從重“算法”技巧向“算理”推進

作者簡介：金紅波（1976～），女，漢族，浙江杭州人，浙江省杭州市蕭山區銀河實驗小學，研究方向：數學教學。

摘? 要：文章探索了基于“單位細分”的除數是一位數商中有“0”的除法學習路徑，即通過數的組成，從高位起“一位位分，一位位商”，先用橫式表達算理，再確定豎式算法。學習路徑由以下四個任務構成：366÷2→412÷4→653÷5→148÷6。研究表明，相比對照班學生，實驗班學生能更好地掌握商中有0的除法算理，該路徑具有可行性。并提出以下建議：引入建議直接復習橫式算理表達式；強化單位細分的算理模型，豎式不急于化簡；課時劃分上可以再斟酌科學合理性。

關鍵詞：算法；算理；單位細分；商中有0；學習路徑

中圖分類號：G623.5??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1673-8918（2024）08-0066-05

除數是一位數的筆算除法是學習除數是多位數除法的基礎，是整數除法算理算法學習重要的一個單元。在人教版教材中給出口算除法3課時，筆算除法7課時，估算和解決問題2課時的教學建議，其中商中有“0”筆算除法在教材中作為一個教學難點，共安排了4課時進行分點突破。北師大版數學教材對商中有“0”的除法的類型劃分更細，設置了更多的學習任務以突破難點。這樣的編排，使得有關商中有“0”的除法復雜且瑣碎。看似詳細，實則散亂。教師按課時講解，更多地側重每個課時內容筆算算法的指導。學生所學的內容沒有一條“藤”串連，知識碎片化，在一定程度上增加了后續知識的學習難度。如何“站在單元的高度，把散點狀的知識串聯成線，再連成片、構成塊”？設計什么樣的學習路徑才能順應學生認知邏輯，滿足學生自主遷移？

為此，學校在專家引領下，組建了一個核心團隊，進行學習路徑設計研究。閱讀大量國內專家關于單元整體教學及數與運算一致性資料，對國內外不同版本的教材進行對比分析。史寧中教授提出“計數單位”是實現“數與運算一致性”的抓手。鞏子坤教授進一步提出整數除法的核心在于“計數單位的細分”，用橫式更加容易表達算理，豎式更加容易表達算法。因此，確定把除數是一位數筆算算理定位在單位細分，即“一位位分，一位位商”。這樣每一位上計數單位的個數都只要做除法想乘法，做乘法想口訣。在“單位細分”算理統整下，商首位有0、商末尾有0、中間有0等所謂的教學難點不再是難啃的骨頭，而只是這個通性通法之中的一個小應用，一個課時就能把商中有0的教學難點一一化解。

基于此，我們將本單元重新組合，去掉口算，設計成單位不用轉換、需要單位轉換、商中有0這樣三節關鍵課加一節復習課。文章主要研究“商中有0”的學習路徑。具體探查以下問題：①以“單位細分”算理貫通商中有0的筆算除法的學習路徑是什么？②基于“單位細分”的商中有0的筆算除法學習路徑實施效果如何？

一、 研究設計

（一）研究對象

選取YHSY小學三年級甲、乙班作為實驗班，按照本研究設計的學習路徑教學。同時，選取同一學校平行班丙、丁班為對照班，教師按人教版教材中的課時學習路徑進行授課。實驗前，對四個班學生進行整十數、整百數除以一位數口算前測評估。結果表明，四個班不存在顯著差異。

（二）研究流程

圖1? 研究步驟

（三）理論支撐

1. 基于“單位細分”的除法算理

算理分成：

①單位不需要轉化。以484÷4為例，算理過程如下：

484是由4（百）8（十）4（一）組成的

4（百）÷4=1（百），8（十）÷4=2（十），4（一）÷4=1（一），

1（百）+2（十）+1（一）=121

②單位需要轉換。以48÷3為例，算理過程如下：

48是由4（十）8（一）組成的

4（十）÷3=1（十）……1（十）

1（十）=10（一）（轉化單位）10（一）+8（一）=18（一）

18（一）÷3=6（一）

1（十）+6（一）=16

這就是用橫式表達“算理”過程：“單位細分”即“一位位分，一位位商”貫穿始終。然后將算理與豎式算法進行溝通，達到算理與算法互相融合。同時將商中間有0或商末尾有0這些所謂的計算難點也利用“一位位分、一位位商”這樣的通性通法一一破解。

2. 表征方式

在除數是一位數的除法教學中，有以下表征方式來說明算理，如表1所示。

程序表征通過運算法則列豎式進行整數除法運算，如48÷4。

直觀表征利用具體物體說明運算的合理性，如分小棒、小方塊等。

語言表征用語言描述運算的合理性，如148÷6可以這樣描述一個百除以8不夠除，就用14個十除以6，商2寫在十位上余2個十，余下的2個十和8個一合起來是28個一除以6，商4寫在各位商，余4。

抽象表征通過推理來描述運算的合理性，如基于“單位細分”來推演除數是一位數除法的算理。

（四）問卷及數據處理

授課后，對實驗班和對照班進行后測練習，習題如下：

403÷3? 608÷4? 413÷8? 680÷4

①實驗班作業要求：先用橫式表達算理，再用豎式表達算法。

②對照班作業要求：直接用豎式計算，并能用文字解釋每一層余下數表示多少。

測試后對問卷進行賦分，實驗班正確寫出橫式得1分，正確寫出豎式得1分，一題2分；對照班能正確寫出豎式得1分，文字解釋正確得1分，一題2分。滿分8分。

二、 研究路徑與分析

（一）已授課和前測

商有0的在本單元整合后是第三課時，前2個課時已把“算理”教授完畢。根據前兩堂課的后測，也就是本次授課的前測。評估分析后發現兩個班得分率如表2所示。

（二）初構的學習路徑A1

1. 路徑呈現

圖2? 初構的學習路徑A2

任務一：第一個環節是4道關于0的口算題，引出0；第二個環節出示人民幣：1張百元紙幣要平均分給5名學生怎么分？1張10元呢？目的是通過人民幣之間的換算，讓學生理解單位細分方法。

任務二：情景題引入新課，最高位有0的除法，重點突破百位不夠分，需要轉化成低一級單位，才能繼續分，百位沒有分成功，就在百位上商0。

任務三：自主探究商末尾有0除法。這個任務是在突破任務二的前提下討論的。

任務四：在突破最高位商0，末尾商0的前提下，舉一反三，練習商中間有0的一個例題。進一步鞏固，當某一位不夠分，就商0，并且將其轉化成低一級單位繼續分。

2. 存在問題

分析學習單完成情況，結果顯示只有部分學生會把橫式算理和豎式算法融合起來，即：橫式是分幾步，豎式就有幾層。在后測錯誤情況分析中，常見錯誤如下：其一，最高位不夠分單位需要轉化的橫式表達學生書寫時會漏掉百位分的過程。其二，百位（最高位）不夠商1時，學生筆算會把百位和十位合并分的結果寫在百位上，如圖3所示；其三個位（末尾）不夠商1，學生會出現無商的現象，如圖4所示。

針對以上錯誤情況，分析初構的學習路徑A1存在以下問題：

①任務一復習回顧未凸顯“單位細分”用橫式表達算理的重要性。導致新授課學生橫式算理的書寫推進緩慢。

②例題選擇和順序不利于算理推進，無形中給教學帶來了羈絆。

初構路徑A1：商首位有0→商末尾有0→商中間有0

例題選取：148÷6→245÷8→208÷2→216÷2

③過于強調筆算化簡方法，算理和算法一致性沒有得到很好的體現，導致學生不能把橫式算理和豎式算法一一對應，融為一體。

3. 改進建議

（1）去掉情景引入，凸顯“單位細分”算理過程

其一：任務一去掉口算引入和人民幣引入，而是直接通過一道不需要單位轉化的計算題，來復習單位細分的橫式過程并規范格式。

其二：任務二去掉情景引入，重點討論商中有0的算理過程。

（2）精選例題，調整順序

針對路徑1出現的問題，我們將學習路徑調整為：復習算理→商中間有0→商末尾有0→商首位有0，對應的例題為：

366÷2→412÷4→653÷5→148÷6

（3）淡化化簡技巧，凸顯算理和算法一致性

強化單位細分的過程，旨在學生頭腦中建立算理和算法一一對應的模型（圖5），不急于化簡。化簡則是熟練之后水到渠成的事情。

圖5? 凸顯算理和算法一致性

（三）優化的學習路徑A2

1. 路徑呈現

圖6? 優化的學習路徑A2

本節課的教學目標是：理解“被除數的某位不夠商1時，應在這一位商0”的算理。與路徑A1相比，路徑A2的教學更加注重橫式算理推進鞏固，教學環節更加簡潔。一道題復習鞏固算理，喚起回憶。新課三道題，從商中間有0開始演繹，然后是商末尾有0，最后是首位商0。如何運用“單位細分”算理來突破商中有0的教學難點。下面將借助部分教學片段來說明。

（1）出示題目：412÷4=

師：同桌討論后完成學習單第1題用橫式記錄計算的過程。

生：安靜記錄，后交流算理。

生1：分成2步。4（百）÷4=1（百）。12（一）÷4=3（一）

師：你是怎么想的？（圖7）

圖7? 分2步作業單

生1：因為1（十）÷4除不了，那就把個位加上一起除。

生2：先把412分成4個百、1個十和2個一；然后4（百）÷4=1（百），1（十）÷4除不了商就是0（十）還余下1（十），然后1（十）=10（一）再加上個位上的2個一，就是12個（一），然后12（一）÷4=3（一）答案就是103（圖8）。

圖8? 分3步作業單

師：我們比一比分2步的學生，和分三步的學生，分三步的學生多的是哪個步驟？

生：多的是1（十）÷4不夠除，就商0還余1（十）

小結：兩步的學生其實腦子里也想到了1（十）不夠分，只是沒有把這一步寫出來。而三步的學生正好把這一步補上了，不夠商1，可以商0。沒有分成功的1（十）就余下來。所以這道題完整的也是3步。

（2）把橫式的過程用豎式記錄

師：小朋友會把剛才討論的三個步驟用豎式記錄下來嗎？寫在學習單對應的方框內。

生：安靜完成作業單。

師：展示學生作業單，說說每一層對應的是橫式的哪一步。

師：請學生在豎式上標出橫式分的步驟。（圖9）

圖9? 豎式作業單

這節課的重點就是突破商的某一位不夠分時，就商“0”并把余下的數轉化成小一級的計數單位。在探究新課時，選擇從商的中間有0開始，更能讓學生理解“十位不夠分的時候，必須把十位的計數單位轉化成更小的計數單位，即“1（十）÷2=0（十）……10（一），10（一）+2（一）=12（一）”不夠分的十位就寫“0”的道理。在理解橫式的基礎上，用豎式來表達算理，能在豎式中找到橫式的3步。

2. 路徑效果檢驗

（1）甲、乙實驗班即時教學效果檢驗

在路徑A1和路徑A2實施后，依次對甲、乙班學生進行后測，統計學生班級平均分，其中乙班學生的班級平均分（6.87分）明顯高于甲班（4.80分）。通過獨立樣本t檢驗，結果顯示，甲、乙班的得分（t=2.285，p<0.05）存在顯著性差異。由此可見，路徑A2的效果優于A1。

（2）實驗班、對照班即時后測分析

對“實驗班”“對照班”學生即時后測進行獨立樣本t檢驗，結果顯示，（t=2.846，P＜0.05）存在顯著差異。由此可見，實驗班學習路徑與對照班學習路徑相比，實驗班的學習路徑更加有利于學生理解算理，使得橫式和豎式能夠很好地融合在一起。用橫式疏通算理，用豎式把算理和算法融會貫通。

（3）甲、乙試驗班延遲后測分析

授課結束3周后，對兩個實驗班進行延遲后測。結果顯示，甲班得分率降低了12.82%，乙班降低了5.35%，這說明乙班學生對商中有0這一課，算理掌握更加到位，教學效果持久性更強。

3. 存在不足及建議

雖然優化后的A2的學習路徑相比A1已經有了很大的改進，但在教學中，仍然發現了諸多問題。如部分學生在轉化成下一級單位時，會跳級。即：百位余下的數會轉化成幾個一，使得繼續分的過程變得非常復雜。建議在課時劃分時是否可以考慮增加一節課教學48÷5用小棒實踐操作，讓學生經歷4（十）÷5不夠分，必須把4捆小棒全拆了和8根小棒合起來，才能分成功的體驗。然后再教學148÷6，直觀表征和抽象表征結合。第四課時重點教學商中間有0和末尾有0的除法只用抽象表征。

進一步優化后的學習路徑A3和路徑A2變化不大，只是完善了例題出示的形式變化，故不再詳述。

三、 研究結論與啟示

（一）研究結論

（1）在除數是一位數商中有0的除法學習路徑中，以單位細分的通性通法貫穿始終，即“一位位分，一位位商”。在教學過程中先教學商中間有0，再末尾有0，最后首位有0，把商中有0的教學難點也統整到了單位需要轉化和單位不需要轉化兩類算理當中，0只是通性通法下的一個小技巧。從而實現數與運算一致性的核心理念下單元整體教學的目標。

（2）研究數據表明，借助該學習路徑，本研究中的學生能夠借助“一位位分，一位位商”理解運算的算理，理解商0的意義，獲得較高的計算正確率。與教材中的學習路徑相比，本研究設計的學習路徑有利于學生理解除數是一位數除法筆算的算理。

（二）研究啟示

（1）學生層面：本次學習路徑的探究，對標《義務教育數學課程標準（2022年版）》理論：核心素養具有整體性、一致性和階段性。要讓學生體會數和運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。在之后的復習課中，借助“單位細分”這個算理模型遷移學習三位數除以兩位數，四位數除以兩位數，學生也能融會貫通，正確計算。學生對整數除法有了整體的、系統的認識，理清了知識的來龍去脈，有助于持久記憶、深度理解和廣泛遷移。正如弗賴登塔爾所說：不要教孤立的片段，應該教連貫的材料，因為有聯系的事物學得快，記得牢。

（2）教師層面：本次研討之后，我們將在此基礎上繼續完善和改進，為下一次實踐探究提供寶貴的數據和建議。雖然這個過程艱辛甚至要反復推倒重來，但對一線教師，無疑是一次對單元進行大刀闊斧整合的嘗試，打破單一課時的思維，并且對數與運算一致性的理解有了突破性的認識。本次教研方案被評為區級二等獎，研究成果總結報告獲一等獎，數學教研組被評為區級優秀教研組，二位教師的教學設計獲區一等獎，一位獲二等獎。一位教師在區級單元整體教研活動中做了關于單元框架的講座，二位教師在“國培”班中上了展示課。學校教師在專家團隊引領的教研氛圍中，持續提升教師的教研水平，最終受益于學生。

參考文獻：

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