對(duì)人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)“圓周角”中一個(gè)圖形及相關(guān)表述的商榷

李卓 李欣悅

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教科書(shū)的圖形與幾何領(lǐng)域中，有大量扮演著腳手架角色的幾何圖形.然而本應(yīng)是腳手架的幾何圖形，有時(shí)卻變成了教學(xué)中的絆腳石.筆者在一次聽(tīng)課過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)“圓周角”這節(jié)中一個(gè)圖形及相關(guān)表述的問(wèn)題.現(xiàn)將發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題提出來(lái)，并在分析的基礎(chǔ)上給出改進(jìn)建議，希望有助于教科書(shū)的修訂.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教科書(shū)；圖形；圓周角

文字和插圖作為數(shù)學(xué)教科書(shū)的兩大組成部分，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)價(jià)值的基本素材[1].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將初中數(shù)學(xué)分為了數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)領(lǐng)域[2]，因此初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中的插圖可以按照上述四個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行劃分.其中，圖形與幾何領(lǐng)域中的插圖主要是幾何圖形，這些幾何圖形主要起到了腳手架的作用.然而本應(yīng)是腳手架的幾何圖形，有時(shí)卻變成了教學(xué)中的絆腳石.筆者在聽(tīng)課過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)“圓周角”中有一個(gè)圖形及相關(guān)表述值得商榷.現(xiàn)將發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題提出來(lái)，并在分析的基礎(chǔ)上給出改進(jìn)建議，希望有助于教科書(shū)的修訂.

1問(wèn)題提出

筆者聽(tīng)了一位數(shù)學(xué)師范生講“圓周角”的一節(jié)課，數(shù)學(xué)師范生在證明同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半時(shí)，在⊙O任取一個(gè)圓周角∠BAC，沿AO所在直線(xiàn)將圓對(duì)折，根據(jù)點(diǎn)A的位置，將折痕分為了折痕在圓周角的一條邊上（圖1）、折痕在圓周角的內(nèi)部（圖2）、折痕在圓周角的外部（圖3）三種情況.

對(duì)于“折痕在圓周角的內(nèi)部”的情況（即圖2）：BC所對(duì)的圓周角∠BAC的度數(shù)是所對(duì)圓心角∠BOC度數(shù)的一半.數(shù)學(xué)師范生給出的證明過(guò)程如下：

證明：如圖2所示，連接AO并延長(zhǎng)AO交圓O于點(diǎn)D，

則AD既平分∠BAC也平分∠BOC，

即∠BAO=∠CAO，∠BOD=∠COD，

又因?yàn)锳，B，C均在圓上，

所以O(shè)A=OB=OC，

所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA.

又因?yàn)椤螧OD是三角形OAB的一個(gè)外角，∠COD是三角形OAC的一個(gè)外角，

所以∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，

∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，

所以∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2（∠OAB+∠OAC），

即∠BOC=2∠BAC，

即∠BAC=12∠BOC.

故BC所對(duì)的圓周角∠BAC的度數(shù)是所對(duì)圓心角∠BOC度數(shù)的一半.

2問(wèn)題分析

在聽(tīng)課過(guò)程中，筆者對(duì)數(shù)學(xué)師范生在折痕在圓周角的內(nèi)部時(shí)的證明產(chǎn)生了疑惑：AD不一定是∠BAC和∠BOC的角平分線(xiàn)，為什么數(shù)學(xué)師范生認(rèn)為AD是角平分線(xiàn)呢.帶著這一疑惑筆者課后訪(fǎng)談了這位數(shù)學(xué)師范生.

筆者：為什么∠BAO=∠CAO，∠BOD=∠COD？

師范生：因?yàn)锳D是∠BAC和∠BOC的角平分線(xiàn).

筆者：為什么AD是角平分線(xiàn)？

師范生：從圖形（圖2）中可以看出來(lái)AD是角平分線(xiàn).

筆者：你圖形畫(huà)的太特殊了，你畫(huà)的AD是∠BAC和∠BOC的角平分線(xiàn)，但是我也可以畫(huà)一個(gè)AD不是角平分線(xiàn)的圖形呀，一般的情況AD應(yīng)該不是∠BAC和∠BOC的角平分線(xiàn).

師范生：這個(gè)圖形來(lái)自人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)，教科書(shū)就是這樣畫(huà)的呀.筆者：額……我先看看教科書(shū).

查閱教科書(shū)后，筆者發(fā)現(xiàn)人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)折痕在圓周角內(nèi)部的這個(gè)圖形中AD畫(huà)的確實(shí)很像角平分線(xiàn).事實(shí)上，筆者還用量角器測(cè)量了∠BAO和∠CAO的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)確實(shí)是∠BAO=∠CAO=23°.

綜合筆者對(duì)數(shù)學(xué)師范生的訪(fǎng)談和自行查閱教科書(shū)，筆者認(rèn)為授課的數(shù)學(xué)師范生之所以認(rèn)為AD是角平分線(xiàn)，主要是因?yàn)樵谌私贪娉踔袛?shù)學(xué)教科書(shū)給出的第二種情況的圖形中AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分線(xiàn).

3問(wèn)題調(diào)研

數(shù)學(xué)教科書(shū)給出的第二種情況的圖形誤導(dǎo)了筆者聽(tīng)課的數(shù)學(xué)師范生，那么是否會(huì)誤導(dǎo)其他的數(shù)學(xué)師范生呢？筆者根據(jù)初中數(shù)學(xué)教科書(shū)編制了一道測(cè)試題（見(jiàn)附錄），在數(shù)學(xué)師范生中進(jìn)行了調(diào)研，發(fā)現(xiàn)除了圖形誤導(dǎo)了少數(shù)數(shù)學(xué)師范生，教科書(shū)中的對(duì)折、折痕這種表述方式也誤導(dǎo)了少數(shù)數(shù)學(xué)師范生.圖4，5，6是一些被誤導(dǎo)的數(shù)學(xué)師范生的證明.?從圖4、圖5、圖6中師范生的證明過(guò)程可以看出，教科書(shū)中的圖形和對(duì)折這種表述方式誤導(dǎo)了這三位師范生.首先，AD是∠BAC和∠BOC的角平分線(xiàn)僅僅是一種非常特殊的情況，不是一般的情況.他們根據(jù)圖2是沿AO所在直線(xiàn)對(duì)折，AO是折痕推出了AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分線(xiàn)，表明他們被對(duì)折、折痕這種表述方式給誤導(dǎo)了.同時(shí)這三位師范生也被教科書(shū)中的圖形給誤導(dǎo)了，因?yàn)槿绻炭茣?shū)呈現(xiàn)的是一般情況，他們可以直觀地看出AD不是∠BAC和∠BOC的角平分線(xiàn)；其次，他們僅證明了當(dāng)AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分線(xiàn)這種非常特殊的情況時(shí)，BC所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，沒(méi)有證明當(dāng)AD不是∠BAC和∠BOC的角平分線(xiàn)這種更一般的情況時(shí)，BC所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半.因此，他們的證明過(guò)程也是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?

數(shù)學(xué)教科書(shū)給出的第二種情況的圖形以及表述方式誤導(dǎo)了少數(shù)師范生，那么是否會(huì)誤導(dǎo)初三的學(xué)生呢？筆者又用編制的測(cè)試題調(diào)研了初三學(xué)生.調(diào)研發(fā)現(xiàn)有少數(shù)初三學(xué)生也被數(shù)學(xué)教科書(shū)中的圖形以及表述方式誤導(dǎo)了.以下是一些被誤導(dǎo)的初三學(xué)生的證明：

通過(guò)對(duì)圖7中證明過(guò)程的分析，不難發(fā)現(xiàn)該生也被教科書(shū)中的圖形以及對(duì)折這種表述方式誤導(dǎo)了.首先，由“沿AO所在直線(xiàn)對(duì)折圓”得到∠BAD=∠CAD（即∠1=∠2）和∠BOD=∠COD（即∠5=∠6），即認(rèn)為AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分線(xiàn)；其次，在后面證明過(guò)程中利用了AD是∠BAC和∠BOC的角平分線(xiàn)這一條件，得出BC所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，而未證明更為一般的情況，即該證明過(guò)程并不嚴(yán)謹(jǐn).

通過(guò)分析圖8中的證明過(guò)程發(fā)現(xiàn)，利用AO=BO=CO這一條件僅可以推出∠BAO=∠ABO和∠CAO=∠ACO，而該生卻推出了∠BAO=∠ABO=∠CAO=∠ACO，表明該生被教科書(shū)中的圖形以及對(duì)折、折痕這種表述方式誤導(dǎo)了.

4改進(jìn)建議

4.1將人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)圖形中的AD畫(huà)成不是角平分線(xiàn)的一般情況

在初中幾何中，圖形應(yīng)具有一般性，代表一般情況，而不是一些特殊情況或者說(shuō)特例.如果教科書(shū)呈現(xiàn)的是圖形的特殊情況，有時(shí)可能會(huì)誤導(dǎo)初中生，甚至誤導(dǎo)數(shù)學(xué)師范生.例如在證明圓周角定理分類(lèi)討論的第二種情況中，數(shù)學(xué)教科書(shū)給出的第二種情況的圖形中AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分線(xiàn)，便誤導(dǎo)了初三學(xué)生和數(shù)學(xué)師范生.再如有教師在講三角形中線(xiàn)時(shí)呈現(xiàn)的圖形（如圖9所示）是中線(xiàn)剛好也是角平分線(xiàn)的特殊情況，也誤導(dǎo)了學(xué)生.有學(xué)生提出了這樣的問(wèn)題“三角形的中線(xiàn)同時(shí)也一定是三角形的角平分線(xiàn)，對(duì)嗎”[3]？

綜上所述，應(yīng)將人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)圖形中的AD畫(huà)成不是角平分線(xiàn)的一般情況（如圖10所示）.

4.2將人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中按折痕與圓周角的位置關(guān)系分類(lèi)討論改成按照?qǐng)A心和圓周角的位置關(guān)系分類(lèi)討論

考慮到人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中的對(duì)折、折痕這種表述也誤導(dǎo)了少數(shù)初三學(xué)生和數(shù)學(xué)師范生.同時(shí)筆者調(diào)研也發(fā)現(xiàn)初三的學(xué)生很難想到沿AO所在直線(xiàn)對(duì)折圓然后按照折痕與圓周角的位置關(guān)系分類(lèi)討論，因?yàn)檫@種分類(lèi)討論的方式很不自然.初三的學(xué)生想到的是按照?qǐng)A心和圓周角的位置關(guān)系分類(lèi)討論：圓心在圓周角的一邊上、圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部.因此筆者建議將人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中按折痕與圓周角的位置關(guān)系分類(lèi)討論改成按照?qǐng)A心和圓周角的位置關(guān)系分類(lèi)討論.按照?qǐng)A心和圓周角的位置關(guān)系分類(lèi)討論是初三學(xué)生自然想到的，這種分類(lèi)討論方式避免了誤導(dǎo)初三學(xué)生的問(wèn)題.此外北師大版、蘇教版、浙教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)也都是按照?qǐng)A心和圓周角的位置關(guān)系分類(lèi)討論，這也表明按照?qǐng)A心和圓周角的位置關(guān)系分類(lèi)討論具有可行性.

附錄：

已知：如下圖所示，∠A是BC所對(duì)的圓周角，∠BOC是BC所對(duì)的圓心角.

求證：∠A=[SX（]1[]2[SX）]∠BOC.

分析：如圖所示，為了證明∠A=?1[]2[SX）]∠BOC，在⊙O任取一個(gè)圓周角∠BAC，沿AO所在直線(xiàn)將圓對(duì)折，由于點(diǎn)A的位置不同，折痕會(huì)：

（1）在圓周角的一條邊上，如圖（1）所示；

（2）在圓周角的內(nèi)部，如圖（2）所示；

（3）在圓周角的外部，如圖（3）所示；

請(qǐng)你分別對(duì)以上三種情況進(jìn)行證明.

參考文獻(xiàn)

［1］張維忠，胡智慧．中美初中數(shù)學(xué)教科書(shū)插圖質(zhì)量的比較［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（01）：64-69．

［2］中華人民共和國(guó)教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［3］Orit Zaslavsky & Iris Zodik. Mathematics teachers choices of examples that potentially support or impede learning. Research in Mathematics Education，2007， 9（1）：143–155.

作者簡(jiǎn)介李卓（1988—），男，山東曲阜人，博士，講師，碩士生導(dǎo)師；主要從事數(shù)學(xué)教育研究.李欣悅（2002—），女，河北廊坊人，本科生；主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

基金項(xiàng)目江西省基礎(chǔ)教育研究一般課題“‘雙減背景下基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)變革的邏輯轉(zhuǎn)換與理念重構(gòu)研究”（SZUSDSX2022-1086）；江西師范大學(xué)博士科研啟動(dòng)項(xiàng)目.