M-φ曲線的計算原理及其在橋梁抗震分析中的應用

張曉煒

（山西省交通規劃勘察設計院有限公司，山西 太原 030000）

0 引言

橋梁是交通線路中的重要組成部分，橋梁結構的穩定對于線路的安全運營有著重要意義。地震中，橋墩作為橋梁結構中重要的豎向承重構件，其抗震性能將影響到整個橋梁的安全。我國是多地震國家，對橋梁開展抗震分析尤其重要。M-φ曲線的繪制是橋梁抗震分析的重要步驟，該曲線的正確繪制及應用直接影響橋梁抗震分析的可靠性。本文基于平截面假定，通過力學計算繪制M-φ曲線，并對該曲線在橋梁抗震分析中的應用進行說明。

1 M - φ曲線的基本理論與計算方法

1.1 基本假定

平截面假定：即截面變形后仍保持平面，截面應變為線性分布；剪切應變的影響忽略不計；鋼筋和混凝土之間無滑移現象。

1.2 材料應力-應變關系的本構模型

鋼筋的應力-應變關系采用理想彈塑性模型，按照雙折線模型選取，坡度即彈性模量E1，如圖1所示，鋼筋應變屈服后的E2按照Higashibata提出的E2=0.01E1取值，E1=tanα。

圖1 鋼筋的應力-應變關系

混凝土的應力-應變關系采用《公路橋梁抗震設計規范》建議使用的mander約束混凝土本構模型[1]。該模型考慮了箍筋對核心區混凝土的約束作用，它既適用于圓形箍筋，也適用于矩形箍筋，如圖2所示。

圖2 混凝土的應力-應變關系

1.3 計算方法

為了精確地進行分析，將混凝土截面離散為若干個小單元，并假設其滿足平截面假定，每一單元處于單軸應力狀態且單元上應力均勻分布。矩形截面鋼筋混凝土構件，在正截面受力情況下，截面的條帶法分割以及應力應變分布如圖3所示。

圖3 截面條帶法分割以及應力應變分布圖

根據平截面假定，可得截面曲率為：

式中：

εc——受壓區邊緣混凝土壓應變；

εs——受拉鋼筋應變；

h0——截面有效高度。

截面上任意單元中心處的應變為：

式中：

yi——任意單元的中心距截面形心軸的距離。

混凝土和鋼筋的應力根據材料的應變-應力關系計算得到：

根據平截面假定，截面內力與應力之間滿足如下關系：

式中：

AC，As——混凝土和鋼筋截面積。

當單元厚度比較小時，可以認為單元內的應力是均勻不變的，用平均應力表示層內的應力狀態。因此式（4）的軸力、彎矩計算可以近似的按以下的形式計算：

上式中，對于柱截面，N≠0。由于在彈塑性范圍內，軸力和彎矩的力學行為是相互影響、相互耦合的，截面內力和變形關系的表現形式比較復雜，因此在計算截面M-φ關系時，一般假定軸力不變，僅考慮彎矩和曲率之間的相關關系[2]。筆者以表1中截面參數為例進行計算分析，利用Midas軟件繪制不同軸力作用下M-φ曲線圖，如圖4所示。

表1 橋墩截面參數

圖4 不同軸力作用下M - φ曲線圖

從圖4中可以看出，當軸力變大，曲線形式變化不大，只是變化程度不同，且隨著軸力變大，最大曲率變小，延性變差，在軸力較大的情況下，截面剛屈服就進入破壞狀態[3]。

為了便于分析計算應用，可通過將實際的曲線等效為理想彈塑性M-φ曲線，等效方法可根據圖中陰影面積相等求得，如圖5所示。

圖5 M - φ實際曲線與等效曲線示意圖

2 M - φ曲線在橋梁抗震分析中的應用

2.1 用于超強彎矩計算

墩柱抗彎超強是指墩柱實際極限彎矩要大于其設計值，引起墩柱抗彎超強的原因很多，最主要的是鋼筋在屈服后的極限強度比其屈服強度大，而鋼筋實際屈服強度又比設計強度大。在延性設計和保護構件設計等原則的指導下，需保證預期出現彎曲塑性鉸的構件不發生脆性破壞，并保證構件處于彈性變形范圍，在確定它們的彎矩、剪力設計值時，采用抗彎超強系數來考慮超強現象[4]。

墩柱軸力的變化會引起M-φ曲線的改變，因此在考慮超強彎矩計算時所用到的極限彎矩應為最大軸力下的彎矩。最大軸力為恒載軸力加上地震動軸力（絕對值）。由此可得利用M-φ曲線取值計算超強彎矩的公式：

式中：

Mu——最不利軸力作用下的極限彎矩；

?0——橋墩極限彎矩超強系數，取1.2。

2.2 用于等效線彈性分析

當鋼筋屈服后，在地震作用下，結構進入彈塑性工作狀態，此時關注的不再是結構強度，而是結構變形，嚴格意義上來說，應采用非線性時程分析方法進行抗震分析，但該方法計算較為復雜。對于規則橋梁，可根據等位移原理和等能量原理，采用簡便的線彈性方法進行抗震分析，以減少計算分析過程。由于簡化為彈性分析，因此構件截面特性應采用有效抗彎剛度，地震位移應乘以考慮彈塑性效應的修正系數，以保證不會過低估計結構的變形[5]。

采用等效線彈性方法計算時，延性構件的有效截面抗彎剛度按下式計算：

式中：

Ec——橋墩彈性模量；

Ieff——有效截面抗彎慣性矩；

My——等效屈服彎矩；

?y— —等效屈服曲率。

2.3 用于單柱墩墩頂容許位移與塑性鉸轉動能力計算

由塑性鉸模型，即假設截面彈性曲率沿墩柱線性分布，塑性曲率在一定范圍內以一定理想化模式分布，進而求得橋墩的位移，橋墩曲率分布如圖6 所示，計算公式如下：

圖6 曲率分布模式圖

式中：

Δe——墩頂彈性位移；

Δp——墩頂塑性位移；

?y——等效屈服曲率；

?u——截面極限曲率；

Lp——塑性鉸長度；

Kds——延性安全系數，可取2.0。

3 M - φ曲線的應用實例

根據表1中給出的橋墩截面參數，建立單柱墩計算模型，假定軸力為零，單柱墩高度為10m，得到橋墩單元截面的M-φ曲線，如圖7所示，并求得超強彎矩、墩頂容許位移和塑性鉸最大容許轉角，如表2所示。

表2 計算結果

圖7 橋墩單元截面的M-ф曲線

4 結束語

本文首先以繪制橋墩M-φ曲線為目標，分析了M-φ曲線計算的基本理論和計算方法。M-φ曲線為截面特性值的體現，對曲線上的三個特殊點的值合理使用，有利于結構計算理論的多樣化與簡便化。此外，本文還分析了M-φ曲線在橋梁抗震計算分析中的應用，可以看出，該曲線將彈性分析與彈塑性分析實現了有機轉換，為結構抗震分析提供了基礎數據。