核心素養下高中數學“微專題”復習的實踐探究

作者簡介：徐燕（1979～），女，漢族，浙江杭州人，浙江省杭州市蕭山區第三高級中學，研究方向：高中數學教學。

摘? 要：文章基于核心素養背景下，針對高三二輪復習，以探究“多元變量最值問題”，給出微專題的實踐探究——立足基礎，探究本質；類比歸納，尋求創新；鏈接拓展，提升品質，探究多元變量最值的解題策略。學生掌握消元法、判別式法、三角換元法、基本不等式等常用方法，了解齊次式、幾何法（余弦定理、幾何意義）、向量法等特殊解法，實現數學學科內知識的融合和應用，培養學生的轉化與化歸思想，滲透數學運算和邏輯推理核心素養。

關鍵詞：微專題；多元變量最值；核心素養

中圖分類號：G633.6??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1673-8918（2024）08-0076-05

一、 問題的提出

對于高中數學學科而言，核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析等能力。這些數學學科核心素養既相對獨立又相互交融，是一個有機的整體。高三復習課的任務是幫助學生整合知識和方法，形成知識體系與方法策略，領悟數學思想。但是在高三二輪復習教學中，對專題復習筆者有以下三點困惑：①專題復習定位高，部分高三教師對高考的命題耳熟能詳，力圖使自己的教學一步到位，故選題定位過高，這些專題“專”而不“微”，學生望塵莫及，失去學習信心；②高三二輪專題復習時間緊，綜合性強，思維前后跨度大，部分教師只顧訓練題型，忽略思維關聯，不去突破“類”的束縛，對提高解題能力沒有多大幫助；③專題復習是再炒一遍“冷飯”，教師經常是講壓軸題，就題講題，直接灌輸解題方法，專題課復習任務繁重，學生也提不起學習的興趣。如何改善這些現象，更好地發揮數學的內在力，筆者在專題的選擇和研究上做了嘗試和改進，復習教學中設計“微專題”來研究解題策略，更好地在數學教學中實現數學的思維價值。

二、 微專題概念界定

微專題是針對一個知識點或一類問題進行探究和定點突破的專項研究，也是圍繞復習的重點和關鍵點設計的。通常選擇一些角度新、切口小、熱點高、針對性強的復習專題，力求解決復習課中的小問題、真問題和實際問題。

基于核心素養的微專題的特點是教學不受教材限制，具有靈活性和時效性。靈活性體現在內容上，其不受當前的章節內容制約，其次是時間上的靈活性，可以在復習的任何階段出現。時效性是關注學生當前的學情，不生搬硬套復習教材，隨時幫助學生整合自己已學過的知識，優化和構建新的知識網絡。

基于核心素養的微專題教學對高三的二輪復習更加行之有效，下面筆者以“多元變量最值問題”為例，探究其解題策略。

三、 核心素養下高中數學“微專題”復習的實踐探究

（一）立足基礎，探究本質

“微專題”不等同于“專題”，專題可以分為大專題、小專題和微專題。要設計一個好的微專題，則應根據整合知識結構和內容，關鍵是選擇好題型或知識點，題不在多，而在于精，即所選的例題和習題不但能把握高考考向，還要能體現數學的核心知識、方法和思想。精選“微專題”的最終目的是幫助學生解決一輪復習中的缺陷。因此，如何選擇好的微專題，用微專題去解決什么，期望微專題教學后能達到什么效果，教師在設計微專題的時候都要預設好，在課前要充分挖掘教材，掌握學生的學情，做好題型的整合。

縱觀近幾年的全國高考卷中，很多題型源于教材，是基礎知識的整合、加工和改編，目的是回歸學生的最近發展區，鞏固原有知識與方法，出題充分體現了以課本為本的原則。高三教師要深度挖掘教材例題、習題，從課本出發，設計微專題，使二輪復習更加行之有效。

【典例1】雙變量是近年來求最值問題的命題熱點，這類問題形式多樣，解法靈活，值得我們去探究。下面我們來看一個例題。已知正實數x，y滿足x+y-xy=3，求x+y的最小值為??? 。

師：已知條件為二元含一次、二次的非齊次式，目標是求二元一次的最值。我們可以采用什么方法求最值？

生異口同聲說：可以采用消元，轉化為函數求最值。

師：下面我們進行分小組討論，可以采取哪些方法？看哪個小組方法最多？

生1：消元從函數的角度入手，通過消元或其他手段把原問題變成一元函數的最值問題。

可根據條件“x+y-xy=3”，通過變形化簡y=x+3x-1，因為x，y是正實數，x>0（x+3）（y-1）>0，x>1，y>1。

x+y=x-1+4x-1+2≥2（x-1）·4x-1+2=6，當且僅當x=y=3時取等號，x+y最小等于6。

師：很好，通過消元轉化成函數求最值，那解決函數最值我們還有其他解法嗎？

生2：老師我也要補充，當前面一個同學轉化成f（x）=x+y=x+x+3x-1時，我們也可以用導數來求函數的最值f′（x）=（x+y）′=1+-4（x-1）2（x>0），f（x）在（0，3）單調遞減，在（3，+∞）單調遞增，所以f（x）在x=3時取到最小值6。

師：很好，還有其他解法嗎？

生3：從配湊基本不等式入手，通過條件“x+y-xy=3”轉化成（x-1）（y-1）=4，則令x-1=t，則y-1=4x-1，解得t>0，原式可轉化為t+4t+2≥2t·4t+2=6，當且僅當x=y=3時取等號，x+y最小等于6。

生4：老師，我也有補充，利用不等式思想將積轉化為和的形式，再解不等式方程。由題可知x+y=xy+3≤x+y22-3，即（x+y）2-4（x+y）-12≥0，于x+y>0，解得x+y≥6，當且僅當“x=y=3”時取等號，故x+y的最小值為6。也可以利用和轉化為積，即x+y=xy-3≥2xy，得（xy）2-2xy-3≥0，xy≥3，x+y≥2xy≥6，當且僅當“x=y=3”時取等，故x+y的最小值為6。

生5：老師，可以從方程思想入手，令x+y=t>0，則x=t-y，將其代入題設x+y-xy=3中，并化簡得y2-ty+t+3=0，把它看成關于y的一元二次方程，方程有正根，而y+y=t>0，yy=t+3>0，因此只需Δ=t2-4×（t+3）≥0（t>0）即可，解得t≥6，所以x+y的最小值為6。

【設計意圖】題中含有兩個變量，且約束條件的方程只有一個，無法求解兩個變量的值，因此，消元是求解的一個突破口。消元法和換元法都是從這個思想出發的。利用函數思想和導數思想將題目轉化為解決函數最值的問題，其中將涉及函數和導數的定義域、單調性等知識點，體現了數學學科的知識遷移與融合，培養了學生轉化與化歸思想。利用判別式法則體現了方程的思想，利用方程有解求解目標的范圍。利用基本不等式法是考查學生的變形能力和配湊能力，充分培養邏輯推理的核心素養。所以需要仔細研究再設計微專題，從學生復習思維發展區出發，挖掘學生在復習階段的知識內在聯系，從而能引起學生知識上的增長，也能激發學生的探究熱情，還能提升學生的數學思維，讓學生更好地回歸出題的本質。

（二）類比歸納，尋求創新

設計“微專題”的最終目的是要達到學生“做一題，通一類”的效果，形成一套基本解題策略。不能單一地停留在就題論題，不分析、不歸納、不總結解題方法。所以還需設計更具挑戰性的“微專題”，在教師的引領下，學生能夠自主嘗試對問題進行探究，建立合適的數學模型，歸納出新的解題方法，將數學知識遷移到新的數學情境中，體會數學思想在一般性的基礎上拓展學生的思維能力。因此，在研究本例題以后，筆者進一步引導學生通過類比歸納，提升自我，尋求創新的解題策略。

師：如果將條件改為二元二次齊次式，目標是求解二元一次的最值，我們將如何處理？

【典例2】（2022年·全國·高三專題練習）已知x，y為實數，若4x2+y2=1-xy，則2x+y的最大值是??? 。

師：此題條件下判別式法和基本不等式法是否仍然適用？消元法與方程換元法是否仍能求解？有沒有更好的處理方法？請同學們小組討論。

生1：利用判別式法可以求解，令2x+y=t，則y=t-2x，將其代入題設4x2+y2=1-xy中，并化簡得6x2-3tx+t2-1=0，把它看成關于x的一元二次方程且x為任意的實數，所以由方程有解，Δ=（3t）2-4×6（t2-1）≥0，可得-2105≤2x+y≤2105，故2x+y的最大值為2105。

生2：利用基本不等式先求解xy的范圍，從而求解（2x+y）2的范圍。

1=4x2+y2+xy≥4xy+xy=5xy，當且僅當2x=y=105時取等號，可得xy≤15，（2x+y）2≤85，即-2105≤2x+y≤2105，∴2x+y≤2105。

生3：還可以利用三角換元，從平方關系“sin2θ+cos2θ=1”出發，觀察題設條件4x2+y2=1-xy，配方可得152x2+y+x22=1，設152x=cosθ，y+x2=sinθ，從而x=215cosθ，y=sinθ-cosθ15，則2x+y=315cosθ+sinθ=2105sin（θ+φ），sin（θ+φ）SymbolNC@［-1，1］，2x+y∈-2105，2105，故2x+y的最大值為2105。

生4：可以利用齊次式，觀察題設條件為二元二次齊次式，將結論“2x+y”平方后也得到二元二次齊次式，利用1的代換得（2x+y）2=（2x+y）21=4x2+y2+4xy4x2+y2+xy，上下同除y2，（2x+y）2=4xy2+4xy+14xy2+xy+1，換元令xy=t，利用函數分離思想求最值，f（t）=4t2+1+4t4t2+1+t=1+3t4t2+1+t，設當t=0時，f（t）=1；當t≠0時，f（t）=1+34t+1t+1，因為4t+1t∈（-∞，-4］∪［4，+∞），所以f（t）∈［0，1）∪1，85，所以f（t）SymbolNC@0，85，故2x+y的最大值為2105。

生5：從構造余弦定理入手，由4x2+y2=1-xy整理得（2x）2+y2-12=2（2x）y·-14，不妨設x>0，y>0，則令a=2x，b=y，c=1，cosC=-14，由余弦定理a2+b2-c2=2abcosθ，要求2x+y的最大值即求a+b的最大值為2105。

觀察下圖，由幾何直觀易知當a=b時a+b取到最大值，此時a2+b2-c2=-12ab，計算可得a=105，故（2x+y）max=2a=2105。

生6：從向量入手，由題可知152x2+y+x22=1，令a=x2+y，152x，b=1，315，則｜a｜=1，所以2x+y=a·b≤｜a｜·｜b｜=｜b｜=12+3152=2105，故2x+y的最大值為2105。

【設計意圖】此例題具有典型意義、一題多解，通過該例題的研究，學生學會從不同角度將問題進行分析、思考，轉化為一般問題，從而提升自身的轉化與化歸能力以及邏輯推理能力，滲透數學邏輯推理的核心素養。方法總結：對形如Ax2+By2+Cxy+D=0（其中A，B，C，D為常數）的形式，求mx+ny的最值（其中m，n為常數），常規的選用判別式法，令mx+ny=t，消元后代入原方程，利用一元二次方程有解求判別式；一般如果可以配方，也可以選擇三角換元，換元后求利用三角函數的取值范圍最值問題，進而提升學生轉化與化歸的思想，這兩種方法學生較容易掌握，操作簡便。另外，當A，B同號時，也可以利用余弦定理進行轉化，這也是比較直觀的方法，從而可以培養學生數形結合的能力，利用圖形較直觀地進行求解；如果是特殊情形，可以采用齊次式和向量進行求解，但比較局限。通過這個典型題例，學生能掌握多元最值問題解法的多種形式，在解題中進行策略探索，不斷建構自己的知識網絡體系，完善自己的數學思維結構和模型，從而提升數學運算和邏輯推理核心素養。

（三）鏈接拓展，提升品質

數學中的一些新的解題思路和方法是對已有的通性通法的改進和拓展，是為了啟發學生多層次、多角度地感受數學問題的異曲同工之妙。一題多解，是為了激發學生的學習興趣，提升學生良好的思維品質，促進學生的核心素養。微專題的設計要充分考慮學生已有的數學水平，用以滿足不同層次的學生的需求，保證每一位學生在復習中達到收益最大化。因此，教師通過“鏈接拓展，提升品質”的微專題設計來滿足學生的分層需求，提升學生的數學思維品質，培養學生的探究新知能力。

師：我們將條件變成三元變量的齊次式，但目標是三元非齊次式，再來求最值。同學們，解決此類問題的核心思想是什么？你會選擇用哪種方法？

【典例3】（2021年4月·杭州二模·T15）已知x>0，y>0，z>0，且x2+y2+z2=1，則（z+1）22xyz的最小值為??? 。

生：解決求三元非齊次分式的最值，基本方法還是消元，利用不等式消元，1-z2=x2+y2≥2xy，所以（z+1）22xyz≥（z+1）2（1-z2）z=z+1（1-z）z。由于已知條件與目標均為三元變量，可以利用基本不等式進行消元，現目標為不齊次的分式函數，可利用換元法或者配湊法將其轉化為對勾函數，從而求解函數最值。設m=z+1∈（1，2），則z=m-1，所以z+1（1-z）z=m（2-m）（m-1）=m-m2+3m-2=1-m+2m+3≥1-22+3=3+22，當且僅當“m=2”時取等，故（z+1）22xyz的最小值為3+22。

利用方程思想設z+1（1-z）z=m，則mz2+（1-m）z+1=0，則可以看成是關于z的一個一元二次方程有正實數根z1+z2=m-1m>0z1z2=1m>0Δ=（1-m）2-4m≥0，則解得m≥3+22。

【設計意圖】“微專題”注重學生獲取處理數學問題的能力，通過三元變量求最值，學生能領悟目標思想的重要性，正確掌握消元的方法，再根據目標挑選適合的解法。掌握多種解題思路有助于鍛煉學生的思維，提高學生分析解決問題的能力，學會從多種方向、角度思考問題，靈活解題，不斷鞏固基本知識與方法，增強運算能力，提升轉化與化歸的思想，自然突破學習難點，形成數學素養，達到“潤物細無聲”的效果。

通過以上3個典例的實踐探究，筆者總結了解決多元變量最值的方法。

方法一：代數法

①多個變量先消元到兩個變量（消元前必須先找到變量間的等量關系或不等關系）。

②兩個變量可以用：基本不等式：兩個正數和與積的形式。

三角換元：形如（x-a）2+（y-b）2=r2。

判別式：關于變量的二次方程有解Δ≥0。

方程換元：積為定值的雙變量方程等（能因式分解）。

整體消元：齊次分式、齊次方程等。

向量：利用相應向量數量積運算、模長。

③若不行，再消元轉化為一個變量：研究函數最值：基本函數（圖象）、復合函數（換元）、其他函數（導數）。

方法二：幾何法（將代數問題轉化為幾何問題，利用幾何直觀求最值）。

四、 結論

微專題形式的復習課在中學數學中具有廣泛的應用，能細微精準地聚焦考點，高效地針對某一具體知識點開展復習，能促進學生構建數學知識網絡，完善知識結構。本研究通過微專題復習的形式，探究多元變量最值問題的解題策略，不僅能夠將各個方面的知識內容聯系起來，還有助于我們探索數學的本質，發散數學思維，具有深刻的意義。而數學核心素養的培養與提升也不是一蹴而就的，教師需要在日常教學中不斷滲透和落實。通過對多元變量最值問題解題策略的探索，學生能不斷提高解題能力，借助運算促進數學思維的發展，滲透數學思想方法，提升數學核心素養。微專題不是小問題，也不是幾個類似的問題簡單組合而成，其是知識的再構建，是一種為學生理解數學本質而構建的復習策略，幫助學生構建良好的認知結構，促進學生深度學習，讓學生更能把握數學學習方向，更容易突破重點、難點。通過微專題教學，有利于培養學生的探究能力，有利于培養學生的創新能力，有利于提高學生思維品質。

參考文獻：

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［4］何振華.多變量最值問題切入點的探究［J］.高中數學教與學，2014（11）：19-22.