一道三角形面積最值問題的探究與思考

［摘" 要］ 如果學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)問題中，代數(shù)形式的表象和幾何直觀的深層次含義建立起聯(lián)系，就能夠加深對所求問題的認(rèn)識和理解，達(dá)到用“直觀”的眼光看問題的目的.文章通過探究一道三角形面積最值問題的解法，來分析一類最值問題的簡解方法和命制手法.

［關(guān)鍵詞］ 三角形；最值；直觀想象

試題及解法探究

原題展示 已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c·cosB+b·cos（A+C）=0，BD是AC邊上的中線，BD=3，求△ABC面積的最大值. （為方便分析，設(shè)S△ABC=S）

考查意圖 本題以中線長為定值的等腰三角形為載體，研究解三角形中的面積最值問題，考查三角形的邊、角、面積之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，以及學(xué)生邏輯分析、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng). 本題簡潔而內(nèi)涵豐富，給解題者數(shù)學(xué)美的感受.

命題思考

方法4揭示了命制本題的幾何模型，即以斜邊已知的直角三角形和外接圓為載體命制本題. 從構(gòu)造隱形圓出發(fā)，本題可按照以下方式進(jìn)行變式.

變式題1 利用圓的定義，構(gòu)造隱形圓.

教學(xué)反思

數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科，幾何特征往往被抽象的代數(shù)所掩蓋，幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系常常處于分散狀態(tài)，很難直接看到，需要用想象、抽象、組織和聯(lián)系的思維方式去觀察、發(fā)現(xiàn)和概括.

史寧中先生提出：“數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.”這樣的目標(biāo)不是哪個(gè)教師能在短時(shí)間內(nèi)教出來的，而是學(xué)生在探究一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題的過程中逐漸領(lǐng)悟出來的，是長期活動經(jīng)驗(yàn)的積累.

基金項(xiàng)目：廈門市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度立項(xiàng)課題“基于核心素養(yǎng)提升的數(shù)學(xué)高考試題測評研究”（22163）.

作者簡介：徐云龍（1996—），本科學(xué)歷，中學(xué)二級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.