可控因子設(shè)置水平不理想，其中一個(gè)重要原因是噪聲因子的影響導(dǎo)致構(gòu)建的OGP 模型不夠準(zhǔn)確，這時(shí)就需要增加新樣本更新OGP模型。

第五步：確定新樣本并更新響應(yīng)面模型。根據(jù)OGP-RPD 方法原理，在當(dāng)前階段獲得的可控因子最優(yōu)設(shè)置水平下，利用式（17）找出影響波動(dòng)最大的噪聲因子并將其作為新樣本噪聲因子的觀測值。同時(shí)可以根據(jù)式（19）求得當(dāng)前的輸出響應(yīng)值。由此得到新樣本，將其加入訓(xùn)練數(shù)據(jù)集更新響應(yīng)面模型y^OGP。

重復(fù)第三步到第五步的實(shí)驗(yàn)流程，直至找到滿足優(yōu)化終止條件的可控因子最優(yōu)設(shè)置水平。從表2 展示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看，當(dāng)更新迭代到第9 次時(shí)，可控因子的最優(yōu)設(shè)置水平為5.1768，其對(duì)應(yīng)的MeanY值為57.8564，這與表1中Branin 函數(shù)仿真系統(tǒng)的可控因子真實(shí)最優(yōu)設(shè)置水平極為接近，且MSE值也相對(duì)較低。由此可以證明OGP-RPD方法能夠有效找到理想的可控因子最優(yōu)設(shè)置水平。

為了證明本文所提OGP-RPD 方法的先進(jìn)性，采用目前在線RPD 研究中表現(xiàn)較為優(yōu)異的SSVR-RPD 方法[7]進(jìn)行對(duì)比分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。可以看到，SSVR-RPD方法更新迭代至第18到20次時(shí)才得到了較為理想的可控因子最優(yōu)設(shè)置水平。由此可以得出結(jié)論：OGP-RPD 方法可以更精準(zhǔn)地得到可控因子的最優(yōu)設(shè)置水平，且效率遠(yuǎn)高于SSVR-RPD方法。

表3 SSVR-RPD仿真算例實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.2 實(shí)證算例

某個(gè)半導(dǎo)體零件加工過程實(shí)驗(yàn)[18]共包含5 個(gè)影響因子，其中包括2 個(gè)可控因子(x1，x2)和3 個(gè)噪聲因子(z1，z2，z3) 。此實(shí)驗(yàn)以5 個(gè)影響因子的標(biāo)準(zhǔn)CCD 設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，刪去了與3個(gè)噪聲因子有關(guān)的軸向試驗(yàn)點(diǎn)的中心復(fù)合設(shè)計(jì)，共進(jìn)行23次實(shí)驗(yàn)。最后得出在可控因子、三個(gè)噪聲因子與響應(yīng)輸出之間具有二階模型，擬合的響應(yīng)模型為：

在生產(chǎn)過程中，質(zhì)量特性的目標(biāo)值為T=30。噪聲因子服從均值為0、方差為1 的正態(tài)分布，即z1～N(0，1),z2～N(0，1) 和z3～N(0，1) 。

與之前仿真算例的流程類似，利用式（20）所表示的真實(shí)響應(yīng)模型確定半導(dǎo)體零件加工過程中可控因子的真實(shí)最優(yōu)設(shè)置水平，相關(guān)結(jié)果見表4。

表4 實(shí)證研究算例可控因子真實(shí)最優(yōu)設(shè)置水平

就OGP-RPD方法的有效性而言，整個(gè)在線RPD過程與仿真實(shí)驗(yàn)程序一致。實(shí)驗(yàn)的最終結(jié)果如表5所示。

表5 OGP-RPD實(shí)證研究算例實(shí)驗(yàn)結(jié)果

當(dāng)更新迭代至第10次時(shí)，可以看到MeanY已趨于平穩(wěn)且非常接近表4中真實(shí)的響應(yīng)輸出值，此外MSE值也達(dá)到了相對(duì)較低的水平，因此能夠判定達(dá)到了優(yōu)化終止條件。下頁表6展示了SSVR-RPD方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以看到更新迭代至第20 至25 次時(shí)，MeanY值趨于穩(wěn)定，且MSE 值已達(dá)到全局最低水平。通過對(duì)比兩個(gè)方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，很顯然OGP-RPD 方法尋找到的可控因子最優(yōu)水平更理想，輸出響應(yīng)更接近真實(shí)響應(yīng)目標(biāo)值，且效率更高。

表6 SSVR-RPD實(shí)證研究算例實(shí)驗(yàn)結(jié)果

綜合上述兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，OGP-RPD 方法能夠有效找到可控因子的最優(yōu)設(shè)置水平，且較好地兼顧了輸出響應(yīng)的最優(yōu)性和穩(wěn)健性。

5 結(jié)論

傳統(tǒng)的RPD方法是離線設(shè)計(jì)，受環(huán)境因素的影響，通過一次性建模獲得的可控因子設(shè)置水平可能并不理想。對(duì)此本文提出了一種基于GP 模型的在線RPD 方法（OGP-RPD）。本文采用滑動(dòng)窗口的在線策略改進(jìn)傳統(tǒng)GP模型，使其具備處理流式數(shù)據(jù)的能力，將其稱為OGP模型。利用OGP 模型構(gòu)建響應(yīng)面，并基于響應(yīng)面理論中的單響應(yīng)優(yōu)化策略提出了一套完整的在線RPD流程。通過仿真算例與實(shí)證研究，將OGP-RPD 方法與現(xiàn)有的SSVR-RPD 方法進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，OGP-RPD 方法在尋找可控因子的最優(yōu)設(shè)置水平方面準(zhǔn)確度更高，能夠更好地兼顧輸出響應(yīng)的最優(yōu)性和穩(wěn)健性，且效率更高。由此可以得出結(jié)論，OGP-RPD 方法可以有效解決RPD 離線設(shè)計(jì)帶來的問題，能夠更好地應(yīng)用于產(chǎn)品或過程的在線質(zhì)量設(shè)計(jì)，對(duì)于提高產(chǎn)品質(zhì)量具有重要理論和實(shí)踐意義。