新穎的項目式學習中考題

沈坤松

新課標要求開展項目式學習，“通過綜合運用數學和其他學科的知識與方法解決真實問題，著力培養學生的創新意識、實踐能力、社會擔當等綜合品質”.根據這一理念，2023年中考中出現了許多新穎的項目式學習試題，下面舉例介紹這類試題的特點與解法.

例1 （2023·四川·自貢）為測量學校后山高度，數學興趣小組活動過程如下：

（1）測量坡角. 如圖1，后山一側有三段相對平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即為三段坡面的鉛直高度BH，CQ，DR之和，坡面的長度可以直接測量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大小.

如圖2，同學們將兩根直桿MN，MP的一端放在坡面起始端A處，直桿MP沿坡面AB方向放置，在直桿MN另一端N用細線系小重物G，當直桿MN與鉛垂線NG重合時，測得兩桿夾角[α]的度數，由此可得山坡AB坡角[β]的度數.請直接寫出[α]，[β]之間的數量關系.

（2）測量山高. 同學們測得山坡AB，BC，CD的坡長依次為40 m，50 m，40 m，坡角依次為24°，30°，45°.為求BH，小熠同學在作業本上畫了一個含24°角的Rt△TKS（如圖3），量得KT = 5 cm，TS = 2 cm.求山高DF.（[2] ≈ 1.41，結果精確到1 m.）

（3）測量改進. 由于測量工作量較大，同學們圍繞如何優化測量進行了深入探究，有了以下新的測量方法.

如圖4、圖5，在學校操場上，將直桿NP置于MN的頂端，當MN與鉛垂線NG重合時，轉動直桿NP，使點N，P，D共線，測得∠MNP的度數，從而得到山頂仰角[β]1，向后山方向前進40 m，采用相同方式，測得山頂仰角[β]2. 畫一個含[β]1的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為a1 cm，b1 cm；再畫一個含[β]2的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為a2 cm和b2 cm.已知桿高MN為1.6 m，求山高DF.（結果用不含[β]1，[β]2的字母表示）