問題驅動視域下關于初中數學深度教學的探索與思考

湯雪峰

［摘? 要］ 問題驅動視域下探索初中數學深度教學是提升學生數學核心素養的重要渠道之一. 研究者從問題驅動教學與深度教學這兩個核心概念出發，以“平面幾何”的中考復習教學為例，分別從“畫圖，問題驅動確定研究對象”“研圖，問題探究揭露圖形本質”“用圖，問題解決引發深度思考”三方面展開分析與思考.

［關鍵詞］ 問題驅動；深度教學；平面幾何

核心概念界定

1. 問題驅動教學

問題驅動教學簡稱PBL教學，是指將問題作為教學主線所規劃的課堂，以領域內初步問題作為探究的起點，引導學生圍繞問題通過探索與交流獲取真知的一種教學方式. 實踐發現，好的問題可有效激發學生的學習興趣，營造學習氛圍，促使學生更好地掌握基礎知識與技能，并在獨立思考的基礎上進行合作交流，拓展思維，提升學習能力.

2. 深度教學

深度教學是指在有效教學的基礎上，深挖教學資源，引導學生進行深層次思考，以進一步提升思維品質，獲得自主發現、提出、探索與解決問題的能力，最終指向核心素養的教學策略. 因此，深度教學是促使深度學習真實發生的基礎. 對數學課堂而言，學生、學科與學習是設計教學的基本對象，深度教學則是一種深入教材本質，觸及學習者心靈深處的一種教學策略. 深度教學并不滿足于知識表面的傳輸，而是在遵循教學規律的基礎上，促使“教”與“學”深度融合的過程.

實施教學

問題驅動下的平面幾何深度教學一般遵循“畫圖—研圖—用圖”的過程（見圖1），學生通過自主操作形成認知沖突，隨著觀察、猜想、驗證的進行，可形成高階的認知，提煉從一般到特殊，再從特殊到一般的數學思想.

1. 畫圖：問題驅動確定研究對象

多媒體播放微視頻進行課堂導入，內容為“證明任意三角形均為等邊三角形”，具體過程為：如圖2，作△ABC中BC邊的中垂線與∠BAC的角平分線相交于點O，分別連接BO與CO，并作OC′⊥AB，點C′為垂足，OB′⊥AC，點B′為垂足.

根據“AAS”可證得△AOC′≌△AOB′，根據“HL”證得△C′OB≌B′OC，所以AC′=AB′，BC′=CB′，因此C′A+C′B=B′A+B′C，即AB=AC.? 與之類似，可得AC=BC，因此AB=AC=BC，所以△ABC是一個等邊三角形.

提出問題：視頻中證明任意三角形均為等邊三角形的方法是否合理？如果不合理，問題出在哪里呢？

生1：肉眼觀察圖2，發現這個圖就不是等邊三角形.

師：既然你們覺得這個圖不標準，那么該怎樣驗證這個疑惑呢？

活動1 ？搖尺規作圖

如圖3，作△ABC中∠A的角平分線，使之與BC邊的中垂線相交于點E，分別連接BE，CE，過點E分別作AB，AC邊的垂線，點G、H為垂足.

師：通過尺規作圖，大家有什么發現？

生2：作圖發現BC邊的中垂線與∠A的角平分線的交點E落于△ABC的外部.

設計意圖？搖 此過程意在引發學生的認知沖突，促使學生通過探索問題對本節課知識產生探索興趣，由此主動地參與到幾何圖的探究中，這屬于深度教學的起點，為深度學習的發生搭建了平臺. 學生親歷操作與合作，充分認識到等邊三角形的性質，為接下來的探究活動提供了素材.

2. 研圖：問題探究揭露圖形本質

探究1 ？搖通過畫圖，結合線段中垂線與角平分線的性質，說說你們的收獲.

生3：根據線段中垂線上的點到兩端點的距離相等，可得BE=CE；根據角平分線上的點到兩邊的距離相等，可得GE=HE.

探究2？搖 從圖形特征出發，還能發現其他結論嗎？

學生自主探索，小組合作交流，提煉匯總，匯報結論.

（1）圖中特殊圖形或圖形關系有：等腰三角形CEB，Rt△AGE，Rt△AEH，Rt△BEG，Rt△CEH，△AGE≌△AHE，△BEG≌△CEH.

（2）圖中元素間的聯系：分別將線段間的聯系與角之間的聯系展示出來.

（3）圖中圖形變換為基本圖形.

圍繞著點E進行旋轉，可獲得△CEH，且A、G、E、H四點共圓，A、B、E、C四點共圓……

設計意圖？搖 引導學生結合自身的學習經驗研究幾何圖形是復習課常用的手段. 此環節意在帶領學生從幾何圖形的結構特征出發，借助轉化思想引導學生從復雜的圖形中分解出基本圖形來，并逐步研究其各個幾何元素間的聯系與規律，由此獲得一定的結論，為解決實際問題奠定基礎.

探究3？搖 借助一般到特殊的思想進行變式探究.

師：我們若將問題進行特殊化，比如通過條件的增加，使得△ABC為特殊三角形，以上獲得的結論還成立嗎？若讓你添加，你會增加什么條件？

基于學生回答，提出如下問題：

如圖4，△ABC中的∠C=90°，作∠BCA的角平分線和AB邊的中垂線相交于點E，分別連接AE，BE.

問題：（1）求證：△ABE為一個等腰直角三角形.

（2）如果CA=8，CB=6則四邊形CAEB的面積是多少？

（3）在問題（2）的基礎上，求EC的長.

問題1？搖 該圖增加的條件是什么？和之前所探索的圖形存在哪些異同點？

問題2？搖 根據第（1）題可得△ABE為等腰直角三角形，第（2）題中待求四邊形與第（3）題中的線段EC在圖中擁有什么特殊性嗎？怎樣計算？

基于以上兩個問題的驅動，學生經過獨立思考、合作交流，大致形成如下基本圖形及解題方法：

如圖5，因為CE為∠BCA的角平分線，可將關于四邊形CAEB的面積進行轉化，變成探索正方形CGEH的面積的問題.

如圖6，結合△ABE為等腰直角三角形的條件，可將圖形進行旋轉，將四邊形CAEB的面積轉化成△ECC′的面積.

關于第（3）題，則在第（2）題的基礎上借助等腰直角三角形或正方形的面積計算獲得EC的長. 此例解法不少，最關鍵的因素在于對四邊形CGEH的特征進行分析，從其特征出發研究三角形、角、線之間存在怎樣的聯系.

設計意圖 ？搖動靜結合、張弛有度是提升幾何教學效率的根本. 此環節，教師在原圖的基礎上鼓勵學生自主設計變式，讓學生對圖形的認識逐漸深入、全面、深刻，尤其是層次清晰的問題讓學生的思維拾級而上，學生通過深度思考、合作交流等方式，更進一步認識到探索幾何圖形的常規方法.

3. 用圖：問題解決引發深度思考

問題驅動教學視角下的深度教學需將教學評價貫穿于教學始終，教師在每一個環節都要關注學生的參與度，及時組織學生進行自評、互評等，讓學生在第一時間發現自身存在的問題和改進措施. 如本節課的尾聲，筆者就設計了如下練習，鼓勵學生在自主完成的基礎上實施交流與評價.

練習訓練：如圖7，已知⊙O的直徑為AB，且點C恰巧位于圓上，CD是∠ACB的角平分線，且分別與⊙O，AB相交于點D、M，連接DA，DB.

問題：（1）線段AC，BC，DC之間存在怎樣的關系？

（2）假設AD=m，CD=n，△ABC的周長該怎樣用含有m、n的代數式來表達？

問題：請嘗試提出新的問題.

設計意圖？搖 學生對于一節課的掌握情況體現在解題過程中. 教師為了及時了解學生對知識的掌握程度，在研究圖形的基礎上對問題條件進行適當改編，以觀察學生對知識的掌握與應用水平. 結合學生認知水平的差異性，此處安排了三個小問題，每一個問題的難度適當遞增，目的在于促使學生思維的螺旋式上升，讓學生從真正意義上掌握與應用相應的數學思想方法.

幾點思考

1. 優化問題，營造質疑情境

PBL視域下的數學深度教學離不開一個個高質量問題的參與，尤其是課堂的誘發階段為一節課的關鍵點，其問題的質量對整節課教學的成敗具有決定性的作用. 眾所周知，問題是數學的心臟，是推動教學的根本. 想要基于PBL實施深度教學，就要從本節課的教學內容出發，關注學情特點與知識特點，不斷優化驅動性問題的設計，通過豐富的問題營造質疑情境，以啟發學生的思維，驅動學生的探索欲.

本節課雖然是一節復習課，但教師以有趣的問題作為課堂誘發素材，讓學生置身于充滿質疑的情境中激發認知沖突，形成學習的內驅力，使得學生不由自主地進入深度學習狀態. 學生對于幾何圖形雖有一定的基礎，但對其結構特征、命題、定理等的理解還不夠透徹. 這就要求教師在驅動性問題的設計上，要從問題的探究性、開放性等角度著手，發散學生的思維，促進深度教學.

2. 引導參與，細化知識生成

對客觀事物形成有理有據的解讀以及探索其本來面貌是深度教學的根本，關于初中數學平面幾何部分的深度教學，可從對圖形的認識著手，引導學生從本質上掌握幾何圖形的結構特征，從知識的系統性出發把握圖形結構，讓學生親歷探索過程，對圖形形成深刻理解.

本節課，從研究對象上來看為三角形與角平分線以及中垂線所構成的幾何圖形，而從本質上來分析，其涉及的幾何內容相當豐富，為了讓每個層次的學生都能在問題驅動下獲得深度學習，教師有針對性地設計了一系列有梯度的探究活動，促使學生更好地置身于問題的探索中，對知識的形成與發展過程形成明確的認識，從而完善知識網絡，促進思維的發展.

3. 注重反思，強化知識構建

深度教學意在引導學生通過“層進式學習”，深化對知識內在結構的理解. 本節課，隨著知識結構的變化，不少學生對解題方法的多樣性產生了困惑. 教師可針對學生所產生的困惑調整教學方法，進行適當的變通，幫助學生更好地強化知識的構建與應用.

反思是實施深度教學不可或缺的部分，當完成一個教學活動后，教師本身不僅需要對活動過程進行反思，還要帶領學生對自己的學習過程進行反思，以進一步梳理、總結教學情況，幫助學生完善研究問題的方法. 本節課的練習訓練就涉及多個知識點、多種解題思路與運算方法等，教師可引導學生邊解題邊反思，及時進行歸納整理，以形成解決此類問題的一般套路，提升解決綜合性問題的能力.

總之，基于PBL的視角展開問題驅動式教學可促使學生更好地理解平面幾何問題，讓學生從他們熟悉的圖形出發，經歷“畫圖—研圖—用圖”的過程，有效啟發思維，踐行深度教學，提升數學核心素養.