例談模型意識(shí)的培養(yǎng)策略

倪艷

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，模型意識(shí)是伴隨小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心素養(yǎng)之一。筆者以“相遇問題”的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)。

一、原型轉(zhuǎn)化，初步感知模型

“相遇問題”屬于“行程問題”，是較難理解的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生需要具備一定的抽象思維能力才能解決這類問題。教師可以使用具體、形象的方式演示抽象的“相遇問題”，喚醒學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生初步建立“相遇問題”的模型。

課堂上，教師首先引導(dǎo)學(xué)生玩“紙飛機(jī)”的游戲，讓學(xué)生在游戲中感知速度、時(shí)間、路程、方向幾個(gè)要素及它們之間的關(guān)系。接著，教師選擇兩名學(xué)生演示“相遇問題”的場景。模擬情境時(shí)，當(dāng)學(xué)生喊出口令“預(yù)備——開始”，兩名學(xué)生面對面從相對的方向出發(fā)，直到相遇后停下。有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)相遇時(shí)速度快的同學(xué)走的路程長一些，速度慢的同學(xué)走的路程短一些；有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，用時(shí)相同；有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)相向而行是兩人從相對的方向面對面出發(fā)；還有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們走的總路程是一名同學(xué)走的路程與另一名同學(xué)走的路程之和。在此基礎(chǔ)上，教師讓兩名學(xué)生演示相向而行但尚未相遇的情況，即喊停時(shí)兩人之間還有一段距離，學(xué)生感知到在這種情況下，一名同學(xué)走的路程加另一名同學(xué)走的路程，再加未走完的路程，等于總路程。教師采用讓學(xué)生演示的方式化靜態(tài)知識(shí)為動(dòng)態(tài)體驗(yàn)，讓學(xué)生直觀感知“相遇問題”的數(shù)學(xué)模型，輕松悟出了“相遇問題”中的要素及其基本數(shù)量關(guān)系。

二、多元體悟，經(jīng)歷建模過程

解決“行程問題”的前提是學(xué)生經(jīng)歷建模過程，多元體悟并建立模型。教師要啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)審題并提取關(guān)鍵信息，分析題目中的數(shù)量關(guān)系，辨析題目中的變量，建構(gòu)“相遇問題”的模型并應(yīng)用模型。

課堂上，教師出示例題：“小米和小花分別從各自的家同時(shí)出發(fā)，相向而行。小米的速度為40米/分，小花的速度為60米/分，5分鐘后兩人相遇。小米家和小花家相距多少米？”教師先提示學(xué)生審題時(shí)要抓住“題眼”，提取關(guān)鍵的四個(gè)要素：兩地、同時(shí)、相向、相遇。接著，教師啟發(fā)學(xué)生從具體到抽象地展開思考，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法畫出線段圖（如圖1），表示出運(yùn)動(dòng)的要素：運(yùn)動(dòng)地點(diǎn)、速度、時(shí)間、方向、距離等。這樣做，題目中的條件和問題一目了然，有利于學(xué)生分析、提煉題目中數(shù)量關(guān)系的模型。通過以上學(xué)習(xí)過程，學(xué)生明晰了“相遇問題”的數(shù)量關(guān)系，比較容易地發(fā)現(xiàn)了解題思路：可以先求小米5分鐘走了200米，再求小花5分鐘走了300米，最后求出總路程500米，進(jìn)而提煉出“路程部分量+路程部分量=路程總量”的數(shù)量關(guān)系模型。

實(shí)際教學(xué)中，部分教師會(huì)在學(xué)生掌握第一種解題方法的基礎(chǔ)上，直接引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用乘法分配律得出第二種解題方法，并讓學(xué)生機(jī)械記憶相應(yīng)的第二種思路：運(yùn)用“速度和×?xí)r間=路程”的模型解題。然而，這種轉(zhuǎn)化方式很難讓學(xué)生真正理解這一模型。為此，教師可以通過畫線段圖法幫助學(xué)生抽象出該模型。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：小米和小花第1分鐘共同走了“40+60”米，第2分鐘又共同走了“40+60”米，進(jìn)而提煉出兩人每分鐘行“40+60”米，相遇時(shí)共走了5個(gè)“40+60”米。學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)，第二種思路仍是“速度×?xí)r間=路程”的數(shù)量關(guān)系模型，并體會(huì)到畫線段圖有助于更直觀、深刻地理解“相遇問題”中的等量關(guān)系。

三、整體貫通，體會(huì)模型價(jià)值

在模型的應(yīng)用階段，教師要聯(lián)系生活實(shí)際設(shè)計(jì)分層練習(xí)，幫助學(xué)生在解決“相遇問題”的過程中更好地理解問題的本質(zhì)和解題策略，從而提高學(xué)生的高階思維能力，使他們形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維。

應(yīng)用模型環(huán)節(jié)，教師可以讓學(xué)生逐層體會(huì)模型的價(jià)值。基礎(chǔ)題采用讓學(xué)生自主分類編題的形式，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)不同類型問題的數(shù)量關(guān)系、解決方法及注意要點(diǎn)。學(xué)生類比例題列舉出生活中相向開車、相向游泳、相向跑步等常見的“相遇問題”。在學(xué)生理解并掌握“相遇問題”數(shù)學(xué)模型后，教師通過引入《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)名題“今有鳧（野鴨）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧雁俱起，問何日相逢？”，讓學(xué)生在感受中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的同時(shí)，進(jìn)一步建構(gòu)“相遇問題”模型。

在理解并解決此問題的基礎(chǔ)上，教師通過出示情境不同但本質(zhì)相同的購物問題、打字問題、合修公路等同質(zhì)問題，不斷豐富模型。通過模型的演變與關(guān)聯(lián)，學(xué)生整體建構(gòu)了乘法數(shù)量關(guān)系的模型，剝離不同情境的“外殼”后，認(rèn)識(shí)到這些問題都屬于同類問題，其數(shù)學(xué)模型的實(shí)質(zhì)都是“每份數(shù)×份數(shù)=總份數(shù)”，真正達(dá)到了融會(huì)貫通。這樣教學(xué)，拓展了學(xué)生模型意識(shí)建構(gòu)的寬度和深度，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和遷移。

學(xué)生掌握基礎(chǔ)題組后，教師可以采用先扶后放的方式，適當(dāng)給出提高型變式問題，增加問題解決的思維含量。如在出示“甲、乙兩車同時(shí)從相距290千米的兩個(gè)地點(diǎn)相向而行，甲車的速度是每小時(shí)60千米，乙車的速度是每小時(shí)40千米，多少小時(shí)后兩車相距110千米？”的問題后，教師巧妙地變化運(yùn)動(dòng)情境：“若兩車相遇后繼續(xù)前行，多少小時(shí)后又相距110千米？”“如果兩車不是同時(shí)出發(fā)的，有一輛車先出發(fā)，怎樣求相遇時(shí)間？”學(xué)生的興趣高漲，在教師的引導(dǎo)下，通過獨(dú)立分析、小組交流解決了上述問題。以上教學(xué)，通過行程中要素的不同組合方式，演變出千變?nèi)f化的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，使學(xué)生的模型意識(shí)得以深度構(gòu)建，達(dá)到了一通百通地應(yīng)用模型的學(xué)習(xí)效果。

隨后，教師出示復(fù)雜情況下的拓展題，利用學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)強(qiáng)化學(xué)生的模型意識(shí)。如“王麗和張倩分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，王麗每分鐘走60米，張倩每分鐘走75米，經(jīng)過7分鐘兩人第二次相遇。甲、乙兩地相距多少米？”學(xué)生出現(xiàn)了兩類看法，一類學(xué)生認(rèn)為第二次相遇就是共走了2個(gè)全程，1個(gè)全程應(yīng)該用“（60+75）×7÷2”來表示；另一類學(xué)生提出了反對意見，他們用線段圖表示出兩人的行程情況（如圖2）。學(xué)生豁然開朗，并達(dá)成了共識(shí)——兩人第二次相遇其實(shí)一共走了3個(gè)全程，體會(huì)到解決復(fù)雜行程問題最直接有效的方法是畫線段圖表示題中的信息，利用抽象出的幾何模型化繁為簡，幫助我們分析問題。

學(xué)生從“望題生畏”到豁然開朗的過程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法直觀理解了行程中的關(guān)鍵信息及其關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了“數(shù)學(xué)模型”是巧解復(fù)雜行程問題的腳手架，深度體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思維的樂趣，感悟到數(shù)學(xué)模型的價(jià)值。

此外，教師還可以利用思維導(dǎo)圖或數(shù)學(xué)日記引導(dǎo)學(xué)生回顧、整理“相遇問題”的不同類型，分析其異同及解決問題的注意要點(diǎn)，反思、交流在建模過程中的困惑及解決方法，如此拓展深化模型，幫助學(xué)生形成穩(wěn)固且變通的模型，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省泰州市大浦中心小學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏