多階分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程的譜延遲校正法

摘要：分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程（FDDEs）在物理、生物等眾多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。針對(duì)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程（FDDEs），創(chuàng)造性地提出并應(yīng)用譜延遲校正法（SDC）作為解決方案，構(gòu)建一種基于雙網(wǎng)格的 Legendre 延遲校正譜方法。引入雙網(wǎng)格技術(shù)，對(duì)時(shí)間和空間離散進(jìn)行優(yōu)化處理，同時(shí)結(jié)合Legendre 多項(xiàng)式進(jìn)行譜延遲校正，大幅提升求解精度。制定預(yù)測(cè)步驟和校正步驟進(jìn)行詳盡誤差分析。預(yù)測(cè)步驟以初步逼近的方式為解提供初始估計(jì)，通過校正步驟進(jìn)一步細(xì)化解的近似，從而顯著提高整體數(shù)值精度。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，雙網(wǎng)格 Legendre 延遲校正譜方法在處理分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程時(shí)成效卓著，極大地提高了精度，充分驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。

關(guān)鍵詞：多階分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程；雙網(wǎng)格譜延遲校正法；誤差分析

中圖分類號(hào)：O 242 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

近年來，分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程（FDDEs）在流體流動(dòng)、力學(xué)、化學(xué)、工程以及生物科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，用以描述各種復(fù)雜現(xiàn)象。這類方程的研究吸引了大量科研工作者的關(guān)注[1-2]。由于分?jǐn)?shù)階偏微分方程通常難以獲得精確解，解決這些問題仍然具有相當(dāng)大的挑戰(zhàn)性。盡管如此，已有一些有效的數(shù)值方法用于處理此類問題。例如，Rahimkhani 等[3] 提出了基于廣義分?jǐn)?shù)階Bernoulli 小波的數(shù)值方法；Shi 等[4] 構(gòu)造了一類用于求解分?jǐn)?shù)階微分方程的運(yùn)算矩陣方法；Wang 等[5] 開發(fā)了一種基于變換的切比雪夫多項(xiàng)式的數(shù)值技術(shù)，用于處理具有變系數(shù)的廣義FPDE，以描述復(fù)雜現(xiàn)象，這也進(jìn)一步引起了科研工作者的關(guān)注[1-2]。最近，Guo 等[6] 將切比雪夫排序方法成功應(yīng)用于FDDEs。 然而，關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程（ FDE） 的譜延遲校正方法（ SDC） 的研究仍然較少。Lin 等[7] 提出了針對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的SDC方法，并在文獻(xiàn)[8] 中給出了階有限差分法的預(yù)測(cè)校正迭代的收斂速度推導(dǎo)，針對(duì)部分非均勻網(wǎng)格進(jìn)行分析。然而，關(guān)于整個(gè)SDC 方案的收斂速度，尚缺乏嚴(yán)格的理論分析。