基于圓錐微凸體的結(jié)合面法向剛度改進模型*

李 勇,蘭國生,楊 琦,冀成龍,宋建國,劉宇龍

(太原科技大學(xué)機械工程學(xué)院,太原 030024)

0 引言

機床由許多零部件及其相互連接的結(jié)合面組成,結(jié)合面在機床運行過程中起著傳遞運動、載荷和能量的重要作用。機床各機械接觸面間的剛度占機床總剛度的60%～80%,所產(chǎn)生的變形量占機床總變形量的85%～90%[1-2]。因此,對粗糙結(jié)合面間的接觸力學(xué)性能的研究對于提升機械系統(tǒng)整體性能有重要意義。為此,國內(nèi)外學(xué)者對結(jié)合面間的接觸特性進行了大量的研究。

對于結(jié)合面接觸特性的研究,GREENWOOD等[3]提出了經(jīng)典的“G-W接觸模型”,但該理論模型僅考慮彈性變形階段,且假設(shè)條件比較苛刻,適用性小。CHANG等[4-6]同時考慮了微凸體彈性和塑性兩個階段,結(jié)合塑性變形體積不變原理,得到了塑性變形階段實際接觸面積,建立了結(jié)合面接觸剛度模型,但是該模型在彈塑性臨界處出現(xiàn)了接觸載荷的不連續(xù)。JENG[7]將粗糙表面微凸體等效成橢圓形微凸體,建立了結(jié)合面法向接觸載荷統(tǒng)計學(xué)模型。許志倩等[8]將粗糙表面等效成圓錐微凸體,采用隨機抽樣的方法計算得到符合正態(tài)分布的結(jié)合面微觀形貌,建立了結(jié)合面三維接觸力學(xué)模型;田紅亮等[9]同樣將表面微凸體等效成圓錐形,通過對反雙曲余弦應(yīng)力定積分,計算得到彈性與塑性階段的接觸力。但以上模型均基于統(tǒng)計學(xué)原理,取樣長度和粗糙表面統(tǒng)計參數(shù)的獲取都受制于試驗測試儀器的分辨率[10],不具有客觀唯一性。

BHUSHAN等[11]基于分形幾何理論,建立了粗糙結(jié)合面接觸分形模型,即M-B模型,該模型具有尺度獨立性和客觀唯一性。YAN等[12]將二維輪廓曲線擴展到三維輪廓曲線,采用三維分形幾何方法建立了結(jié)合面彈塑性法向接觸剛度模型。張學(xué)良等[13-14]基于分形理論和M-B模型,首次得到粗糙表面法向剛度的分形模型,分析了各個參數(shù)對結(jié)合面接觸特性的影響規(guī)律。蘭國生等[15]將粗糙表面微凸體等效成圓錐形微凸體,計算了微凸體彈性與塑性變形階段的接觸特性,建立了結(jié)合面法向剛度分形模型。王潤瓊等[16]基于分形幾何理論,引入域擴展因子對接觸面積分布的影響,并考慮到微凸體間的相互作用,建立了機械結(jié)合面接觸剛度分形模型。

但是以上都是基于球形或橢圓形微凸體研究接觸特性,并未考慮圓錐形微凸體情況,或者模型使用的微凸體接觸面半徑為理論接觸半徑,與實際接觸半徑差別較大,影響模型準確性。因此,本文將粗糙結(jié)合面等效為圓錐形微凸體,對接觸半徑值進行了修正,引入域擴展因子影響的微接觸橫截面積分布函數(shù),建立了基于圓錐微凸體的結(jié)合面法向接觸剛度改進模型,并進行模擬仿真,分析了相關(guān)形貌參數(shù)對接觸特性的影響,并對仿真結(jié)果進行了討論,最后對比真實試驗所得數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),本文模型更接近真實數(shù)據(jù),驗證了模型的有效性,可作為理論計算模型。

1 結(jié)合面形貌特征

YAN等[12]改進了傳統(tǒng)的W-M函數(shù),改進后的W-M函數(shù)能夠更好地等效具有分形幾何特征的三維各向異性粗糙表面,即:

(1)

運用此模型模擬粗糙表面形貌特征時,z代表微凸體高度,L代表采樣長度,D代表粗糙表面分形維數(shù)(21,一般取值1.5),M代表模擬表面凸起數(shù)目,n代表頻率指數(shù),指數(shù)上限nmax=int(logγ(L/Ls)),Nm,n代表隨機相位。

對上述函數(shù)進行模擬仿真,設(shè)定參數(shù)L=0.57 μm,M=10,γ=1.5,D=2.2/2.5/2.8,G=1.59×10-7μm,圖1為模擬的三維表面形貌,圖2為垂直于y軸的平面與仿真圖像所截取的在xoz平面內(nèi)的二維粗糙表面輪廓曲線。

圖1 W-M函數(shù)模擬的粗糙 表面三維形貌(D=2.5)

(a) D=2.2 (b) D=2.5

從圖2可以看出,其他參數(shù)一致時,分形維數(shù)越大,二維圖像波峰波谷越密集,即粗糙表面微凸體數(shù)目越多,且微凸體越“尖銳”。

當(dāng)M=1,m=1,W-M函數(shù)將退化為:

(2)

2 單個微凸體法向接觸模型

工程中相互接觸的兩粗糙平面可以等效成為一剛性平面和一粗糙表面接觸,如圖3所示。

圖3 粗糙表面與剛性平面接觸

接觸過程中粗糙表面微凸體變形量可由式(2)對應(yīng)的余弦函數(shù)波峰與波谷之差表示,即:

(3)

以往的研究用改進的W-M函數(shù)余弦波來等效球形微凸體,微凸體曲率半徑對應(yīng)余弦波的曲率半徑,但真實粗糙表面形貌是復(fù)雜的,粗糙表面微凸體存在多種形態(tài)。為了擴展結(jié)合面接觸特性模型的適用范圍,本文可將接觸表面微凸體等效成為圓錐形微凸體,與剛性平面接觸變形如圖4所示。

圖4 等效圓錐微凸體與剛性平面接觸

圖4將余弦波頂點與接觸表面兩邊緣點相連,做等腰三角形,此等腰三角形繞豎直軸旋轉(zhuǎn)得到的即為等效圓錐微凸體,其中ω為微凸體法向變形量,r′為微凸體名義接觸半徑,r為微凸體真實接觸半徑,由文獻[17]分析計算出接觸過程中微凸體真實接觸半徑r與名義接觸半徑r′的關(guān)系:

(4)

將式(4)帶入式(3)中得,微凸體實際變形量為:

(5)

圓錐半頂角的余切值為:

(6)

2.1 圓錐微凸體彈性接觸狀態(tài)

由文獻[18]可以得到結(jié)合面接觸過程中彈性變形階段的微凸體法向接觸載荷pe表達式為:

pe=0.2Ecot(β)a

(7)

平均接觸載荷為:

pea=0.2Ecot(β)

(8)

根據(jù)剛度定義,聯(lián)立式(5)～式(7)可得,等效圓錐形微凸體彈性變形狀態(tài)下的法向剛度表達式為:

(9)

2.2 圓錐微凸體塑性接觸狀態(tài)

微凸體臨界彈性變形量表示為ωc,當(dāng)變形量超出這一值時,微凸體進入塑性變形階段,圓錐微凸體法向接觸載荷pe和接觸面積a之間的關(guān)系為:

pp=Ha

(10)

平均接觸載荷為:

ppa=H

(11)

2.3 微凸體彈性與塑性臨界

為了使接觸載荷模型在彈塑性變形臨界處光滑連續(xù),令彈性和塑性階段臨界的平均接觸載荷相等,即:

(12)

得圓錐形微凸體變形臨界接觸面積為:

(13)

式中:k=H/σy為材料硬度系數(shù),k一般取2.8;σy為較軟材料的屈服強度,φ為材料塑性指數(shù)。

對式(13)進行模擬仿真,分析參數(shù)D、G、φ與微凸體臨界接觸面積ac的關(guān)系,選取粗糙結(jié)合面參數(shù)值:D=2.1～2.9,G=10-13～10-9,φ=0.7～2.5,仿真結(jié)果如圖5～圖7所示。

圖5 D對ac的影響曲線(G=10-10,φ=1.5)

圖7 φ對ac的影響曲線(D=2.7,G=10-9)

由圖5～圖7可知,等效圓錐微凸體ac隨著D的增大而增大,并且在D>2.6之后增長速度加快,且隨著G的增大而增大,隨著φ的增大而減小。同時,臨界接觸面積增加,導(dǎo)致相同接觸面積內(nèi)微凸體彈性變形占比減小。

3 結(jié)合面法向接觸剛度建模

文獻[19]優(yōu)化了結(jié)合面微接觸橫截面積分布函數(shù),考慮域擴展因子的影響,給出了更符合實際的微接觸橫截面積分布函數(shù),即:

(14)

式中:a表示結(jié)合面上微凸體接觸面積,al表示參與接觸的表面微凸體中最大微凸體接觸面積,φ表示微凸體接觸面積分布域擴展因子(φ<1),可通過式(15)計算得出:

(15)

對式(14)進行模擬仿真,分析參數(shù)D與na的關(guān)系,選取粗糙結(jié)合面參數(shù)值:D=2.1～2.9,al=10-10,a=10-15,仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 D對na的影響曲線(G=10-10,al=10-10 m2,a=10-15 m2)

由圖8可知,當(dāng)分形維數(shù)增大時,結(jié)合面接觸面積分布密度函數(shù)隨之增大,即相同接觸面積內(nèi)處于接觸狀態(tài)的圓錐微凸體數(shù)量增加,與圖2所呈現(xiàn)的情況相符,且分形維數(shù)處于2.6～3之間,臨界接觸面積增長速度加快。

結(jié)合面總實際接觸面積為:

(16)

即:

(17)

結(jié)合面總法向接觸載荷為:

(18)

將式(7)、式(10)、式(13)、式(14)及式(17)代入式(18),得:

(19)

結(jié)合面總法向接觸剛度為:

(20)

將式(7)、式(13)、式(14)和式(17)代入式(20),得:

(21)

將式(19)和式(21)進行無量綱化處理得:

(22)

(23)

4 結(jié)合面接觸模型仿真以及試驗對比

4.1 模型仿真

(a) D=2.3 (b) D=2.5

(a) D=2.3 (b) D=2.5

(a) D=2.3 (b) D=2.5

(a) D=2.1 (b) D=2.2

(a) D=2.1～2.4 (b) D=2.4～2.6

(a) D=2.3 (b) D=2.5

(a) D=2.3 (b) D=2.5

4.2 試驗驗證

為驗證本文所建立模型的有效性,采用文獻[21]與文獻[22]測得的試驗數(shù)據(jù)與本文模型理論值進行對比,間接驗證本文模型的有效性。試驗方法是從宏觀來直接獲得結(jié)合面法向接觸特性的方式,并且可以與從微觀角度進行建模計算得到的理論模型進行對比,從而驗證本文模型有效性。

文獻[21]試驗原理及方法:沿垂直方向向上下兩試件組成的結(jié)合面系統(tǒng)分級施加法向載荷,并通過與其相連的渦流位移傳感器和壓力傳感器(靜態(tài)、動態(tài)力傳感器)對法向相對位移和法向面壓進行測量,并通過一定的理論計算得到法向靜剛度與法向變形量或法向面壓之間的關(guān)系。具體做法為:運用逐級法向加載的形式,從監(jiān)測設(shè)備中得到相應(yīng)法向載荷值和結(jié)合面相對位移平均值,從中扣除試件的壓縮變形影響量,得到結(jié)合面接觸變形量,再計算結(jié)合面法向接觸面壓。接著,對所獲得的有效法向相對位移和法向面壓進行函數(shù)擬合,得到粗糙接觸面法向靜剛度關(guān)于法向變形量表達式。再對兩接觸面施加法向動態(tài)激勵,根據(jù)試驗裝置建立結(jié)合面動態(tài)力學(xué)模型,最后得到粗糙接觸面法向動態(tài)接觸剛度。

文獻[22]試驗原理及方法:與文獻[21]相似,通過試驗裝置向所測兩試件施加法向外載荷和外部激勵,所連接的相應(yīng)傳感器將所測得的壓力、位移信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號,再計算模擬確定粗糙接觸面的動力學(xué)特性。具體做法為:先使用螺栓對待測兩試件施加靜態(tài)預(yù)緊力,再通過沖擊錘對試件施加外部動態(tài)激勵。應(yīng)用多點激勵的方法,從固定在下部件的三軸加速度傳感器得到對應(yīng)的響應(yīng)信號,并進行模擬測試得到兩試件接觸面之間的動力學(xué)性能。

文獻[21]中上下試件材料為45鋼,材料相關(guān)屬性參數(shù)為:硬度H=1960 MPa,彈性模量E1=E2=207 GPa,泊松比v1=v2=0.29,文獻[22]中上下試件材料為鑄鐵,材料相關(guān)屬性參數(shù)為:硬度H=220 MPa,彈性模量E1=E2=130 GPa,泊松比v1=v2=0.25,兩試驗中上下兩試件加工方式均為銑削加工。通過銑削加工方式得到的粗糙表面分形參數(shù)如表1所示,這些參數(shù)通過文獻[23]中的結(jié)構(gòu)函數(shù)法得到,表2為兩試件粗糙表面接觸的等效分形參數(shù)值。

表1 銑削加工試件表面分形參數(shù)

表2 試驗試件接觸表面等效分形參數(shù)

圖16和圖17為理論模型與試驗數(shù)據(jù)的對比,試驗數(shù)據(jù)由文獻[21]與文獻[22]中獲取,并與文獻[15]的模型與文獻[24]的模型進行對比,本文模型將粗糙表面微凸體等效成為圓錐形微凸體,李小鵬模型將粗糙表面微凸體等效成為球形微凸體,孫萬模型也等效為圓錐形微凸體,但使用的微凸體接觸半徑非實際接觸半徑。

圖16 不同模型與文獻[21]試驗數(shù)據(jù)對比

由圖16和圖17可知,本文所建的圓錐形等效微凸體結(jié)合面接觸剛度模型與真實試驗值的變化趨勢一致,都隨無量綱法向接觸載荷的增大而增大,且相較文獻[15]的模型和文獻[24]的模型與試驗結(jié)果更為接近,精度有了一定的提高,并且在變形臨界狀態(tài)連續(xù)且光滑。因此,將粗糙接觸表面微凸體等效成圓錐形微凸體具有可行性。

誤差分析:由于真實工況中兩粗糙接觸表面間往往存在一定的液體介質(zhì),與固-固接觸共同產(chǎn)生整個結(jié)合面的剛度,本文忽略了液體介質(zhì)剛度;本文只考慮了微凸體在彈性和塑性兩個階段的接觸變形情況,未考慮彈塑性階段;本文忽略了微凸體間的相互作用對實際微凸體變形量產(chǎn)生的影響,因此導(dǎo)致理論模型結(jié)果與真實試驗值有一定的偏離。

5 結(jié)論

對于由等效圓錐形微凸體組成的結(jié)合面,當(dāng)分形維數(shù)增大時,無量綱法向接觸剛度先增大后減小,且臨界點處于2.6左右;當(dāng)分形粗糙度參數(shù)增大時,無量綱法向接觸剛度隨之減小;當(dāng)塑性指數(shù)增大時,無量綱法向接觸剛度隨之增大。

通過仿真研究更進一步發(fā)現(xiàn),粗糙結(jié)合面無量綱真實接觸面積越大,結(jié)合面無量綱法向接觸剛度越大。當(dāng)粗糙結(jié)合面無量綱真實接觸面積一定時,影響結(jié)合面法向接觸剛度的主要因素包括微凸體臨界接觸面積和結(jié)合面接觸面積分布密度函數(shù)兩種,微凸體臨界接觸面積增大,處于彈性接觸狀態(tài)的微凸體數(shù)目比例減小,接觸剛度隨之減小;結(jié)合面接觸面積分布密度函數(shù)值增大,發(fā)生接觸變形的微凸體數(shù)量增大,接觸剛度隨之增大。

本文所建模型與試驗值更加接近且趨勢相同,證明了本文模型的正確性和有效性,為未來機械結(jié)構(gòu)結(jié)合面接觸特性方面的研究提供了參考。對于今后進一步的研究,可以將微凸體接觸變形擴展到彈塑性變形階段,或考慮潤滑介質(zhì)剛度的影響,使得理論模型預(yù)測值更準確。