基于時(shí)滯測(cè)量的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分布式狀態(tài)估計(jì)研究

滕 達(dá) 徐 雍 鮑 鴻 王 卓 魯仁全

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)由大量的動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)互聯(lián)組成,具有規(guī)模大、鏈接方式靈活多變、隨機(jī)性高等特征,各節(jié)點(diǎn)之間可以通過相互交換信息協(xié)同完成復(fù)雜工作[1-2].復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)能夠反映真實(shí)大系統(tǒng)的內(nèi)在耦合特性,人們通過研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)從而量化和預(yù)測(cè)世界.基于以上優(yōu)點(diǎn),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在人類生產(chǎn)生活的各個(gè)領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用,如社交網(wǎng)絡(luò)、生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)等[3-4].文獻(xiàn)[5]對(duì)小世界模型、無標(biāo)度模型等具有廣義隨機(jī)復(fù)雜特性的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行研究.文獻(xiàn)[6]對(duì)耦合振蕩器網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行總結(jié).復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在受到內(nèi)部耦合關(guān)系影響的同時(shí)還受到外部環(huán)境干擾.在過去的大半個(gè)世紀(jì),高斯噪聲是一種重要的噪聲模型,得到很多學(xué)者關(guān)注,并產(chǎn)生了卡爾曼濾波等一系列具有重要影響的工作.文獻(xiàn)[7-8]分別針對(duì)具有高斯白噪聲的無標(biāo)度復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和移動(dòng)傳感器復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)開展研究.然而,受到噪聲干擾的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)還需要學(xué)者進(jìn)一步的研究.

近年來,隨著計(jì)算機(jī)和通信技術(shù)的高速發(fā)展,通過多節(jié)點(diǎn)進(jìn)行信息交換的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)大量應(yīng)用于具有空間分布式特征的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)[9–12].網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)通過共享通信網(wǎng)絡(luò)來傳輸和交換傳感器、控制器和執(zhí)行器等節(jié)點(diǎn)間的信息.與傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)相比,網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)具有信息共享、靈活易擴(kuò)展等優(yōu)勢(shì),在自動(dòng)控制等領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用[13].文獻(xiàn)[14] 構(gòu)建一種針對(duì)城市環(huán)境的多飛行器協(xié)同控制的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng).文獻(xiàn)[15] 通過建立前饋和反饋的混合機(jī)制,研究具有通信時(shí)滯的非線性網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的跟蹤控制問題.在傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)專用獨(dú)立連接系統(tǒng)中,節(jié)點(diǎn)間的信息傳輸不受限,其測(cè)量值不存在時(shí)滯.而與之相比,網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)傳輸信息的共享通信信道帶寬受限,且實(shí)際工程系統(tǒng)中不可避免地存在網(wǎng)絡(luò)擁塞、傳感器飽和等因素,這將導(dǎo)致測(cè)量中信號(hào)的時(shí)滯以不確定的方式出現(xiàn).這也會(huì)引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定,影響估計(jì)器的性能.文獻(xiàn)[16] 針對(duì)存在不確定時(shí)滯的一般復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),通過自適應(yīng)反饋控制給出一種用于同時(shí)辨識(shí)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和未知參數(shù)的結(jié)構(gòu)辨識(shí)方法.文獻(xiàn)[17] 針對(duì)存在一步隨機(jī)時(shí)滯和測(cè)量亂序的線性系統(tǒng),通過求解一組遞推離散時(shí)間黎卡提方程,提出一種新的針對(duì)無序測(cè)量的最優(yōu)估計(jì)器.文獻(xiàn)[18] 針對(duì)具有通信時(shí)延和隨機(jī)缺失量測(cè)的復(fù)雜系統(tǒng),通過設(shè)計(jì)分散輸出反饋控制達(dá)成最優(yōu)控制.由此可知,考慮系統(tǒng)測(cè)量值隨機(jī)時(shí)滯是很有必要的.

在現(xiàn)實(shí)生活中,各類系統(tǒng)中的傳感器往往不能夠完全測(cè)量出系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)值,因此對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問題的研究是具有重要現(xiàn)實(shí)意義的.并且隨著當(dāng)今社會(huì)信息化、智能化程度越來越高,如何對(duì)各類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)進(jìn)行較為準(zhǔn)確的估計(jì)已經(jīng)成為眾多學(xué)者所探索的難題[19–22].在過去網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)和信息通信量較小時(shí),網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計(jì)問題常常使用集中式方法解決.在集中式狀態(tài)估計(jì)中,由于網(wǎng)絡(luò)中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都能夠獲得除自身外其他所有節(jié)點(diǎn)的觀測(cè)信息來進(jìn)行最優(yōu)估計(jì),這就保證系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都能更為精確地對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì).由于擁有估計(jì)精準(zhǔn)度高的優(yōu)點(diǎn),如今集中式狀態(tài)估計(jì)的方法仍廣泛應(yīng)用于各類網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)中,如在電力系統(tǒng)中利用間歇終端數(shù)據(jù)并采用聯(lián)合擴(kuò)展卡爾曼濾波器對(duì)發(fā)電裝置進(jìn)行集中式動(dòng)態(tài)估計(jì),得到較好的仿真效果[23].盡管集中式狀態(tài)估計(jì)在最優(yōu)性上有著不可比擬的優(yōu)勢(shì),但隨著各類系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度越來越高,信息通信量也呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng),集中式狀態(tài)估計(jì)方法效率低下等弊端日益凸顯.因此針對(duì)各類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),如何設(shè)計(jì)魯棒性更強(qiáng)、效率更高的分布式狀態(tài)估計(jì)方法成為目前的研究熱點(diǎn).針對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生切換的復(fù)雜系統(tǒng),文獻(xiàn)[24-25] 給出估計(jì)誤差均方有界的估計(jì)策略.分布式狀態(tài)估計(jì)方法還在應(yīng)對(duì)節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障或系統(tǒng)模型發(fā)生參數(shù)攝動(dòng)等常見的問題時(shí)有著較強(qiáng)的適應(yīng)性[26],即使對(duì)帶有不確定性的非線性系統(tǒng),分布式估計(jì)也能達(dá)到較好的估計(jì)效果[27].針對(duì)存在測(cè)量時(shí)滯的各類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[28],如何為其設(shè)計(jì)精準(zhǔn)的分布式狀態(tài)估計(jì)器也是亟需研究的重要問題之一.

結(jié)合上述討論分析,本文主要研究存在隨機(jī)測(cè)量時(shí)滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分布式狀態(tài)估計(jì)問題.本文的創(chuàng)新性總結(jié)如下:

1) 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型設(shè)計(jì)狀態(tài)預(yù)測(cè)器,并得到狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差.通過楊氏不等式解決節(jié)點(diǎn)之間狀態(tài)的耦合問題,基于矩陣跡范數(shù)和配方法給出楊氏不等式引進(jìn)參數(shù)的最優(yōu)值.與現(xiàn)有文獻(xiàn)[25] 沒有優(yōu)化楊氏不等式引進(jìn)參數(shù)的情況相比,有效地降低了狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差.

2) 基于存在一步隨機(jī)時(shí)滯的測(cè)量值,設(shè)計(jì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的分布式狀態(tài)估計(jì)器.采用配方法設(shè)計(jì)使估計(jì)器性能最優(yōu)的增益,得到相應(yīng)的狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差.與文獻(xiàn)[24]不同,通過與優(yōu)化后的狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差相結(jié)合,給出了狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差的迭代公式.

3) 針對(duì)所獲得的狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差迭代公式,基于估計(jì)誤差協(xié)方差向量化的方法,給出了估計(jì)誤差協(xié)方差穩(wěn)定的一個(gè)充分條件.

本文將按照以下結(jié)構(gòu)對(duì)問題進(jìn)行敘述.第1 節(jié)對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和時(shí)滯測(cè)量模型進(jìn)行描述,并設(shè)計(jì)狀態(tài)預(yù)測(cè)器與分布式估計(jì)器.在第2 節(jié)中,給出預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差和估計(jì)誤差協(xié)方差,并得到估計(jì)誤差協(xié)方差的迭代不等式.第3 節(jié)分析估計(jì)誤差協(xié)方差的穩(wěn)定性.第4 節(jié)通過數(shù)值實(shí)例分析驗(yàn)證所得算法的有效性.第5 節(jié)給出本文的結(jié)論.

注 1.本文中,Rn表示n維實(shí)數(shù)列向量集合,diag{·} 表示對(duì)角矩陣,t r(·),ρ(·) 和 v ec(·) 分別表示矩陣的跡、譜半徑和矩陣向量化,正定矩陣(半正定矩陣)M,記為M ?0(0).P{·} 表示隨機(jī)變量的概率,E {·} 表示隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,上標(biāo)“-1”表示矩陣的逆.A ?B表示矩陣A和矩陣B的克羅內(nèi)克積.In代表維度為n的單位矩陣.||x||表示向量x的歐幾里得范數(shù).

1 問題描述

1.1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)描述

本文考慮如下由N個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

其中,xi,k ∈Rn,zi,k ∈Rm分別表示復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)在k時(shí)刻的狀態(tài)向量和測(cè)量向量;ωi,k ∈Rn和υi,k ∈Rm為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)均值為0 的高斯過程噪聲和高斯測(cè)量噪聲.Ai,Bi是具有適當(dāng)維度的已知矩陣.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系由有向圖(V,E,Ψ) 描述,其中V表示節(jié)點(diǎn)的集合,E表示邊的集合,Ψ=[Ψij]N×N為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外耦合矩陣,Ψij >0(i≠j)表示節(jié)點(diǎn)Vi的信息可以傳到節(jié)點(diǎn)Vj,同時(shí)滿足 Ψii=-.Γ=diag{r1,···,rn}為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)耦合矩陣.針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) (1),給出如下假設(shè)[29-30]:

假設(shè) 1.節(jié)點(diǎn)i的過程噪聲ωi,k和測(cè)量噪聲υi,k相互獨(dú)立,它們的均值為 0,且方差分別為Qi=

假設(shè) 2.系統(tǒng)參數(shù)組 (Ai,Bi) 能檢測(cè).

假設(shè) 3.節(jié)點(diǎn)i的初始值xi,0獨(dú)立于過程噪聲ωi,k和測(cè)量噪聲υi,k,它的均值和方差分別為

1.2 時(shí)滯測(cè)量描述

由于傳感器測(cè)量存在不確定干擾,另外測(cè)量值有時(shí)需要通過無線網(wǎng)絡(luò)傳輸,因此,測(cè)量時(shí)滯成為不可避免的問題.本文考慮每個(gè)時(shí)刻接收的測(cè)量值存在最多一個(gè)步長(zhǎng)的隨機(jī)延滯,其測(cè)量模型描述為

其中,yi,k ∈Rm表示在k時(shí)刻收到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的測(cè)量值,θk是取值為0 或者1 的伯努利隨機(jī)變量,具有如下隨機(jī)特性

0

由式(3)可知,隨機(jī)變量θk的取值反映了當(dāng)前時(shí)刻測(cè)量值是否發(fā)生一步時(shí)滯.即當(dāng)θk=1 時(shí),表示當(dāng)前時(shí)刻的測(cè)量值發(fā)生一步時(shí)滯;當(dāng)θk=0 時(shí),則表示當(dāng)前時(shí)刻的測(cè)量值沒有發(fā)生時(shí)滯.

1.3 狀態(tài)預(yù)測(cè)器與狀態(tài)估計(jì)器

接下來將基于節(jié)點(diǎn)i的模型(1)和隨機(jī)時(shí)滯的測(cè)量值(2),通過設(shè)計(jì)狀態(tài)預(yù)測(cè)器和分布式狀態(tài)估計(jì)器估計(jì)節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài).該估計(jì)器k+1 時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)值和狀態(tài)估計(jì)值分別記為.

針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型(1),設(shè)計(jì)如下狀態(tài)預(yù)測(cè)方程

基于隨機(jī)時(shí)滯測(cè)量值 (2),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) (1)節(jié)點(diǎn)i的分布式狀態(tài)估計(jì)器設(shè)計(jì)為

其中,Ki,k+1∈Rn×m為節(jié)點(diǎn)i待設(shè)計(jì)的估計(jì)器增益矩陣,

注 2.本文所設(shè)計(jì)的估計(jì)器充分利用估計(jì)器鄰居的信息,這也要求各個(gè)節(jié)點(diǎn)能夠進(jìn)行信息通信,獲得相鄰節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)估計(jì)值以及狀態(tài)協(xié)方差等信息.

將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差ei,k+1|k和狀態(tài)估計(jì)誤差ei,k+1|k+1以及它們的協(xié)方差分別定義為

由復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)、狀態(tài)預(yù)測(cè)方程(5)和狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差定義(7),可以得到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差ei,k+1|k為

同理,基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)、狀態(tài)估計(jì)方程(6)和狀態(tài)估計(jì)誤差定義(7),可以得到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)估計(jì)誤差為

本文的主要目標(biāo)是針對(duì)存在隨機(jī)時(shí)滯的測(cè)量值,設(shè)計(jì)估計(jì)器增益Kk優(yōu)化估計(jì)誤差協(xié)方差.下文將會(huì)用到楊氏不等式引理.

引理 1.對(duì)于任意兩個(gè)矩陣X ∈Rn×n,Y ∈Rn×n和一個(gè)正標(biāo)量γ,則以下不等式成立[31]

2 主要結(jié)果

本節(jié)將對(duì)所設(shè)計(jì)狀態(tài)估計(jì)器的估計(jì)誤差協(xié)方差進(jìn)行分析,并求出使得狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差最小的濾波器增益矩陣Ki,k+1,進(jìn)而得出狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差的迭代式.

根據(jù)狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差的定義(7)和預(yù)測(cè)誤差方程(8),可得復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差為

同理,結(jié)合狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差定義 (7)和狀態(tài)估計(jì)誤差方程 (9),狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差為

基于狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差(11)和狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差(12),可得狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差的迭代式及對(duì)應(yīng)的最優(yōu)估計(jì)器增益如定理1 所示.

定理 1.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)中節(jié)點(diǎn)i的分布式狀態(tài)估計(jì)器增益設(shè)計(jì)為

則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1) 中節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差Pi,k+1|k+1滿足

證明.針對(duì)狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差(11)中的耦合項(xiàng),運(yùn)用引理 1 的楊氏不等式可得

同理,可得

將消去耦合項(xiàng)的不等式(16)和(17)代入狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差(11),可得

由式(18)可知,不等式右邊與變量γ1,i,k有關(guān).為優(yōu)化變量γ1,i,k,基于矩陣跡和式(18),定義如下函數(shù)

接下來,將基于式(12)分析狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差Pi,k+1|k+1的迭代公式及估計(jì)器的設(shè)計(jì).首先,根據(jù)引理 1 中的楊氏不等式對(duì)估計(jì)誤差協(xié)方差(12)中的耦合項(xiàng)進(jìn)行解耦,可得

將式(21)代入式(12),可得以下關(guān)于狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差Pi,k+1|k+1的不等式

由式(22)可知,狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差Pi,k+1|k+1可以通過設(shè)計(jì)估計(jì)器增益Ki,k+1進(jìn)行優(yōu)化,通過配方可以將式(22)轉(zhuǎn)化為

結(jié)合估計(jì)器增益(13),不等式(23)右邊可以取到最小值,即

基于狀態(tài)預(yù)測(cè)協(xié)方差(20)和狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差(24),可得式(14)所示的狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差迭代公式.

3 穩(wěn)定性分析

本節(jié)將分析第 2 節(jié)所得的估計(jì)誤差協(xié)方差的穩(wěn)定性.記預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差(18)與估計(jì)誤差協(xié)方差(22)的上界分別為 ?i,k+1|k和 ?i,k+1|k+1.采用向量化[32]方法,定義vec(?k+1|k+1)=[vec(?1,k+1|k+1)T,···,vec(?N,k+1|k+1)T]T,則根據(jù)式(20) 和式(22)可得如下線性系統(tǒng):

其中

基于以上線性系統(tǒng),估計(jì)誤差協(xié)方差穩(wěn)定的充分條件總結(jié)如下.

定理2.基于預(yù)測(cè)器(5)和估計(jì)器(6)得到的狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差Pi,k+1|k+1有界的充分條件為存在常增益矩陣集合K={K1,···,KN},參數(shù)集合γ1={γ1,1,···,γ1,N}和γ2={γ2,1,···,γ2,N},使得如下不等式成立:

其中,Ξ(K,γ1,γ2))=ΞKk+1.

證明.如果存在K={K1,···,KN},γ1={γ1,1,···,γ1,N}和γ2={γ2,1,···,γ2,N},使得式(26)成立,則由式(19)可知

進(jìn)一步,由式(13)最優(yōu)估計(jì)器增益的設(shè)計(jì)可得

基于譜半徑(28),可知向量 vec(?k+1|k+1) 是漸進(jìn)穩(wěn)定的.根據(jù)式(20)和式(23)可得

根據(jù)不等式(29),可知Pi,k+1|k+1是有界穩(wěn)定的.

4 仿真驗(yàn)證

4.1 小車耦合系統(tǒng)描述

基于文獻(xiàn)[33]中的單目標(biāo)追蹤模型,本節(jié)考慮由 4 個(gè)小車組成的編隊(duì)系統(tǒng).定義小車i的狀態(tài)為分別代表該小車在X,Y軸上的位移(m)和速度(m/s).圖1 顯示了小車信息的耦合關(guān)系,小車間的箭頭表示信息的流向.小車之間的位置與速度信息可以通過專網(wǎng)進(jìn)行交換,或者通過測(cè)量相對(duì)信息換算獲得.由小車構(gòu)成的耦合系統(tǒng)協(xié)同完成任務(wù)時(shí),一般相距較近同時(shí)采用專網(wǎng)通訊,因此本文不考慮耦合信息的時(shí)滯問題[34-35].綜上,可得系統(tǒng)(1)的參數(shù)為

圖1 小車耦合系統(tǒng)的拓?fù)銯ig.1 The topology of coupled systems consisted of vehicles

另外,考慮系統(tǒng)的采樣時(shí)間為Ts=0.1 s,參數(shù)q=0.01 m2/s3.小車之間的外部和內(nèi)部耦合矩陣為

針對(duì)以上給出的小車耦合系統(tǒng),每個(gè)小車的初始值為

圖2 給出了小車的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡.

圖2 小車的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.2 The actual motion trajectories of vehicles

4.2 狀態(tài)估計(jì)

令模型(1)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的量測(cè)矩陣為

即測(cè)量信息為小車在X,Y軸的坐標(biāo),其對(duì)應(yīng)的量測(cè)噪聲方差分別為

由以上參數(shù)可知,對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)i,(Ai,Bi)(i=1,2, 3, 4)是可觀測(cè)的.最后,設(shè)傳感器網(wǎng)絡(luò)發(fā)生一步時(shí)滯的概率為P(θk=1)=0.03.估計(jì)器的狀態(tài)初始值為

以及初始協(xié)方差為

下面將從兩個(gè)方面進(jìn)行對(duì)比仿真驗(yàn)證:

1) 沒有對(duì)楊氏不等式產(chǎn)生的變量進(jìn)行優(yōu)化[25],即楊氏不等式產(chǎn)生的變量為常數(shù),假設(shè)γ1,i,k=1,γ2,i=0.7.

為比較兩種方法的差別,對(duì)系統(tǒng)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行l(wèi)=100 次蒙特卡洛仿真,同時(shí),每次仿真的時(shí)間總和為100 s,得到平均均方誤差(Mean squared error,MSE),其定義為

表1 基于優(yōu)化和未優(yōu)化的 γ1,i,k 的上界tr(Pi,k|k)Table 1 The upper bound t r(Pi,k|k) based on γ1,i,k with and without optimization

表2 基于優(yōu)化和未優(yōu)化的 γ1,i,k 的MSE i,k|kTable 2 The MSE i,k|k based on γ1,i,k with and without optimization

圖3 優(yōu)化和未優(yōu)化的γ1,i,kFig.3 γ1,i,k with and without optimization

圖4 基于優(yōu)化和未優(yōu)化 γ1,1,k 的第1 個(gè)節(jié)點(diǎn)的估計(jì)誤差協(xié)方差上界的跡和MSEFig.4 The trace of upper bound of the estimation error covariance and the MSE of the node 1 based on γ1,1,k with and without optimization

圖5 基于優(yōu)化和未優(yōu)化 γ1,2,k 的第2 個(gè)節(jié)點(diǎn)的估計(jì)誤差協(xié)方差上界的跡和MSEFig.5 The trace of upper bound of the estimation error covariance and the MSE of the node 2 based on γ1,2,k with and without optimization

圖6 基于優(yōu)化和未優(yōu)化 γ1,3,k 的第3 個(gè)節(jié)點(diǎn)的估計(jì)誤差協(xié)方差上界的跡和MSEFig.6 The trace of upper bound of the estimation error covariance and the MSE of the node 3 based on γ1,3,k with and without optimization

圖7 基于優(yōu)化和未優(yōu)化 γ1,4,k 的第4 個(gè)節(jié)點(diǎn)的估計(jì)誤差協(xié)方差上界的跡和MSEFig.7 The trace of upper bound of the estimation error covariance and the MSE of the node 4 based on γ1,4,k with and without optimization

5 結(jié)束語

本文研究了一類存在一步時(shí)滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分布式狀態(tài)估計(jì)問題,并采用伯努利隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)變化的時(shí)滯情況.本文分別設(shè)計(jì)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)預(yù)測(cè)器和分布式狀態(tài)估計(jì)器.基于楊氏不等式消除了耦合項(xiàng),基于跡范數(shù)結(jié)合配方法優(yōu)化了狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差.通過采用楊氏不等式和設(shè)計(jì)估計(jì)器增益,獲得了狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差,同時(shí)基于預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差,獲得了狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差的迭代公式.本文給出了估計(jì)誤差協(xié)方差穩(wěn)定的一個(gè)充分條件,通過一個(gè)由小車組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)估計(jì)器的有效性.