雙等腰三角形模型及相關結(jié)論

等腰三角形是特殊的三角形，自身具有很多性質(zhì)，而兩個等腰三角形結(jié)合往往會有新的結(jié)論.下面就一起探究雙等腰三角形模型及其相關結(jié)論.

模型構(gòu)建

一、共底雙等腰，可得角相等

“共底雙等腰”是指兩個等腰三角形的底邊共線，且其中一個等腰三角形的頂點在另一個等腰三角形一腰所在的直線上.下面三種情況都是“共底雙等腰”模型.

模型1：如圖1，AB = AC，DB = DE，點D在線段AC上，則∠ABD = ∠CDE.

模型2：如圖2，AB = AC，DB = DE，點D在CA的延長線上，則∠ABD = ∠EDC，∠BFE = ∠ADB.

模型3：如圖3，AB = AC，DB = DE，點D在AC的延長線上，則∠ADF = ∠ABD，∠F = ∠BDC.

模型應用：如圖4，△ABC為等邊三角形，GD = GC，[S△GCD=2S△GBD]，AG = 3，求BG的長. （請同學們嘗試求解，答案為 4）

二、雙等腰手拉手，可得三角形全等

“雙等腰手拉手”模型即“8”字形，具有雙等腰、共頂點、頂角相等的特點.

模型：如圖5，點C是等腰三角形ABC和等腰三角形CDE的公共頂點，AC = BC，CD = CE，∠ACB = ∠DCE，則△ACD ≌ △BCE.

模型變式：如圖6，△ABC與△EDC都是等邊三角形，當點B，C，D在一條直線上時，連接AD，BE交于點M，連接CM．

結(jié)論1：利用等邊三角形的邊、角的特殊性，該模型可以與旋轉(zhuǎn)聯(lián)系起來，得到全等三角形.

（1）△BCE繞著點C旋轉(zhuǎn)到△ACD，結(jié)論為△ACD ≌ △BCE（SAS），AD = BE；

（2）△BCP繞著點C旋轉(zhuǎn)到△ACQ，結(jié)論為△BCP ≌ △ACQ（ASA），CP = CQ；

（3）△PCE繞著點C旋轉(zhuǎn)到△QCD，結(jié)論為△PCE ≌ △QCD（SAS），PE = QD.

結(jié)論2：得到新的特殊三角形，即△CPQ為等邊三角形.

結(jié)論3：得到直線位置關系，PQ[?]BD，AC[?]DE，AB[?]CE.

結(jié)論4：證明三角形全等后，再利用“8”字型，可求出一些角的度數(shù).例如：∠BMA = ∠EMD" = ∠BMC" = ∠CMD" = 60°.

結(jié)論5：證明三角形全等后，再利用等面積法，根據(jù)角平分線的判定定理可以得出MC平分∠BMD.

結(jié)論6：利用截長補短法可得到線段之間的關系，BM = AM + CM， DM = ME + MC.

模型應用：如圖6，（1）求證：△ACD ≌ △BCE；（2）試探究線段BM與線段AM，CM之間的數(shù)量關系，并說明理由．（請同學們嘗試證明）

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時間：3分鐘

1.如圖7，點C是線段AE上的一點，分別以AC，EC為邊在直線AE的同側(cè)作等邊三角形ABC與等邊三角形CDE，連接AD，BE分別交BC，CD于點F，G，AD與BE相交于點O，連接FG. 則下列結(jié)論中成立的有（ ）.

（1）AD = BE；

（2）∠AOB = 60°；

（3）△AFC ≌ △BFO；

（4）△CFG是等邊三角形；

（5）DE = DF．

A. 2個 " B. 3個 C. 4個 D. 5個

難度系數(shù)：★★★★ 解題時間：10分鐘

2.[△ABC]和[△ADE]都是等腰三角形，其中[AB=AC]，[AD=AE]，且[∠BAC=∠DAE]．

（1）如圖8①，連接[BE]，[CD]，求證：[CD=BE].

（2）如圖8②，連接[BD]，[CD]，若[∠BAC=∠DAE=60°]，[CD⊥AE]，[AD=3]，[CD=4]，求[BD]的長.

（3）如圖8③，若[∠BAC=∠DAE=90°]，以點A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)[△ABC]，使得點[C]恰好落在斜邊[DE]上，試探究[CD2]，[CE2]，[BC2]之間的數(shù)量關系，并加以證明．

（答案見本頁）

（作者單位：開原市民主教育集團里仁學校）