基于輸入整形的絲杠傳動的振動誤差補償*

鄭飂默,欒昊軒,李備備

(1.中國科學院沈陽計算技術研究所,沈陽 110168;2.沈陽中科數控技術股份有限公司自動化裝備事業部,沈陽 110168;3.中國科學院大學,北京 100049)

0 引言

制造業是一個國家的興國之器和強國之基,為我國經濟的快速發展注入了強大動力。近年來,我國對高端數控機床的性能要求進一步提高。隨著現代制造要求高速化和高精度,絲杠傳動系統的動態特性建模及其仿真愈發重要[1]。研究傳動系統的動態特性能夠幫助機床伺服反饋系統的設計,極大地提高機床響應特性和精度。滾珠絲杠進給系統主要包含伺服電機、聯軸器、底座、滾珠絲杠、導軌、工作臺等。在高速度和高加速度下,電機的驅動力增加,導致滾珠絲杠傳動部件之間的作用力增加,造成一些部件的彈性變形和振動[2],因此滾珠絲杠傳動系統的誤差補償以及工件的加工穩定性成為了研究熱點與突破點。

劉吉柱等[3]所設計的微動補償平臺具有良好的動態特性,定位系統具有良好的誤差實時補償效果,針對X、Y方向的振動范圍由補償前的3.5 μm,補償后減小到1 μm的范圍內,有效的提高了系統的定位精度。宣賀等[4]使用ADAMS軟件對滾珠絲杠傳動系統進行振動仿真分析,得到了臥式和立式的頻響曲線,并結合HyperMesh軟件建立了臥式和立式滾珠絲杠進給機床的多柔體模型;曾浩然等[5]對滾珠絲杠傳動系統軸向的非線性振動進行分析,發現絲杠傳動系統中軸向振動同時出現混沌運動和周期運動,并且當激勵頻率和阻尼系數增大時,系統周期性增強;WU等[6]針對滾珠絲杠進給系統的振動特性,提出一種混合建模方法來研究其動力學行為;GAO等[7]進行了滾珠絲杠進給系統的橫向振動的動力學建模與分析研究,使用了PSO算法進行動態參數辨識;LI等[8]針對基于柔性動力學模型的滾珠絲杠傳動系統進行了單軸的振動抑制研究,在絲杠傳動系統中引入了輸入整形器,并最終使用ZVD輸入整形器進行振動誤差補償。

本文以X-Y軸滾珠絲杠運動平臺為研究對象,首先通過拉格朗日方程建立X、Y方向的振動動力學模型[9-10],建立數學模型并分析傳遞函數進行降階,計算ZV輸入整形與ZVD輸入整形的參數,并在Simulink中仿真實驗,比較得出最優方案,最后在實驗平臺進行驗證,并分析兩種整形器補償效果不同的產生原因。

1 滾珠絲杠傳動系統的動力學建模

1.1 振動誤差來源分析

如圖1所示,電機運轉時絲杠受力不均勻,發生彈性形變,因此運動平臺在運動中會產生振動誤差[11-12],此外,運動平臺軸向的推力不穩定也會導致波動,引起軸承副的配合部位發生彈性形變,是導致振動誤差的主要原因,從而影響平臺的定位精度。

圖1 振動誤差來源分析

1.2 X、Y方向振動動力學建模

如圖2a所示是本實驗所用滾珠絲杠傳動實驗平臺,圖2b是根據實驗平臺建立的三維模型。

(a) 實驗平臺 (b) 三維模型

為建立兩個方向上的動力學模型,本文通過改進集中參數法與分布式參數法相結合的方法[7]建立拉格朗日方程。首先建立進給系統的混合模型,工作臺相當于集中質量單元,簡化后的滾珠絲杠傳動系統動力學簡圖如圖3所示,絲杠相當于3個等集中質量和慣性矩,每一段都由彈簧阻尼單元連接,螺母、軸承分別相當于彈簧阻尼單元。此模型考慮影響工作臺進給方向的運動。

圖3 系統結構簡圖

其中共有5個自由度,分別為:θ1為左段絲杠轉動角;θ2為中段絲杠轉動角;θ3為右段絲杠轉動角;x1為螺母副位移距離;x2為運動平臺位移距離。

1.2.1 系統的總動能

由于絲杠被分為了3個部分,因此需要分別計算左段絲杠的動能、中段絲杠的動能以及右段絲杠的動能,相加即可得到絲杠的總動能,再根據絲杠總動能、工作臺的動能以及螺母的動能,確定系統總動能。

(1)

表1 動能方程參數物理意義及取值

1.2.2 系統的總勢能

由于絲杠被分為了3部分,分別計算左段絲杠的勢能、右段絲杠的勢能、絲杠螺母的勢能,相加即可得到絲杠的總勢能,確定系統總勢能。

(2)

表2 勢能方程參數物理意義及取值

1.2.3 系統的總耗散能

由于絲杠被分為了3部分,故而分別計算左段絲杠的耗散能、右段絲杠的耗散能、中段絲杠的耗散能,相加即可得到絲杠的總耗散能,再根據絲杠總耗散能、螺母的耗散能、運動平臺的耗散能,確定系統總耗散能。

(3)

表3 耗散能方程參數物理意義及取值

1.2.4 進給系統的微分方程

根據拉格朗日方程,系統的總動能、總勢能、總耗散能之間的關系為:

(4)

將總動能、總勢能、總耗散能帶入方程可得系統振動微分方程組:

(5)

通過拉氏變換求解微分方程組:

(6)

求得開環傳遞函數為:

(7)

帶入物理參數可得X軸開環傳遞函數與閉環傳遞函數,閉環傳遞函數降階后可得:

(8)

同理可得Y軸閉環降階傳遞函數為:

(9)

2 輸入整形器的Simulink仿真實驗

整形器里面含有一系列的不同幅值和時滯的脈沖[13-14]。而其中的關鍵就是計算出每一個脈沖信號的幅值以及它們各自的時滯[15]。而常見的輸入整形器主要有ZV輸入整形器和ZVD輸入整形器。

2.1 X軸輸入整形

ZV輸入整形:

(10)

ZVD輸入整形:

(11)

將結果在simulink中進行仿真實驗,結果如圖4所示。

圖4 X軸輸入整形仿真

2.2 Y軸的輸入整形器

ZV輸入整形:

(12)

ZVD輸入整形:

(13)

仿真實驗結果如圖5所示。

圖5 Y軸輸入整形仿真

3 輸入整形的實驗驗證

如圖6所示是本文使用的X-Y軸絲杠傳動實驗平臺,該實驗平臺的控制模塊是基于自主研發的運動控制器整合的輸入整形算法模塊。

圖6 X-Y軸絲杠傳動實驗平臺

將傳遞函數的頻率以及阻尼系數輸入算法模塊中進行實驗,在進行X、Y兩個方向運動時,穩定性與調整速度都有明顯增強。

如圖7所示,在X軸方向,ZV輸入整形器與ZVD輸入整形器的振動誤差補償效果相近,而使用ZV整形器進行補償的方案調整時間更短。因此在X軸方向上采用ZV輸入整形器進行補償。

(a) ZV輸入整形 (b) ZVD輸入整形

如圖8所示,在Y軸方向,ZV輸入整形器與ZVD輸入整形器區別較大,使用ZV輸入整形器后,運動平臺的穩定性遠不及ZVD輸入整形器的補償效果。因此,在Y軸方向上采用ZVD輸入整形器進行補償。

(a) ZV輸入整形 (b) ZVD輸入整形

X、Y軸運動平臺區別在于負載的大小不同,X軸方向上的負載主要是運動平臺,而Y軸方向上增加了X軸的機械結構,整體負載更大,就導致其振動頻率更低,更接近整體機床的固有頻率。而輸入整形器的參數計算都是根據降階處理過的傳遞函數,振動頻率接近固有頻率就會使得傳遞函數的降階處理過后的參數不準確,從而引起誤差。

4 結論

本文首先通過混合建模法建立了滾珠絲杠傳動系統的動力學模型,然后在Simulink中進行不同輸入整形器的仿真實驗,最后在整合了輸入整形模塊的自主研發的運動控制器實驗平臺上進行驗證。ZV輸入整形器在實驗中會帶來更短的調整時間,并且在X軸方向上效果略優于ZVD輸入整形器。而在Y軸方向上ZVD輸入整形器的補償效果要明顯優于ZV輸入整形器,這是因為Y軸的運動平臺質量更大,因此其振動固有頻率比較低,在降階運算時會帶來更多誤差,從而導致模型不準確,也就使得ZV輸入整形器的補償穩定性下降。因此,不通過降階處理就能計算輸入整形器參數或是將降階的過程更精確化就是未來工作的研究重點。