基于平面共軛對數的弧齒錐齒輪齒面設計研究*

付雁博,田國富

(沈陽工業大學機械工程學院,沈陽 110870)

0 引言

弧齒錐齒輪因具有較高的齒面接觸的重合度而可以實現較為優秀的傳動平穩性和承載能力,同時具有能夠實現交錯軸及相交軸傳動的特點,因此被廣泛應用于機械的傳動機構中,如作為汽車或輪船和航空航天的載具中的重載傳動部件。弧齒錐齒輪因為其齒面形狀的復雜,在進行參數設計以及建模的過程中往往會出現曲面精度不足等問題造成后續仿真實驗結果的數值偏差。實現弧齒錐齒輪對中的大小齒輪的凹凸面、齒根與齒頂,以及齒根過渡曲面的參數設計與之后的建模是實現輪齒使用強度及壽命等性能指標仿真分析的重要基石。

LITVIN、李兆文等[1-2]在研究中利用展成法的原理對弧齒錐齒輪齒面進行參數設計,通過刀具外側方程和刀尖圓角方程通過齒面的展成加工原理所進行的齒面特征點進行計算;薛德余等[3]基于展成法,利用計算機模擬實際的弧齒錐齒輪加工過程,并反向推導出齒輪工作曲面的凹凸面點位,進而生成齒槽。

利用展成法等理論的參數設計方法所得出的數學建模,在計算齒面點時往往會因為齒輪或者加工過程中刀具或加工機床等的參數設置差異使得結果齒面精度并不理想,同時對于齒根過渡曲面大多采用了近似取值,在實際應用中往往需要通過齒面擬合等方法進行矯正,且計算過程復雜,其程序生成齒面點時過程繁瑣,存在較大誤差,不利于提高弧齒錐齒輪參數建模的效率和精度。

隨著研究發展,利用球面漸開線齒廓進行設計計算逐漸在弧齒錐齒輪設計與制造中獲得重視[4-6]。利用球面漸開線理論設計的工作曲面的齒面齒形可以實現傳動過程中一堆共軛曲面的正確嚙合,且基于球面漸開線的設計具有軸角誤差補償能力[7]。

近幾年來,有學者基于共軛曲線理論發展出了新的弧齒錐齒輪網格劃分理論[8],為利用平面對數幾何元素引入到齒面生成中提供了理論依據;ZHOU等[9]提出了一種新型的計算齒輪齒面點位的方法,以此來獲得弧齒錐齒輪近似等距點與曲線;為了避免制造和裝配的空間及角度誤差造成的對中性誤差,有學者通過調整機床設置獲得最佳齒面進行了嘗試[10-11]。目前基于球面漸開線的弧齒錐齒輪齒形設計仍有改良的空間,為了使球面漸開線理論在弧齒錐齒輪設計中得到更加充分的應用,本文利用平面共軛對數進一步提升工作齒面的精度。

1 利用空間共軛曲線改進的弧齒錐齒輪成形原理

理論上,弧齒錐齒輪中本身具有的球面漸開線是具有類似于軸角誤差補償等能力的,因此若是根據展成法等理論進行弧齒錐齒輪的齒形設計,其生成齒廓在實際建模和虛擬裝配中往往會出現對中性誤差等等,需要在后續的實驗中不斷矯正以達到相對準確的精度與平穩的接觸應力變化。故本文提出以球面漸開線理論為基礎,并基于平面共軛對數進行弧齒錐齒輪基于共軛曲線的改進設計理論與方法。

1.1 改進的弧齒錐齒輪設計理論

為了使齒輪嚙合時能夠沿著嚙合線始終保持較高的接觸強度,故本文在球面漸開線齒形設計理論的基礎上,利用共軛曲線設計,如圖1所示,為球面漸開線的形成原理。在從弧齒錐齒輪的基礎齒面所展開的盤型平面上,盤形平面所處的坐標系沿著基圓錐的母線相連并相切。處在盤形平面邊緣上的動點P在球面漸開線上的任意一個位置其與基圓錐的頂點O,即盤形平面坐標軸的原點的距離相等,且動點P在空間活動的跡為球面漸開線,利用平面對數在弧齒錐齒輪嚙合傳動的共軛曲線上利用法向截面的圓弧齒形上建立新的齒面。

圖1 平面對數在球面漸開線錐齒輪設計中的引入

弧齒錐齒輪的齒面即可根據從同時存在于基圓錐底部與圓盤平面的交點來進行確定,其平面對數rlog可表示為:

rlog=[0ecotβ·θsin(φsinδb)ecotβ·θ(φsinδb) 1]T

(1)

式中:δb為基圓錐軸線OO0與圓盤坐標系中yc軸的夾角,同時也為基圓錐母線與基圓錐軸線的夾角。所以當基圓錐與圓盤平面發生相對滾動時,兩者的坐標系的轉換為:

(2)

故引入平面共軛對數后的弧齒錐齒輪的球面漸開線齒廓的對數齒面轉化可表示為:

[x1y1z11]=M1c·[x1y1z11]T

(3)

在圖2中設動點P在球形漸開線的另一位置時處于點過點Q。作與圓形盤面所處坐標系原點O0及基圓錐底面圓心O這兩者連線OO0保持垂直關系的平面,與軸線OO0相交于K點,與基圓錐母線相交于N點。根據三角函數關系,在直角三角形O0NK、O0NP和O0PM中,可知:

(4)

圖2 球面漸開線的形成原理

且根據球形漸開線的性質可知:

(5)

繼而得出:

(6)

得到在球面漸開線上的任何位置上的動點P所在的偏角為:

(7)

式中:δk為動點P在運動時的所對應的基圓錐母線與圓錐軸線的夾角。

圖3 齒面形成原理圖

1.2 確定弧齒錐齒輪的齒面嚙合曲線

由圖4所示的柔性坐標系中,S0和Sp是與水平面相連,其中點O1、O2、O0、Op是弧齒錐齒輪中的兩個齒輪的頂點重合。z0軸穿過小輪的軸線,zp則穿過大輪的軸線。x0與γp·φ1和φ2重合,其中γp·φ1和φ2(φ2=i21φ1)表示小輪和大輪在一定時間段內相對于原位置的轉動角度,Γ1和Γ2分別表示大小齒輪的球面漸開線共軛曲線。

圖4 齒輪傳動嚙合的基本坐標系

坐標軸S1到坐標軸S2的轉換矩陣可表示為:

M21=M2pMp0M01=

(8)

基于球面漸開線建模的弧齒錐齒輪中的齒面接觸路徑可表示:

(9)

式中:c1與c2的值由邊界條件所確定。

對于小輪來說,接觸跡線可表達為:

rΓ1=[xΓ1(φ)yΓ1(φ)zΓ1(φ) 1]T

(10)

齒面上進行網格化處理之后曲線的相對速度可表示為:

v12=ω1×rΓ1-ω2×rΓ2

(11)

式中:rΓ1、rΓ2和ω1、ω2分別表示為小輪和大輪在坐標軸S1中的位置矢量以及相對角速度。

在接觸跡線rΓ1中存在的單位法向量nΓ1需要滿足與起始球面漸開線方向重合,則有:

(12)

nΓ1·v12=0

(13)

繼而推導:

(14)

故共軛曲線Γ2與共軛曲線Γ1相切等性質可以總結為:

(15)

2 弧齒錐齒輪的齒面生成

在弧齒錐齒輪建模程序中,將建模過程分為齒輪工作曲面、大小齒端曲線以及齒根過渡部分3個部分。

2.1 生成弧齒錐齒輪工作齒面

(16)

圖5 弧齒錐齒輪齒面生成原理

式中:單個齒面凹凸面的法向橫截面的齒廓可表示為:

(17)

所以在以球形漸開線為設計基礎的弧齒錐齒輪的齒面選擇兩對共軛曲線,一對在節錐角上方,另一對在下方,通過此方法可以生成齒輪的凹凸面。根據變換矩陣M21可以得到圖5中兩個向量αΓi與nΓi:

(18)

2.2 大小齒端曲線的確定

大端的曲線分為齒頂、齒根進行求解。其中齒頂部分用以下公式進行確定:

(19)

進行齒根計算時則需要公式:

(20)

式中:ρ表示矢徑。對于同一齒的另一面的計算,則需要替換以下參數:

(21)

式中:φf表示齒厚。

對于小端部分的曲線求解的方程可表示為:

(22)

式中:Δφ表示小端相對于大端的偏角。

2.3 齒根過渡曲面參數的確定

齒根過渡曲面需要根據以基于球面漸開線設計中的漸開線與基圓錐的參數進行單獨設計。根據設計齒輪的參數不同,也會隨其球面漸開線中的基圓錐的底面半徑的變化有關。在半徑值大于齒根圓的半徑時,根據選用的刀盤圓角的半徑以及考慮刀具與被加工齒輪之間是否存在側面間隙和齒頂間隙,有公式為:

(23)

式中:

(24)

式中:α為弧齒錐齒輪參數中的壓力角,ha為齒頂高,rp為節圓半徑。

如果加工刀具與齒輪之間存在側面間隙或齒頂間隙時,則需要將以下參數進行替換:

(25)

式中:jm表示為最大間隙。

若基圓錐底面半徑小于齒根圓半徑,根據文獻[12]可使用變半徑倒圓角的計算來進行齒根過渡圓角的處理,有以下公式進行推算:

rt=0.3m

(26)

3 基于球形漸開線設計的弧齒錐齒輪建模與網格劃分實例

3.1 弧齒錐齒輪三維建模

本次建模選取的弧齒錐齒輪參數如表1所示。

表1 弧齒錐齒輪主要參數

由結合之前公式及理論所設計出的程序得出單個齒槽的齒面點陣,并利用三維繪圖軟件中的點線連接以及放樣曲面功能沿著由點陣列所組成的曲線進行曲面組成,如圖6所示。根據弧齒錐齒輪設計手冊,可以確定弧齒錐齒輪毛坯的尺寸,并進行繪制。使用所得到曲面進行放樣切除,并利用圓周陣列功能按照齒數進行布置,得到如圖7所示的弧齒錐齒輪大輪模型。

圖6 弧齒錐齒輪單齒槽的凹凸面及齒頂面

圖8 弧齒錐齒輪單齒網格劃分模型

3.2 弧齒錐齒輪仿真前處理的網格劃分

為了對弧齒錐齒輪傳動副進行精確的有限元分析,需要對由上述步驟所生成的弧齒錐齒輪進行網格劃分以作為前處理環節。

為了能夠實現提升仿真速度以及提高后續的仿真精度,需要對弧齒錐齒輪對接觸面的工作曲面和齒根過渡曲面進行特別加密。根據實際承載接觸分析或動力學仿真時情況總結出需將弧齒錐齒輪副中進行主要接觸的工作曲面和相對應的齒根部分的網格數量進行相應的增加,而對齒輪接觸仿真結果影響很小的齒坯部分的網格適當減少,加快仿真后處理的效率。

4 仿真算例

在仿真中,賦予網格材料屬性為20GrMnti,材料密度7.8×10-9t/mm3,設置楊氏模量和泊松比分別為E=205 GPa和λ=0.3,有限元模型及經過接觸面定義以及旋轉耦合約束后的建模如圖9所示。

圖9 弧齒錐齒輪耦合定義模型

設置基于展成法弧齒錐齒輪程序[13]作為對照組,給予作為主動輪的小輪旋轉的一定旋轉角速度,對兩組被動旋轉的大輪施加同樣的抵抗旋轉的力矩,對弧齒錐齒輪裝配體進行接觸強度的分析,得到如圖10所示的多組小輪進入嚙合到脫離這個時間段內接觸應力變化的數據。可以看到引入平面對數進行改進的球面漸開線弧齒錐齒輪建模在實驗仿真中具有更高的接觸強度,其中改進后的小輪凹面最大齒面接觸應力圖如圖11所示。

圖11 改進后的小輪齒面應力云圖

為了驗證此次改進的弧齒錐齒輪建模在實際仿真中因制造與裝配而產生的軸角變化ΔΣ導致的傳動平穩性上的變化,設置裝配之后的小輪相對于理論位置的軸角變化值ΔΣ,小輪轉角設置為1.3 rad,運行時間為1 s,摩擦系數為0.15。根據傳動誤差公式計算得到如圖12所示在軸角誤差裝配誤差下的傳動誤差函數。

5 結論

本篇研究在原先球面漸開線的弧齒錐齒輪參數建模中引入幾何元素中平面對數等設計與計算方法對弧齒錐齒輪的曲面建模進行了改進,最終得到結論如下:

(1)結合數學程序設計以及三維制圖軟件的應用,使建模過程的復雜程度大幅降低,減少了進行復雜運算的時間,為之后的接觸分析和動態分析提供了精確的建模和網格劃分前處理的條件。

(2)改進的設計提升了基于球面漸開線理論設計的弧齒錐齒輪對于裝配時存在的對中性誤差之一的軸角誤差的適應能力,在存在軸角誤差的情況下整體的加載傳動誤差變化趨勢較穩定,展現了球面漸開線齒面設計理論當中對弧齒錐齒輪在傳動過程中軸角補償的能力。

(3)設計的弧齒錐齒輪在同樣的仿真條件下,其接觸應力低于傳統設計的弧齒錐齒輪,且接觸應力變化更加穩定,體現出了更高的接觸強度。