基于滑窗濾波器的改進MRAS轉動慣量辨識*

陳冠廷,魏海峰,閔 琦

(江蘇科技大學自動化學院,鎮江 212000)

0 引言

交流伺服電機由于效率高、調速范圍寬、損耗低,被大量用于軍事工業、航空航天等多個領域。但在實際應用中,負載擾動的影響以及電機參數的變化會使系統的動態性能變差。因此,在使用時若能實時獲得轉動慣量值,將對故障診斷以及增強系統魯棒性具有重要的研究價值和實際應用意義。

現階段,有很多學者對轉動慣量的辨識進行了分析并取得一系列成果。通常可將轉動慣量辨識大致分為兩種,即:離線辨識和在線辨識,其中離線辨識易受條件影響導致辨識效果差、響應慢且需要占用大量空間來儲存數據,因此離線辨識策略逐漸被淘汰。目前,人類已經提出眾多在線參數辨識方法,其中得以廣泛應用的有遞推最小二乘法、無跡卡爾曼濾波算法等,它們各有優勢并適用于不同場景。朱凌童等[1]采用連接兩個擴展滑模觀測器的方式,將負載轉矩周期性地與轉動慣量進行反饋更新,最終實現辨識目的,但該方法在運行初期辨識速度較慢。宗學軍等[2]在遞推最小二乘法在線辨識的基礎上,將辨識結果與速度環相互迭代,從而改變比例積分參數,達到速度環增益自動調節的目的,但該方法識別精度較低。王柯等[3]在參考既有研究成果的基礎上,提出了基于積分變換的新技術,試驗結果顯示,此方法在輸入數據存在噪聲時辨識性能仍然理想,這為后續研究提供了新思路。王飛宇等[4]為了解決辨識結果震蕩大的問題,提出了多增益自適應算法,根據辨識參數的改變率切換增益,達到具有較好動態性能的目的。

在實際應用中,電機慣量辨識易受負載突變影響,因此本文在借鑒以往研究經驗的基礎上,提出基于滑窗濾波器的改進MRAS轉動慣量辨識方法,借助曲率模型對負載擾動進行估測,基于滑窗濾波器原理設計變增益機制的判斷依據,對傳統模型參考方法進行改進,保證轉動慣量在負載突變時能夠被快速精準的辨識。

1 交流伺服系統數學建模

1.1 交流伺服電機機械運動方程

系統采用id=0的控制策略,給出永磁伺服電機的機械運動學方程:

(1)

式中:Te表示電機的電磁轉矩,p表示電機的極對數,iq表示q軸電流,ψf表示電機轉子磁鏈,J表示轉動慣量,ωm表示機械角速度,TL表示負載轉矩,Tf表示摩擦力矩。

結合庫倫-粘性摩擦模型得到:

Tf(t)=Bωm(t)+Tc(t)sgn(ωm(t))

(2)

式中:B表示粘性摩擦系數,Tc表示庫倫扭矩,sgn(·)函數會返回一個整型變量。

將式(2)帶入式(1)中展開得到:

(3)

將電機機械運動方程式(3)進行離散化處理得到式(4):

(4)

1.2 交流伺服電機速度環模型

在交流伺服電機中,電流環時間常數比速度環時間常數小,故而本文引入經典的一階低通濾波器進行濾波,并繪制出相應的原理圖,如圖1所示。

圖1 速度控制器原理框圖

圖1中,Ti代表電流環時間常數,Kt代表電磁轉矩系數。以下給出的是速度環的開環傳遞函數:

(5)

根據圖1,將式(4)按項表達可得:

(6)

式中:TJ=J/B,當負載發生突變導致TJ>Ti時,轉動慣量對調速系統有著較大的影響,固定增益的辨識策略難以滿足系統速度環既快速又精準的控制需求。

2 基于曲率模型的負載擾動估測

2.1 曲率模型原理

為了實時追蹤負載擾動的變化,設計一種基于曲率模型的負載擾動估測法。曲率模型對于各種曲線、曲面等幾何對象可以提供準確的數學描述,使得它們的形狀和特性可以被完整地捕捉和表達。

曲率圓有3個特性:模型中曲率圓與曲線在同一條切線上;曲率圓具有與曲線相同的凹向;曲率圓與曲線具有相同曲率。因此如果曲率圓是已知的,且時間間隔足夠小,圓上的點可以被認為是近周期內曲線的估計值,能夠有效達到模型估測的目的。曲率結構模型如圖2所示。

圖2 曲率結構模型

圖2中,曲線的直角坐標系方程為y=f(x),且f(x)具有二階導數f″(x),在曲線f(x)上選擇點P(z,w),做f(x)在該點處的切線a,圓O為f(x)在P點處的曲率圓;設點Q為估測點,做f(x)在Q點處的切線b,P、Q兩點橫間距為Δx,當Δx足夠小時,可視為點Q既在曲線f(x)上,也在曲率圓O上,由此可知切線b也與圓O相切,因此只要求出曲率圓O的相關信息,便可求出估測點Q的相關坐標。

假設切線a與x軸的傾角為α,由此可推斷出:

tanα=y′

(7)

式(7)兩邊同時求導可得:

(8)

式(8)化簡得到式(9):

(9)

(10)

當Δx→0取極限時,有:

(11)

將式(11)帶入式(10)可得:

(12)

(13)

設曲率半徑為r,曲率半徑等于曲率的倒數,將式(9)和式(12)帶入到式(13)中,由此得出曲率半徑r:

(14)

假設曲率圓圓心坐標為O(m,n),已知P點坐標(z,w)。根據圓心方程有:

(z-m)2+(w-n)2=r2

(15)

由于在P點處,OP⊥切線a,因此有:

(16)

將式(15)、式(16)結合得到曲率圓圓心坐標表達式:

(17)

設點Q的坐標為(u,v),考慮到曲率圓的凹凸性問題,估測點Q的坐標也將分為兩種情況進行計算,即當f″(x)>0時,曲線f(x)的發展趨勢為凹的;當f″(x)<0時,曲線f(x)的發展趨勢為凸的,其凹凸性結構圖如圖3、圖4所示。

圖3 曲線的發展趨勢為凹的

同時再考慮到曲線非凸非凹的情況,結合圖2信息,進而得到估測點Q的縱坐標表達式:

(18)

2.2 負載擾動估測

將式(4)做化簡處理,使:

(19)

進一步得到負載擾動表達式:

TLf(t)=[1-bm(t)·B]ωm(t-1)+
bm(t)Te(t-1)-ωm(t)

(20)

圖5 基于曲率模型的負載擾動估測

(21)

結合式(14)和式(17)可知負載擾動的曲率圓半徑和圓心的表達式為:

(22)

最終將式(18)帶入式(23),負載擾動的估測值可表示為:

(23)

3 改進MRAS轉動慣量辨識

3.1 MRAS模型構建

模型參考自適應法主要包含3個要素,分別是參考模型、可調模型和自適應律,利用模型輸出量的差值和適當的自適應律在線調整控制器參數,完成物理量的辨識。

選擇參考模型如式(24)所示。

ωm(t)=[1-bm(t)·B]ωm(t-1)+
bm(t)Te(t-1)-TLf(t)

(24)

可調模型如式(25)所示。

(25)

(26)

通過離散朗道算法進行迭代調節,如式(27)所示。

(27)

式中:β為增益因子。

3.2 基于滑窗濾波器的變增益因子切換設計

傳統MRAS辨識過程中,β越大,辨識速度越快,但精度低;β越小,辨識速度越慢,但精度高。因此,伺服系統為同時滿足辨識精度和辨識速度,變增益機制顯得尤為重要。

首先提出一種變增益閾值法,設置固定的閾值δ,每個周期將轉動慣量的變差σ和閾值δ作比較,判斷增益是否需要改變。當σ>δ時,說明負載發生改變,增益切換為大增益βmax;當σ<δ時,說明負載未發生突變,使用小增益βmin。變差σ的表達式為:

(28)

增益切換表達式如式(29)所示。

(29)

然而在實際工況中,該方法存在以下幾點不足:閾值δ一般通過枚舉法選出,然而不同電機參數和工作環境會導致變差σ的波動范圍不同,因此選取通用的閾值δ較為困難;閾值δ的選取與變差的最大值σmax緊密相關,而變差的最大值很有可能是在誤差、擾動影響下錯誤產生的,這將導致閾值δ的可信度降低,使該方法存在一定風險;增益切換的判斷方法過于單一,增益切換的判斷條件無法隨著系統的變化而做周期性調整。

針對上述問題,設計一種滑窗濾波器來實現變增益的切換。滑窗濾波器內一直保留近周期內10個最大的變差,變差呈由大到小排列。滑窗濾波器的窗體隨著時間而滑動,k時刻產生的新變差σk與滑窗濾波器內的元素進行比較,若新變差σk大于任何一個元素,則淘汰滑窗濾波器內的最小值,將新變差σk插入,并更新濾波器;若新變差σk小于滑窗濾波器內所有元素,則不做更新處理。

滑窗濾波器更新流程圖如圖6所示,其中σ0～σ9表示近周期內最大的10個變差,且有σ0>σ1>σ2>σ3>σ4>σ5>σ6>σ7>σ8>σ9;σk-1、σk-2、σk-3……表示k-1、k-2、k-3……時刻的變差;假設σ8>σk>σ9。

圖6 滑窗濾波器更新流程圖

由于方差可用來描述隨機變量的偏離程度,因此用方差代替閾值判斷法作為增益切換的依據。當滑窗濾波器的方差Dσ(k)遠大于以往方差時,有Dσ(k)?Dσ(k-1),說明負載發生突變,轉動慣量發生改變,增益切換為大增益βmax;否則說明負載未發生突變,使用小增益βmin。Dσ(k)的表達式如式(30)所示。

(30)

增益切換表達式如式(31)所示。

(31)

為滑窗濾波器設置自保護機制,窗體中最大值視為風險位,最小值視為備用位。每經過10個采樣周期移除掉當前風險位,剩余元素依次向前遞進,備用位補0,這樣能夠有效防止擾動產生的最大變差對系統造成持續影響。滑窗濾波器自保護機制流程圖如圖7所示。

圖7 滑窗濾波器自保護機制流程圖

基于滑窗濾波器的變增益因子切換流程圖如圖8所示。

圖8 基于滑窗濾波器的變增益因子流程圖

慣量辨識完整結構框圖如圖9所示。

圖9 慣量辨識完整結構框圖

4 實驗驗證

4.1 實驗平臺搭建

本節為證實所提方法的有效性,搭建實驗平臺對負載和轉動慣量進行觀測,如圖10所示。以恩智浦MKV56芯片為控制核心,選擇750 W伺服電機以及多摩川17位編碼器進行電機轉子位置的追蹤,伺服電機具體參數如表1所示。

表1 永磁伺服同步電機參數

圖10 負載和轉動慣量實驗平臺

4.2 變負載估測

本環節中,首先讓電機在0～0.2 s的時間范圍內空載啟動,之后在0.2～0.5 s時間范圍內施加5 N負載,并于0.5～0.6 s施加3 N負載。

分析圖11不難得出,該方法不僅能夠觀測穩定時的負載,當負載發生突變時,該方法依舊具備良好的估測能力。

圖11 基于曲率模型負載擾動估測結果

4.3 變慣量辨識

為了更加確定β對慣量識別結果的作用,此處增益分別取0.9、0.5和0.1,然后基于慣量辨識結果曲線作對比分析。結合圖12,不難看出增益越大,收斂越快,但穩定后的波動更加明顯;增益越小,收斂越慢,但穩定后的波動越小。根據更多實驗數據,表2中記載了不同增益下收斂時間和波動誤差的關系。

表2 增益與收斂時間和誤差的關系

圖12 不同增益下的慣量辨識的曲線

由表2可知,增益為0.9時收斂時間約為1.5 ms,這種情況下,誤差穩定在1.26%;增益為0.1時對應的收斂時間約為9.1 ms,這種情況下,誤差穩定在0.14%,因此本實驗設計將0.9設為大增益,將0.1設為小增益,如式(32)所示。

(32)

為驗證本文方法在變慣量下的辨識效果,讓電機在0～0.2 s內轉動慣量為0.001 kg·m2,0.2～0.5 s內轉動慣量變為0.005 5 kg·m2,0.5～0.6 s內轉動慣量變為0.002 kg·m2。同時將本文方法與傳統固定增益MRAS法和變增益閾值法MRAS做對比,以證明本文基于滑窗濾波器的變增益MRAS法的可行性,其中傳統MRAS固定增益設置為0.9,變增益閾值法MRAS增益設置與式(32)相同。

變慣量辨識對比曲線結果如圖13所示,不難看出當慣量突變較大時,傳統MRAS法能夠快速收斂,經過0.008 s后完全穩定,但穩定后明顯有較大波動,誤差維持在2%左右;閾值法MRAS收斂速度較慢,經過0.075 s完全穩定,其中,前0.03 s增益為βmax,后0.045 s增益為βmin,因該方法靈敏度較低,在辨識未完全收斂前,便開始調整精度,穩定后波動較小,誤差維持在0.5%;而本文基于滑窗濾波器的變增益MRAS法不僅可以同時保證收斂速度和收斂精度,對轉動慣量的變化也更加敏感,經過0.008 s后完全穩定,且穩定后誤差維持在0.5%,該策略兼具兩種方法的優點,具有更好的動態調整能力。

圖13 變慣量辨識對比曲線

滑窗濾波器的方差變化曲線如圖14所示,慣量突變時,方差的值會在短期內擴大數十倍,穩態時方差的值約為1e-7,0.2 s慣量突變時方差最大值約為2.5e-5,0.5 s慣量突變時方差最大值約為5e-5,結果說明根據滑窗濾波器的方差能夠更有效的判斷慣量是否發生變化。

且增益因子β同時進行切換,增益的變化曲線如圖15所示,在電機啟動以及0.2 s、0.5 s慣量發生突變時,系統為保證收斂速度切換到大增益因子βmax,并在穩定后,轉換至增益系數βmin以確保收斂精度,該結果證明了基于滑窗濾波器的變增益MRAS法能夠迅速檢測到慣量變化并切換增益。

圖15 增益β的變化曲線

5 結論

針對變負載工況下的轉動慣量辨識,本文先通過曲率模型對負載進行估測,接著對傳統MRAS法進行改進,基于滑窗濾波器原理設計變增益機制,實現轉動慣量的辨識。實驗結果充分驗證了本文所提方法能夠實時準確的追蹤負載擾動的變化,本文方法對慣量變差的變化更加敏感,使伺服電機在負載突變的情況下能夠同時兼顧慣量辨識的收斂速度與識別精度。