基于擴充參數平面法的PID控制及陷波器設計

章國光,燕波宇,陳超凡,王曉光

(湖北工業大學電氣與電子工程學院,武漢 430070)

0 引言

伺服驅動系統通常由伺服電機、聯軸器、傳動軸和機械負載組成。為提高系統動態響應和節約能源,驅動部件通常采用小型輕量化設計,但該設計會減小傳動裝置剛度,降低固有頻率,當固有振蕩頻率位于調速系統的工作頻帶范圍內,軸系就有可能出現機械振蕩[1]。機械振蕩除了會發出聲學噪聲形成噪聲污染外,還會對機械傳動裝置造成嚴重的損害,影響其使用壽命;另外,還會引發控制系統中的控制量振蕩,使得控制的穩定性以及可調整性受到制約[2-3]。因此,機械振蕩的研究以及抑制方法已成為高性能伺服驅動的重要研究課題之一。

丁有爽等[4]采用雙閉環的速度環和電流環控制策略對電機驅動彈性負載系統進行控制,通過與傳統剛性負載系統對比,表明彈性負載會產生諧振,考慮彈性特性設計,系統響應特性好。龔文全、龍丁等[5-6]針對使用常規陷波器存在的相位滯后情況,分析了陷波器對系統性能的影響,在常規二階陷波濾波器結構的基礎上,提出了減小陷波器相位滯后的改進策略,改善陷波器加入系統后造成的相位裕度損失。CHEN等[7]針對系統諧振頻率發生偏移時,使陷波器由于錯誤的陷波頻率而引起頻率較低的振蕩,甚至使諧振更嚴重的問題,提出了一種適用范圍更廣、魯棒性更強的無振蕩回彈陷波濾波器調諧策略。

傳統陷波器設計方法通過系統的開環特性,針對系統的諧振頻率對陷波器進行設計,旨在通過對陷波器本身的改進提升系統性能。但將系統控制器和陷波器分別設計,未有效考慮陷波器設計和系統控制的匹配設計問題,不利于系統的優化。

工業伺服系統中位置控制最為常用,通常采用內外環控制器的形式,并通過先內環后外環的方式來調節參數[8-9];這種內外環獨立調節方式,可保證系統的穩定,但難實現系統性能的最佳。另外,基于遺傳算法的參數自調節雖有效,但調節參數的計算復雜,直觀性稍差[10]。

本文提出三參數設計的擴充參數平面法,通過分析設計極及振動極變化,實現了三參數高階系統的計算與分析[11]。本文研究PID控制,并結合傳統陷波器[12-13]開展分析與設計,基于擴充參數平面法,并將PID控制參數整定和陷波器參數設計結合起來,綜合考慮PID控制參數和陷波器參數對系統性能的影響。通過仿真分析,對比在PID位置控制中引入陷波器前后的抑制效果。結果顯示:使用傳統陷波器與PID控制能有效改善系統阻尼特性。

1 彈性系統數學模型

在交流伺服系統中,電機與負載之間常采用傳動軸、滾珠絲杠副或者聯軸器等傳動機構進行連接。然而傳動機構并不是理想剛性,電機和負載之間有彈性連接,彈性伺服系統常簡化為二慣性系統來分析。

二慣性系統模型,如圖1所示[14-15]。

圖1 二慣性系統模型

圖1中,Jm為電機轉動慣量(kg·m2);Ja為負載轉動慣量(kg·m2);θm為電機旋轉角度(rad);θa為負載旋轉角度(rad);Kj為軸系彈性系數(N·m/rad);Tm為電機轉矩(N·m);Tω為軸系轉矩(N·m)。

二慣性系統框圖如圖2所示。

圖2 二慣性系統框圖

從圖2系統框圖可以得到電機轉矩Tm到電機角度θm和負載角度θa的傳遞函數如下所示。

電機轉矩Tm到電機角度θm的傳遞函數:

(1)

電機轉矩Tm到負載角度θa的傳遞函數:

(2)

(3)

式中:ωa為反諧振頻率,ω0為諧振頻率,R為負載與電機的慣性比。

2 控制策略分析

2.1 PID控制系統

傳統PID位置控制系統框圖如圖3所示[11]。

圖3 PID位置控制系統框圖

由圖3可以得出從電機參考輸入角度θr到電機角度θm和負載角度θa的傳遞函數:

(4)

(5)

式中:Kp為比例反饋系數,Ki為積分反饋系數,Kd為微分反饋系數,θr為參考輸入角度。

2.2 基于擴充參數平面法的PID參數整定

式(5)位置控制系統由5個極點需要分配,但只有Kp、Ki、Kd三個控制參數,可調節參數遠低于系統階數少。使用擴充參數平面法,將系統分為3個設定極點和兩個自由極點,具體步驟如下。

式(4)、式(5)分母,即系統的特征方程如下(m為系統階數):

(6)

式中:ak為特征方程各階系數。

設定極s1、s2設定為一組實部相同的共軛極點:

(7)

第三個設定極s3設定為沿s平面實軸放置:

s3=-ω2

(8)

式中:ω1、ω2為設計極頻率,ζ1為阻尼系數。

(9)

式中:函數Uk(ζ1)為第二類切比雪夫函數,此函數的參數ζ1的范圍為:0≤|ζ1|≤1,此函數的遞歸式如下:

Uk+1(ζ1)-2ζ1Uk(ζ1)+Uk-1(ζ1)=0

(10)

設初始值U0(ζ1)≡0,U1(ζ1)≡1。

將式(9)代入式(6)中,為保證實部和虛部之和各為0,得到:

(11)

(12)

將式(8)代入式(6)可得:

(13)

式(11)～式(13)決定設定極點s1、s2、s3的位置,同時可以通過式(11)～式(13)確定控制參數Kp、Ki、Kd。

系統ak與Kp、Ki、Kd關系如下:

ak=bk+ckKp+dkKi+ekKd

(14)

式中:bk、ck、dk、ek是系統常數。

式(14)系數矩陣,結合式(4)和式(5)分母展開為:

(15)

從式(15)系數矩陣看出,控制參數Kp、Ki、Kd由電機轉動慣量Jm、反諧振頻率ωa和慣性比R決定。

展開式(14),綜合式(11)～式(13)得到:

(16)

式中:

(17)

對式(16)求解,可以求解出控制參數Kp、Ki、Kd如下:

(18)

以上,通過ω1、ω2和ζ1來調整設計極點的位置;并根據式(18),通過求解方程組中系數得到對應的控制參數Kp、Ki、Kd。

3 系統分析

系統參數取傳動軸扭轉剛度Kj為5100 N·m/rad,取負載側轉動慣量Ja為0.488 3 kg·m2[16]。如下分析出慣性比和設定極點對系統振動的影響。

3.1 慣性比影響

設定極為非振動設計,選設定極s1、s2的阻尼系數ζ1=0.85,取ω1=0.5ωa;設定極s3與設定極s1、s2實部相等,即ω2=ω1ζ1,慣性比R取值為0.25,0.5,0.75,1,1.25時,自由極點位置如圖4所示。

圖4 不同慣性比極點位置圖(R=0.25～1.25)

圖4中符號(+)表示為s1、s2、s33個設定極點,符號(×)表示自由極點。從自由極點變化規律可以看出:當系統3個設定極點的位置固定時,隨著系統慣性比增大,系統的兩個自由極點逐漸遠離虛軸。當系統的慣性比較小時,自由極點的位置靠近虛軸,此時系統處于欠阻尼狀態。

慣性比R取值為0.25,1.25時,系統階躍響應如圖5所示。

通過圖4和圖5可以看出:慣性相對較小的系統更易呈現欠阻尼狀態,此時系統的響應振動明顯;慣性比相對較大,此時系統的響應較穩定。

3.2 設定極影響

針對小慣性比情況(R=0.25,0.5,0.75),改變設定極的位置(ω1=0.1ωa～0.9ωa),系統極位置如圖6～圖8所示。

圖6 極點位置圖(R=0.25)

圖8 極點位置圖(R=0.75)

從圖6～圖8中可以看出,隨著設定極(+)的取值ω1=0.1ωa～0.5ωa逐漸增大,設定極的位置逐漸遠離虛軸,系統的自由極(×)也跟隨設定極遠離虛軸;但隨著設計極取值ω1=0.5ωa～0.9ωa進一步增大,自由極返回虛軸,系統阻尼特性開始變差。

對比分析圖6～圖8可以看出:不同慣性比時,隨著設定極的變化,系統自由極的運動規律相同;在小慣性比時,自由極均更靠近虛軸。因此,針對小慣性比系統欠阻尼特性,為了進一步提高系統的穩定性,在小慣性比系統中引入濾波器。

4 陷波器引入及設計分析

為了使其得到有效的抑制,直接的方法就是對特定諧振點的頻率進行抑制[13]。加入陷波濾波器之后,諧振點峰值會被抑制,傳統陷波器的傳遞函數表達式[7,12-13]:

(19)

式中:ε0為陷波器帶寬參數。

陷波器帶寬參數ε0=0.2,0.3,0.4時,陷波器Bode圖如圖9所示,隨著陷波器帶寬參數ε0變大,陷波器的陷波帶寬變大。

圖9 陷波器Bode圖(ε0=0.2,0.3,0.4)

在PID位置控制系統上,引入陷波器,使用擴充的參數平面法對控制參數進行整定,可以通過調節陷波器帶寬參數ε0,分析出陷波器對系統性能的影響。

帶陷波器PID控制系統框圖如圖10所示,從電機參考輸入角度θr到電機角度θm和負載角度θa的傳遞函數:

(20)

圖10 帶陷波器PID控制系統框圖

(21)

系統引入傳統陷波器后,系統的階數仍為五階系統,其系數矩陣為:

(22)

對比式(22)與式(15),引入陷波器后,式(22)多一個調節參數ε0。

通過擴充參數平面法對帶陷波器的系統進行參數整定。基于上節分析,取小慣性比R=0.25,0.5、設定極點位置ω1=0.5ωa,改變陷波器帶寬參數,調查極點位置及變化。

從圖11和圖12可以看出,引入陷波器后,通過改變陷波器帶寬參數ε0,自由極點距離虛軸的距離和無陷波器系統相比明顯變遠,系統阻尼性能得到改善。

圖11 極點位置圖(R=0.25)

在慣性比0.25時,陷波器帶寬參數ε0=0.4時,系統階躍響應曲線如圖13所示;在慣性比0.5時,ε0=0.3的階躍響應曲線如圖14所示。

圖13 階躍響應曲線(R=0.25)

從圖13和圖14可以看出,慣性比R=0.25時,系統的振動明顯,處于欠阻尼狀態,所需陷波器帶寬設計參數較大;慣性比R=0.5時,系統振動較小,陷波器帶寬設計參數較小。通過對比引入濾波器前后系統的階躍響應可知:引入濾波器后,系統的振動得到抑制。

5 結束語

針對彈性傳動環節導致的伺服系統出現機械諧振的問題,本研究在諧振機理分析的基礎上,綜合系統PID控制與陷波器設計展開系統分析,揭示系統阻尼特征及陷波器的參數設計方法。

根據導出系統特征方程,基于擴充參數平面法分析PID設計,并總結出慣性比對系統阻尼特性的影響;針對小慣性比系統的欠阻尼特性情況,基于同方法,將PID控制參數整定和陷波器帶寬參數調節結合設計,解決PID控制和陷波器帶寬參數調節的優化設計,實現諧振抑制。