謀定而后動 知止而有得

【摘要】初中數(shù)學(xué)起始課是小初數(shù)學(xué)教學(xué)銜接的重要環(huán)節(jié)，可以幫助學(xué)生從心理和行為上做好學(xué)好初中數(shù)學(xué)的準(zhǔn)備.通過梳理初中數(shù)學(xué)起始課的研究成果，概括了初中數(shù)學(xué)起始課的基本樣態(tài)，并從“數(shù)學(xué)是什么、為什么學(xué)數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)學(xué)什么以及如何學(xué)好初中數(shù)學(xué)”等環(huán)節(jié)設(shè)計并實施了初中數(shù)學(xué)起始課案例，以此闡述初中數(shù)學(xué)起始課應(yīng)該如何設(shè)計、如何實施，從而實現(xiàn)“認(rèn)識數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，勾勒初中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求”等方面的目的．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；起始課；小初銜接；教學(xué)設(shè)計

初中數(shù)學(xué)起始課是小初銜接的關(guān)鍵節(jié)點課，學(xué)生剛剛升入初中，身份發(fā)生了變化，知識難度、學(xué)習(xí)方法及要求也會發(fā)生很大的變化，學(xué)生心理特征和認(rèn)知發(fā)展規(guī)律更是發(fā)生了顯著變化.雖然說初中數(shù)學(xué)能力的養(yǎng)成與每一節(jié)課的引導(dǎo)與積累息息相關(guān)，但是如果在起始課就能讓學(xué)生形成對數(shù)學(xué)的正確認(rèn)識，了解數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)價值，知道數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般內(nèi)容與要求，從而形成初步的初中數(shù)學(xué)整體觀，體會到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有趣、自然、親切、有法．基于此，筆者對“初中數(shù)學(xué)起始課”進行了如下設(shè)計，以期拋磚引玉，與一線教師廣泛交流．

1初中數(shù)學(xué)起始課內(nèi)容分析

本節(jié)課是學(xué)生初中階段第一節(jié)數(shù)學(xué)課，將開啟初中學(xué)習(xí)的新征程.既承載著師生見面的任務(wù)，使學(xué)生對數(shù)學(xué)教師的教學(xué)風(fēng)格與要求形成初步認(rèn)識，從這節(jié)課開始“親其師”；又需要通過教師的引薦使初中數(shù)學(xué)與學(xué)生見面，助學(xué)生對初中數(shù)學(xué)形成初步認(rèn)識，對初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿期待從而“信其道”.

目標(biāo)預(yù)設(shè)：

（1）初步形成對數(shù)學(xué)的一般認(rèn)識，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，感受數(shù)學(xué)是人類文明傳承的重要載體，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增強用數(shù)學(xué)思維解決問題的意識；

（2）從宏觀視角審視小初數(shù)學(xué)差異，類比小學(xué)數(shù)學(xué)，初步構(gòu)建初中數(shù)學(xué)框架，初步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意愿及方法；

（3）經(jīng)歷理性分析問題的過程，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，明確數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基本要求，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗.

教學(xué)重點：理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，建構(gòu)數(shù)學(xué)整體框架.

學(xué)習(xí)難點：數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，數(shù)學(xué)應(yīng)用的理解.

2初中數(shù)學(xué)起始課教學(xué)實踐

環(huán)節(jié)一數(shù)學(xué)是什么.

問題1一水池有甲、乙兩個進水管和丙一個出水管，單開甲管20小時可將水池注滿，單開乙管30小時可將水池注滿，單開丙管60小時可將池水放光.現(xiàn)三管同開，多少小時可將空水池注滿水？

追問1：你對這個問題有怎樣的認(rèn)識與理解？

追問2：經(jīng)歷了小學(xué)六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，你認(rèn)識的數(shù)學(xué)是什么樣的？有哪些示例支撐你的認(rèn)識嗎？

師生活動學(xué)生獨立思考并回答問題.通過小組交流活動，將小組內(nèi)的意見整合后選出代表在班級范圍進行分享.有大部分同學(xué)認(rèn)為此問題毫無意義，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是做無聊的習(xí)題.教師將學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識分類呈現(xiàn)，并在呈現(xiàn)的基礎(chǔ)上展示現(xiàn)代數(shù)學(xué)常見的十五個“定義”：萬物皆數(shù)、符號說、哲學(xué)說、科學(xué)說、邏輯說、集合說、結(jié)構(gòu)說、關(guān)系說、模型說、工具說、直覺說、精神說、審美說、活動說、藝術(shù)說.教師闡述包括央視前著名主持人崔永元、清華大學(xué)教授王文湛在內(nèi)的許多名人都認(rèn)為此類問題無聊、無趣、無意義，究其原因恰恰是這些人沒有認(rèn)識到數(shù)學(xué)是一種模型.這種模型使得無論學(xué)生身處何處，不論是政治中心的北京，還是經(jīng)濟中心的上海，亦或是西部邊遠(yuǎn)地區(qū)，每個人都能通過想象理解其含義.作為模型，其現(xiàn)實背景必定廣泛存在，比如很多學(xué)校校園內(nèi)都有作為觀賞的養(yǎng)魚池，其養(yǎng)護往往是多排水少注水以保障魚活著的前提下清洗，再多注水少排水以沖掉污水；再如我們?nèi)ヒ恍﹫鲳^參觀時，入口進人出口出人，入口的隊伍走著走著就停了，顯示場館已滿，過了一會隨著參觀人員走出出口，入口又繼續(xù)放行，有條件的場館會憑經(jīng)驗或經(jīng)過數(shù)學(xué)建模計算給出排隊時間提醒；又如在充電時使用手機，問手機何時充滿電等，如圖1.更為著名的是杭州西湖于2003年竣工的引配水工程，該工程每天將經(jīng)過預(yù)處理的40萬立方米、透明度達1.2米的錢塘江水源源不斷地引向西湖，再將湖底沉積的泥沙和垃圾通過排水口處的清污設(shè)備處理后排放至錢塘江，以此大概21天西湖的水就換了一遍，從而為西湖“清腸洗肺”.如今，站在西湖岸邊，只見湖水清澈見底，樹影和魚影在其中橫斜、浮動，這都得歸功于多年來杭州人民在湖水治理方面的努力，每一次施工都是以大量實地測量勘探和數(shù)學(xué)計算為保障的.然而全國各地的學(xué)生們不一定都去過需要排隊的場館，也有相當(dāng)部分的小學(xué)生還沒用過手機，更沒到過西湖.因此用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，將這些現(xiàn)象抽象成簡潔、直觀的蓄水池模型，從而只要能理解并解答模型也就能遷移解決各種現(xiàn)實問題.

設(shè)計意圖用知名度廣、爭議大的小學(xué)經(jīng)典問題引入，快速同步學(xué)生的認(rèn)知，有利于從觀念上給學(xué)生直接的沖擊，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)是將生活中的問題抽象并簡化了的一種模型，有助于培養(yǎng)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”的觀念與素養(yǎng)．

環(huán)節(jié)二為什么學(xué)數(shù)學(xué).

問題2什么樣的數(shù)能被3整除？

追問1：能窮盡所有數(shù)字嗎？不能的話怎么辦？

追問2：你還記得哪些數(shù)字的整除屬性？能證明這些規(guī)律嗎？

師生活動學(xué)生獨立回憶小學(xué)知識，班級交流展示；教師引導(dǎo)學(xué)生思考“知其然”后如何“知其所以然”，選擇三位數(shù)、四位數(shù)及字母運算對該規(guī)律進行數(shù)學(xué)說理，并引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般的歸納，繼而提出數(shù)學(xué)還要關(guān)注“何由以知其所以然”．通過追問2引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的研究與發(fā)現(xiàn)、推理與證明是沒有止盡的，既需要有“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”的意識，也需要有“用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”能力.分析現(xiàn)象背后規(guī)律的過程不是一帆風(fēng)順的，往往伴隨著各種艱難險阻，需要人們以堅韌不拔的毅力才能一一跨越這些困難.

設(shè)計意圖通過將小學(xué)時記住的規(guī)律，變?yōu)槌踔锌梢越忉屨f明的推理，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識：數(shù)學(xué)對人們的思維有積極影響，會使得人們的思維有序、思考有法，因此需要培養(yǎng)“用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”的能力.通過對真理的探索、推導(dǎo)，會使得人們具有更堅強的毅力、更迷人的魅力．另外，通過對規(guī)律的內(nèi)在數(shù)學(xué)原理探究，使學(xué)生在明確代數(shù)化作用的同時，提升“用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)三初中數(shù)學(xué)學(xué)什么.

問題3還記得小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)了哪些模塊嗎？

追問1：能估計出初中數(shù)學(xué)會學(xué)習(xí)哪些模塊嗎？

追問2：你對“綜合與實踐”模塊有什么認(rèn)識？師生活動學(xué)生獨立回顧小學(xué)時數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師引導(dǎo)學(xué)生將具體內(nèi)容分模塊歸類，從而歸納出小學(xué)數(shù)學(xué)的知識導(dǎo)圖，如圖2；通過追問1引導(dǎo)學(xué)生從模塊角度勾勒初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾大模塊并介紹各模塊的大致分布情況；教師通過追問2引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本功落實到“計算”與“說理”上，展示數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家對這兩方面歸納的名言：推理是數(shù)學(xué)的“命根子”（伍鴻熙），運算是數(shù)學(xué)的“童子功”（陳建功）[1]，計算是具體的推理，推理是抽象的計算[2].最后教師利用表格呈現(xiàn)初中“綜合與實踐”領(lǐng)域數(shù)學(xué)項目化學(xué)習(xí)的規(guī)劃，如表1.教師指出學(xué)生通過初中的這些項目化學(xué)習(xí)，能力提高后能夠“用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”，并指導(dǎo)現(xiàn)實生活的抉擇、決策等大事.

設(shè)計意圖由于還未開始初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，如果老師直接將初中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)給學(xué)生，無異于灌輸式教育，學(xué)生定難以理解，因此從對小學(xué)知識的回顧入手，建立模塊框架，借由小學(xué)框架展望初中學(xué)習(xí)內(nèi)容從而勾勒出初中數(shù)學(xué)的大致結(jié)構(gòu)，既有利于學(xué)生對初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的主動建構(gòu)，又有利于減少對初中數(shù)學(xué)的恐懼感，從而提升學(xué)習(xí)信心．

環(huán)節(jié)四初中數(shù)學(xué)怎么學(xué)

問題4能介紹優(yōu)秀的自己或優(yōu)秀的同學(xué)小學(xué)時是如何將數(shù)學(xué)學(xué)好的嗎？

追問1：你對初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有什么目標(biāo)預(yù)期？你計劃通過怎樣的努力實現(xiàn)這些目標(biāo)？

追問2：如果能穿越到過去，就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，你有哪些囑托給小學(xué)四年級的你？

師生活動學(xué)生回顧自己或同學(xué)學(xué)好數(shù)學(xué)的方法并分享，教師鼓勵學(xué)生表達，并將學(xué)生的表達歸類呈現(xiàn).教師介紹費曼學(xué)習(xí)法、課堂聽課效率金字塔（如圖3）.教師分別對課前、課中、課后等環(huán)節(jié)提出要求，在課堂聽課要做到“聰”字（如圖4），眼睛看、耳朵聽、心里想，還要勇于說，在課后則要做到“勤”字.然后從教師、學(xué)生、家長、學(xué)習(xí)材料、資源介紹、網(wǎng)絡(luò)工具等維度闡述初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要求．最后教師引導(dǎo)學(xué)生回顧整節(jié)課，歸納數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要努力做到“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”“用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”“用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”.

設(shè)計意圖變學(xué)習(xí)方法的強加為學(xué)生的自發(fā)歸納，變被動的接受要求為學(xué)生先預(yù)設(shè)目標(biāo)再為目標(biāo)的實現(xiàn)而設(shè)計具體的行動方案，以突出學(xué)生的主體地位，明確家長、老師的輔助作用，并說明網(wǎng)絡(luò)工具的利與弊，為正式開展初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定良好的思想和行為準(zhǔn)備．教師將“三會”具體化為用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)的思維推導(dǎo)現(xiàn)象背后的規(guī)律，用數(shù)學(xué)的語言表達自己的推理過程，成功點題并開啟初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的序幕.

3初中數(shù)學(xué)起始課實踐反思

傳統(tǒng)教育下的初中數(shù)學(xué)起始課大多是簡單介紹內(nèi)容、約束學(xué)習(xí)紀(jì)律、樹立規(guī)則意識，甚至有相當(dāng)部分的老師不開設(shè)起始課直接講授初中內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生限于小學(xué)時對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，囿于小學(xué)時數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法與習(xí)慣，拉長初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)適應(yīng)期．本設(shè)計打破了初中數(shù)學(xué)起始課教師主講的形式，通過問題引導(dǎo)、學(xué)生先行、交流呈現(xiàn)、教師指導(dǎo)、學(xué)生歸納的方式，為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好的開局．

3.1修正一些認(rèn)識

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾在《怎樣解題》一書中說過：“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.”這也使得小學(xué)畢業(yè)后很多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)課就是解題課，而忽視了對數(shù)學(xué)思想和方法的掌握和對數(shù)學(xué)知識在更高層次上的概括與抽象.通過本節(jié)課的認(rèn)知沖突使學(xué)生認(rèn)識到具體的數(shù)學(xué)題目往往是“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”后抽象化的數(shù)學(xué)知識，對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識和解決就是“用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”，這些知識可以用文字、符號或圖形等形式來記錄與交流，實現(xiàn)“用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”.所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的，不是掌握“數(shù)學(xué)知識和技能”，而是通過具體的問題解決歸納出“解決問題的一般方法”，即“數(shù)學(xué)地思考”，幫助學(xué)生形成對數(shù)學(xué)的正確認(rèn)識，形成研究數(shù)學(xué)的基本觀念，積累研究數(shù)學(xué)的基本思路與基本方法．

3.2勾勒一些結(jié)構(gòu)

新課標(biāo)指出數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、知識結(jié)構(gòu)和基本線索，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源[3]．布魯納曾指出，無論我們教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)．在初中數(shù)學(xué)起始課中，需要教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)初中數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)，以此明晰數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的線索．因此本節(jié)初中數(shù)學(xué)起始課通過類比小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)遷移勾勒初中數(shù)學(xué)應(yīng)有結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生通過結(jié)構(gòu)了解小初數(shù)學(xué)的內(nèi)容關(guān)聯(lián)、差異，從而運用類比、化歸等方法繼續(xù)初中的學(xué)習(xí)．這樣的結(jié)構(gòu)建設(shè)使得教師的引導(dǎo)有邏輯、不牽強，學(xué)生的學(xué)習(xí)有興趣、不被動，學(xué)生的探索有方向、不迷失．另一方面，本節(jié)初中數(shù)學(xué)起始課的設(shè)計也將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為暗線，通過問題的環(huán)環(huán)相扣，使學(xué)生經(jīng)歷“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界的過程”，形成數(shù)學(xué)探究的基本結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展[4]．

3.3提出一些建議

初中數(shù)學(xué)起始課需要對初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提出一些要求與建議，但如果是老師宣布規(guī)矩，學(xué)生被動執(zhí)行則會使學(xué)生產(chǎn)生抵觸情緒而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率大打折扣，因此采取讓學(xué)生講，通過學(xué)生大量的分享，老師分類整理、歸納凝練，并通過“學(xué)習(xí)金字塔”“費曼學(xué)習(xí)法”等學(xué)習(xí)理論的介紹使得學(xué)生不僅對這些學(xué)習(xí)方法有了深切認(rèn)知，而且在這節(jié)起始課上就能真正實踐學(xué)生先行、交流呈現(xiàn)、教師斷后等環(huán)節(jié)，使學(xué)生體驗獨立思考、小組合作、實踐練習(xí)、教授他人等主動學(xué)習(xí)方式，教師則可以順勢提出課前、課中及課后等環(huán)節(jié)的具體學(xué)習(xí)建議．

3.4堅定一個信念

好的開始是成功的一半.開學(xué)第一課是師生見面的第一課，是建立融洽師生關(guān)系的第一場景，師生雙方能否“一見鐘情”，這一課的作用不可小覷[5].另一方面，教師在這節(jié)課又起到紅娘的作用，負(fù)責(zé)將初中數(shù)學(xué)引薦到初中學(xué)生面前，使得初中學(xué)生通過這節(jié)課大致了解初中數(shù)學(xué)的外貌及特點，初步感受初中數(shù)學(xué)的魅力與智慧，從這節(jié)課開始形成數(shù)學(xué)有用、數(shù)學(xué)有趣、數(shù)學(xué)優(yōu)美的觀念.通過中小學(xué)的異同比較，樹立能夠通過正確的方法學(xué)好數(shù)學(xué)的決心和信心，為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)開個好頭.

參考文獻

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作者簡介劉春江（1985—），男，黑龍江賓縣人，中學(xué)高級教師;主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究工作.

基金項目

2023年浙江省教研立項規(guī)劃課題“大單元視角下初中數(shù)學(xué)單元起始課范式研究”（G2023030）.