融合生物與數(shù)學建模的教學實踐

王濤

在中學生物課程中，生物種群數(shù)量的增長模型有兩種：基于生物種群增長是否有約束因素（環(huán)境阻力），分為J型曲線增長模型與S型曲線增長模型。學生在高中階段學習過函數(shù)（指數(shù)、對數(shù)函數(shù)）、導數(shù)與積分等相關(guān)知識之后，就可以對這兩種模型作定量的研究。通過本節(jié)學習，讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，學會用數(shù)學思維分析世界，發(fā)展數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

課前導入任務。生物學中有的生命活動規(guī)律具有必然確定的特征，不受外界環(huán)境的干擾；而有的則易受外界環(huán)境的影響，但也具有規(guī)律性的特點。為了研究這個問題，我們進行酵母種群的培養(yǎng)實驗。把學生分為兩組，讓學生利用課余時間進行培養(yǎng)實驗，一組進行擴瓶實驗研究（即將一個培養(yǎng)瓶內(nèi)的酵母菌定時接種到多個培養(yǎng)瓶內(nèi)進行培養(yǎng)，培養(yǎng)空間和營養(yǎng)物質(zhì)始終充足），另一組開展原瓶實驗研究（即酵母菌始終在一個培養(yǎng)瓶內(nèi)進行培養(yǎng)，中間不更換培養(yǎng)液，隨著酵母菌的增長，培養(yǎng)空間和營養(yǎng)物質(zhì)有限）。兩個小組分別按照數(shù)學建模的基本過程開展研究，完成兩個問題：兩種實驗下菌群增長模型分別是什么？為什么兩種實驗條件得到的數(shù)學模型會有差異？哪個模型與真實世界中的種群增長規(guī)律更吻合？

環(huán)節(jié)一：建立擴瓶實驗的數(shù)學模型

任務一是依據(jù)擴瓶實驗所得數(shù)據(jù)進行數(shù)學建模。模擬的是為酵母菌的繁殖提供理想的條件，即有足夠的生存和繁殖資源與空間，學生通過實驗過程獲得數(shù)據(jù)，并進行整理。將數(shù)據(jù)描點得到散點圖，可以看出曲線的大致增長趨勢。再提出問題：繪制的曲線形狀與英文字母J相似，故這類增長稱為J型增長。那么J型增長用數(shù)學語言如何表示呢？

設計意圖：引導學生自己動腦動手，體驗模型構(gòu)建的過程。通過該模型建構(gòu)，讓學生領悟數(shù)學建模的一般過程。

任務二是利用理論推演法建立J型增長的數(shù)學模型。理論推演法需要首先建立假設：在有足夠的生存和繁殖資源與空間，在溫度、資源充足的情況下，種群可以自由生長。增長率為常數(shù)，記為λ，酵母菌初始數(shù)量N0=2450，根據(jù)假設，任意給定時間Δt，由種群的增長率的概念得：=λ，所以=λN（t），=λN（t），由導數(shù)的定義可以知道N'（t）=λN（t），所以N（t）=eλt+c，又因為當t=0時，N0=eC=2450，所以Nt=2450·eλt。

設計意圖：引導學生將曲線圖轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達式，使學生對種群增長的數(shù)學模型即曲線圖和數(shù)學公式的各自優(yōu)勢有所了解。

環(huán)節(jié)二：建立原瓶實驗的數(shù)學模型

任務一是依據(jù)原瓶實驗所得數(shù)據(jù)進行數(shù)學建模。原瓶實驗的數(shù)學模型的建立過程與擴瓶實驗類似。根據(jù)酵母菌種群培養(yǎng)實驗原瓶培養(yǎng)的數(shù)據(jù)，列出酵母種群密度表。將數(shù)據(jù)描點得出散點圖，可以看出曲線的大致增長趨勢，散點圖顯示的規(guī)律不同于擴瓶實驗的Ｊ型增長，而是Ｓ型增長。讓學生用自己的語言描述這條曲線，與J型增長曲線進行比較，分析造成曲線變平緩的原因，并試說明K值代表的意義，指出在哪一時間該種群的增長速率最快。

設計意圖：引導學生得出S型增長的特點、K值的意義以及的意義。

任務二是依據(jù)理論推演法建立S型增長的數(shù)學模型。理論推演法需要首先建立假設：設環(huán)境容納總量為K，當繁殖時間為t時，菌群數(shù)為N（t），此時空間環(huán)境的剩余空間為1-。為了建立S型增長曲線的數(shù)學模型，首先提出假設：增長率λ（t）與種群剩余空間成正比，比例系數(shù)為λ，λ為資源充足情況下種群的增長率。所以，λ（t）=λ（1-）。

根據(jù)假設，任意給定時間△t，由種群增長率概念得=λ（1-），所以=λ（1-）N（t），=λ（1-）N（t），由導數(shù)的定義可以知道N'（t）=λ（1-）N（t）（*），該式可以看作N'（t）關(guān)于N（t）的二次函數(shù)，因為λ>0，所以當N（t）=時，增長速率的最大值為。那么滿足（*）的函數(shù)N（t）的表達式到底是什么呢？利用積分的知識可以求得N（t）=，當t=0時，得C0=ln。

利用數(shù)學軟件，畫出N（t）=的圖像，可以看出其形狀與S的形狀相似。

設計意圖：相比而言，S型與J型數(shù)學模型探究的思路完全一樣，在教學中可以引導學生利用類比的思想去探究。但由于涉及導數(shù)與積分的相關(guān)知識，對學生的基本功要求比較高，需要教師在運算上作適當引導，確保探究順利進行。

齊龍新老師點評

本節(jié)課從生物實驗出發(fā)，在教師引領下進行酵母菌種群數(shù)培養(yǎng)相關(guān)實驗， 并記錄實驗數(shù)據(jù)，然后應用數(shù)據(jù)進行作圖，進而對圖進行理性分析。通過“提出問題-作出假設-建立模型-模型的檢驗與修正”的過程，讓學生體驗建構(gòu)數(shù)學模型的過程，發(fā)展科學思維與科學探究的能力。用數(shù)學建模的思想研究生物學問題，體現(xiàn)了對學生“模型與建模”的科學思維的培養(yǎng)與提升，是一次很好的學科融合的教學實踐。