資源約束下基于改進傳統SEIR 模型的傳染病傳播網絡建模研究

摘要：為了進一步厘清傳染性疾病的傳播脈絡，針對傳染病突發性、意外性、群體性等特征，提出了一種基于元胞自動機，考慮人口數量變動且應急救援物資數量影響動態接觸率的SEIRD 疫情傳播網絡模型，以克服傳統動力學傳播模型SIR 和SEIR 的不足。首先，通過數據分析，構建應急物資數量及人口密度相關的接觸率函數，建立動態SEIRD 傳染病傳播模型。其次，基于最小二乘估計最優化算法及迭代的四階龍格–庫塔法對模型中的未知參數進行估計。再次，利用LSODA 算法進行隱式數值積分運算來求解常微分方程組的數值解，通過求解出的參數值建立元胞演化規則并將傳染病的傳播趨勢以基于元胞自動機的方式進行展示。最后，采用2020 年2 月1日—4 月1 日中國湖北省新型冠狀病毒肺炎感染數據，對傳染性疾病傳播網絡進行數據預測及模型驗證。通過設置模型相關參數，展示傳染病傳播過程并將其傳播趨勢可視化，并對模型參數進行靈敏度分析。預測結果顯示，動態SEIRD 模型預測結果有效。

關鍵詞：傳播網絡；應急物資；元胞自動機；計算機模擬；傳播動力學

中圖分類號：TP 391.9 文獻標志碼：A

傳染性疾病持續威脅著人類健康，對非自然死亡率造成顯著影響。特別是在當今全球化背景下，人口的持續流動、交通運輸方式的發展及運載能力的增加，擴大了傳染病的傳播范圍。因此，深入研究傳染病的發病機制、傳播路徑及其特征具有至關重要的意義，有助于制定和改進有效的干預措施，更好地理解傳染病的傳播趨勢，預測未來發展，并為應對疫情提前制定策略。

近年來，許多學者在傳染病傳播動力學方面展開大量的研究工作。Wang[1] 在傳染病動力學模型SIR 中采用閾值策略，提出線性分段式治療函數，考慮到治療能力具有閾值。當感染者人數低于閾值水平時，治療率與感染人數正相關；當感染者人數超出閾值，治療率為恒定值k。郭淑利等[2]構造了一類SEIS 模型，探究線性分段式治療函數對傳染病傳播過程的影響。結果證明，在特定情形下（例如醫療資源有限），該動力學系統存在雙穩性，表明在初始人口規模不同的情況下，傳染病流行會趨于不同的結果。雷錦志等[3] 參考傳統的SEIR 模型，建立了由N 個個體之間相互接觸組成的IBM 復雜網絡來描述傳染病傳播的各狀態轉換過程。倪莉紅等[4] 模擬了無疫苗干預、自愿或常規接種疫苗等5 種情境下，不同的免疫策略對水痘發病的遠期影響。王曉靜等[5] 構建了傳染病動力學模型，并結合印度傳染病數據模擬出不同隔離力度可以有效阻止傳染病傳播。

為了使傳染病模型更貼近實際，賀明峰等[6]根據SARS 病毒的傳播特性，基于元胞自動機模擬病毒在人群中的傳播。討論了當初始人群規模一定時，傳染病在人群中傳開所需要的初始感染者人數。鐘南山院士團隊的Yang 等[7] 利用SEIR 模型結合人工智能方法預測傳染病傳播高峰和趨勢。張麗娟等[8] 構建以GIS 為基礎的疫情傳播系統，模擬感染者隨機接觸易感者時傳染病的傳播情況，分析了感染率和疫苗接種比例變化對疫情傳播的影響。汪婧等[9] 將感染人群細分為輕度感染者、重癥感染者、危重癥感染者及無癥狀感染者4 類，考慮4 種不同人群各自的傳播率，分析不同癥狀的感染者傳播率對總體傳染病傳播趨勢的影響。李昊等[10] 將傳染病模型分為決定論模型和網絡式動力學模型，并將決定論模型進一步細分為機理學模型，來分析傳染病傳播過程機理， 進行傳染病仿真及預測。丁瑩等[11] 基于Agent 智能體復雜網絡和地理信息系統GIS 分析武漢市傳染病傳播規律，模擬復工后核酸檢測措施下傳染病的空間分布特征及傳播狀況。

為了討論不同因素對傳染病傳播的影響，侯祥等[12] 分析了針對5 個城市不同氣象因素和蚊蟲密度對登革熱流行的影響，探討降雨量及氣溫變化對蚊媒種群及其對廣東省登革熱傳播的影響。王燕等[13] 在傳統傳染病動力學模型中加入改進的無標度網絡，討論易感個體比例及個體重視度對傳染病傳播的影響。陳鈺書等[14] 在流行病傳播模型中引入了非馬爾可夫過程，考慮歷史狀態和其他因素研究旅途中的傳染病傳播及恢復過程。薛山等[15] 構建了以城市通勤為主的人口流動空間因素，將不同人口流動方式與SEIR 模型結合，應用于長沙市HFMD 傳播研究。王俊嶺等[16] 在動態演化的SEIRS 模型中，考慮網絡節點數量因素，借助赫爾維茨定理分析傳染病傳播平衡點，計算不同時間節點的有效再生數。李馮等[17] 在傳統SEIR模型基礎上，引入無癥狀感染狀態，提出SCUIR模型，刻畫傳染病的傳播過程。何青松等[18] 使用APCA 近鄰傳播聚類的方法模擬城市內傳染病擴散，改進了城市空間的模擬精度。

在國際上，傳染病傳播動力學的研究也取得了顯著進展。Bj?rnstad 等[19] 介紹了SEIRS 模型，作為SIR 模型的擴展，預測潛伏者人群（E） 和傳染者人群（I） 最終將穩定在地方性平衡狀態，并討論了延長免疫持續時間對傳染病流行軌跡的影響。Annas 等[20] 基于登革熱、結核病、糖尿病、HIVAIDS和COVID-19 等疾病的數學建模，證明SEIR模型在理解和預測傳染病傳播方面的相關性，并通過穩定性分析和數值模擬，研究了COVID-19 在印度尼西亞的傳播。Li 等[21] 探討了具有垂直傳播的SEIR 模型，分析了垂直傳播對基本繁殖數量的貢獻。Biswas 等[22] 考慮了構建控制措施限制情況下的SEIR 模型，分析模型解的存在性和無病平衡的穩定性，為研究傳染病傳播提供框架。Lekone等[23] 開發了一個隨機SEIR 模型，用于估計剛果共和國埃博拉疫情每日發病率和死亡率，并采用隨時間變化的傳輸速率函數捕捉干預效果。

上述傳染病傳播研究通常基于許多假設，例如討論有限范圍內傳染病傳播的趨勢或假定初始人群總數固定。這些艙室模型使用離散時間步驟，可能無法準確捕捉傳染病的動態變化，并且假設接觸率固定，難以反映不同時間段的變化。傳統SEIR 模型缺乏一些現實因素的細節，如人口流動、空間差異和干預措施的影響，且通常假設傳播參數固定，難以反映疾病傳播過程中的動態變化，同時僅考慮4 個主要人口類別，缺乏多樣性。由于人類社會的非線性和復雜性，這些假設會模糊真實傳播過程。實際情況可能包括人口自然增長率和應急物資供應對傳染病發展的影響。因此，模型的適用性和準確性可能受到限制。

基于上述存在的問題，本文對傳統SEIR 模型的不足進行優化。考慮人口出生率和死亡率，并將應急物資供應納入模型，構建與人口密度相關的接觸率函數，提出了動態SEIRD 模型，以更生動地模擬傳染病傳播過程。引入動態接觸率可以更好地反映不同干預措施的影響，如應急資源的運送，對傳染病期間資源分配的合理規劃起到促進作用。結合最小二乘估計和四階龍格–庫塔算法估計模型中的未知參數，提高模型精度。采用LSODA 算法進行隱式數值積分運算，得到傳染病傳播特征的數值結果。基于求解出的參數值，建立元胞演化規則，通過元胞自動機直觀展示傳染病傳播路徑、速度和影響范圍。相比傳統SEIR 模型，本文模型提供更高的時空分辨率和預測準確度，可以模擬復雜情境，更準確地預測傳染病的傳播趨勢，為制定防控策略提供科學依據。

1 動態SEIRD 傳染性疾病傳播仿真模型構建

SEIR 作為一種經典的傳染病動力學模型，將傳染病流行范圍內的人分為4 類，通過不同的感染率、康復率等實現4 類人群的互相轉化。考慮到傳染病的類型及嚴重程度不同，且存在一定致死率的情況，本文對SEIR 模型進行了狀態改進，增加了死亡人群這一群體，使其調整為SEIRD 模型。更新后的SEIRD 模型將傳染病流行區域內的人群分為5 類：易感人群、潛伏期人群、感染人群、免疫康復人群和受感染后死亡人群，可以描述存在爆發期、傳播高峰期和衰退期的傳染病類型。這種分類考慮到康復和死亡的情況，能夠更準確地描述傳染病的影響和結果。本模型包含潛伏期，該特征對于一些傳染病非常重要，因為潛伏期的人員也有可能傳播疾病，需要進行有效的預測和控制。且模型將康復者視為具有免疫力的個體，不容易再次感染，對于研究和評估群體中產生免疫力的過程及免疫對傳播過程的影響非常重要。模型中各類人群按照一定的概率進行轉化，可以更準確地分析傳播過程中的變化趨勢。考慮到人口自然出生率和自然死亡率，結合一定地區內傳染病應急物資數量影響接觸人數進而計算出接觸率變動的動態模型，可以更加動態地計算出準確的模型參數，提高模型的可信度。