基于表現性學習的小學“畫數學”實踐研究

江蘇省江陰市立新中心小學 戴文亞

新課標指出，重視數學內容的直觀表述，處理好直觀與抽象的關系。根據皮亞杰的認知發展階段理論，小學生的認知發展水平大多處于具體運算階段。這個年齡階段的學生正好處于形象思維向邏輯思維過渡的時期，他們已經具備一些推理能力、想象思維能力、抽象思維能力、邏輯運算能力等，但都需要具體形象的支持。“畫數學”是指學生在數學學習的過程中，在語言所提供的材料基礎上，運用感知覺和表象，將抽象的數學概念、數學規律、較復雜的數量關系等通過形象的圖示、表格等看得見的形式表示出來，從而對數學學習對象有比較形象、直觀、整體的認識和理解。

表現性學習強調以學生表現為中心，引導學生在學習活動中學習、探究、解決實際問題。“畫數學”就是要讓學生通過“表現”，從直觀形象的方式，逐步過渡到抽象思考的過程，用更加簡潔、直觀的線段圖、路徑圖、思維導圖、故事圖等來表征稍復雜的數學問題，從而分析方法、解決問題、發展能力。

一、畫線段圖，表征問題模型

線段圖，主要用來表示問題解決題型中的數量關系，幫助學生分析題意、解決問題。小學階段，教師要重視線段圖建模，強化線段圖表征；學生要借助線段圖表達數量關系，達成解決問題的目標，并能通過線段圖溝通知識點之間的聯系，形成知識體系，探索一般問題的解決策略。

教學有關“倍”的實際問題，就是幫助學生線段圖建模的內容。教師在教學中要重視圖文的轉化，加強對比和分析，初步建立用線段圖表達題意的意識。教學“相遇問題”時，教師可以把動態演示和畫線段圖結合起來，引導學生通過畫圖理解不同的“行走方式”，從而直觀理解“速度和”和“路程和”、“速度差”和“路程差”等數量的意義，通過線段圖，深刻理解“速度和（差）×時間=路程和（差）”的數量關系，避免“依葫蘆畫瓢”的簡單模仿。教學“常見的數量關系”時，教師可以借助線段圖幫助學生理解數量之間的關系，并借助線段圖將基本數量關系歸納為“每份數×份數=總數”。在表現性學習的過程中，教師要幫助學生在概括常見數量關系的基礎上，厘清常見數量關系的相同點，幫助學生初步形成結構化思維，提高數學思維水平。

蘇教版數學四年級下冊“解決問題的策略”第一課時是教學畫線段圖描述和分析問題。例題中有兩個未知數，增加了學生理解的難度。教師在教學中可以引導學生用線段圖表征條件和問題。有了線段圖直觀的表達，學生就可能想到把兩個不相等的數量轉化成相等的數量，先求出其中一個數量，再求出另一個數量。在教學中，教師將學生會畫線段圖表征問題模型作為教學重點，要學生會根據相關信息用合適的線段圖表現出來，其次，更重要的是引導學生通過線段圖來分析數量之間的關系，找到解決問題的辦法，并能在線段圖上體現分析、思考過程。通過分析，學生明確可以把兩個數量都看成和“少的”一樣多，這時總量就要減少，還可以把兩個數量都看成和“多的”一樣多，這時總量就要增加。這樣的思考過程就可以在線段圖上通過“一畫一減”“一補一加”體現出來，就能更直觀地確定解題思路。（如圖1）

圖1

在數學教學中，很多實際問題可以通過畫線段圖的表現性學習方式，清晰表征問題模型，讓學生在解決問題的過程中理解題意更簡潔、明了，分析關系更直觀、清晰，確定思路更快捷、方便，思維更嚴謹、全面。

二、畫路徑圖，表征思考過程

小學階段，針對學生在解決較復雜的實際問題時，面對信息多就容易思路混亂的情況，教師可以用畫解題路徑圖的方法，引導學生根據已知條件和要求問題，把相關信息畫出來，將解題的思考過程外顯出來，達到可視化的程度。這樣有助于學生解決問題，促進學生對知識的理解和建構，從而提升學生思維的嚴謹性，也便于教師分析和診斷學生的解題思路。

教學蘇教版數學三年級下冊“解決問題的策略——從問題想起”時，教師可以引導學生畫出思考路徑圖，分析數量關系，確定解題思路。（如圖2）

圖2

教學中，在學生理解“只有購買的運動服和運動鞋的價格最低時，剩下的錢才能最多”后，教師不急于讓學生列式解答，要給學生提供獨立分析數量關系的空間，讓他們充分交流自己的思維過程，并逐步學會畫解題路徑圖，有條理地表征思考過程。

教學“解決平均數問題”時，教師要引導學生用平均數的知識解決稍復雜的實際問題。如：芳芳和班上的另外4 個女生是好朋友，她們按身高從矮到高排列，芳芳正好排在第3 位。她們5 個人的平均身高是138厘米，前3 人的平均身高是127 厘米，后3 人的平均身高是148 厘米。芳芳的身高是多少厘米？這類題目信息多、關系復雜，學生思考起來有一定的困難。解答此題的關鍵是要理解前3 人和后3 人都包括了芳芳。用前3 人的總身高加后3 人的總身高時，排在第3 位的芳芳多算了一次，通過畫圖，我們就可以直觀地看出這一點。（如圖3）

圖3

通過“畫一畫”，學生建立起抽象的數學問題與直觀理解之間的“橋”，讓文字的描述呈現清晰的圖像。同時，在“畫”的表現性學習過程中，學生將解題過程中的思考歷程清晰地呈現出來，有助于掌握更有效的解題策略，發展能力。

三、畫思維導圖，表征知識結構

畫是知識理解的“錨”。通過“畫一畫”，學生理解了知識的建構過程，有助于找尋解決問題的策略，同時將零散的知識點建構成知識網絡，打通知識點之間的聯系，從而使相關知識邏輯更清晰、層次更分明，有助于理解和內化知識。教師可以在每個單元知識學習或一類知識學習之后，進行單元知識結構的梳理或知識概念的梳理，運用思維導圖或概念的結構圖示，整理知識結構，溝通知識間的聯系，讓學生學習條理更清晰，思維更嚴謹。

教學蘇教版數學四年級上冊“升和毫升”時，在單元的整理與練習課中，教師可以引導學生嘗試根據學習內容，把自己學到的、看到的、想到的、了解到的與“升和毫升”有關的知識畫出來，通過這種“學以致表”的方式，鼓勵學生通過“畫”這種表現性任務，把所學知識和內在素養用自己喜歡或擅長的方式表現出來，讓其他人包括自己能夠清晰地感知到，直觀地洞察到，同時幫助學生加深對所學知識的認識和理解，掌握知識結構，建構知識網絡。

蘇教版數學四年級下冊“三角形、平行四邊形和梯形”這一單元的知識點豐富，圖形之間有著密切的聯系。在整理本單元所學知識時，教師可以引導學生通過畫思維導圖來進一步認識三角形、平行四邊形和梯形的特征，弄清這些圖形之間的聯系與區別，形成合理的認知結構。

新課標強調，課程內容結構化要體現學習內容之間的關聯。學生用思維導圖等形式對所學知識進行整理、歸納，將散狀的知識整理成相關的網絡圖，建立比較完整的知識體系，讓所學內容更有條理。教師通過思維導圖這種可視化、系統化的方式，梳理知識、鞏固知識，培養學生思維的結構性和發散性。

四、畫故事圖，表征學習體驗

學生喜歡看繪本，因此，在教學中，教師可以引導學生創作簡單的數學繪本，以故事的形式把數學概念、數學運算、數學公式等相關知識推導出來，或以故事形式將一個單元或一個主題的數學知識表達出來，以故事情境表達數學知識，以數學故事表達數學理解，引導學生找尋數學與實際生活的重合點。

我們在四年級寒假期間設計了一個“我愛數學閱讀”綜合實踐活動，為學生精心挑選了數學閱讀書單。學生根據提供的閱讀書單或自己的愛好選擇閱讀書目，其間記錄其中十天的閱讀時間，并填寫統計表，完成十天閱讀后，根據表中信息繪制成條形統計圖，并把閱讀中印象最深的部分畫成數學故事與大家分享。

我們在四年級暑假期間設計了一個“七巧板的奧秘”綜合實踐活動，在學生認識并掌握三角形、平行四邊形、梯形的基本特征以及相關知識后，引導學生對其進行深入研究，借助熟悉的七巧板，研究圖形之間的關系、圖形之間的運動關系等，引導學生開啟“圖形王國”的探險之旅，研究七巧板中圖形的邊長、角度和面積之間的關系，并發揮想象嘗試創作數學繪本。

新課標指出，要培養學生三個方面的數學核心素養，即會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。用畫表征、以圖說理就是小學生喜歡的觀察、思考、表達世界的方式。學生畫對知識的理解、畫解決問題的思考過程、畫對數學問題的個性化表達……教師要幫助學生在真實、復雜、富有挑戰性的表現性學習活動中，主動完成學習任務，獲取知識技能、培養積極情感、提升學習能力、發展核心素養。