以APOS理論為基礎的高數極限概念教學實踐分析

殷 月

（錦州師范高等專科學校，遼寧 錦州 121000）

APOS理論主要針對數學概念模型的學習方法而提出。數學概念不是單一片面的某種定義或規律的解釋，而是通過心理認知及邏輯推演，在大腦中形成動態的數學模型，在心理上構建學生對數學概念的理解架構。APOS 理論主要包括活動、程序、對象、圖式等建構過程。通過解決問題的情境，即圖式結構，達到深入理解數學概念及學習提升的目的。

深入解讀APOS 理論時要結合數學概念的特點，在理解某個數學概念前通過主動建構與設計后形成活動。活動通過內部化作用演變為程序，然后經過壓縮形成可應用新活動的對象，也可通過反壓縮的效應形成所需的程序，以圖式的方式呈現其組織活動、形成程序及對象的過程。APOS 理論的流程為活動—程序—對象—圖式等。在實際APOS理論教學或學習應用中需強調其階段性，減少不必要的學習意識形態局限，靈活調度各個階段的思維認知，理解與掌握數學概念。因此，作為一種學習理論、教學方法，APOS 理論的應用表現為各階段明確、靈活、調整、創新。

一、高數極限概念教學現狀分析

（一）教材編排順序和教學大綱要求分析

現階段，我國高校高數教學由以往的理論性逐步向實踐性轉型，極限概念作為高數的重要內容，其關鍵性不言而喻。學好極限概念對于后期的微積分知識掌握至關重要。極限概念主要包括數列極限、函數極限。針對高數教材編排順序及教學大綱要求進行分析，要使學生熟練地掌握極限概念需經過三個階段的鞏固提高，包括數列極限（n→∞，an→A）、變量極限（x→a）、函數極限（x→a，f（x）→b）。數列極限是重要的基礎環節，是極限概念的初期掌握階段，在該階段要根據教學大綱合理設計，幫助學生打下良好基礎；變量極限是極限概念學習的過渡內容，起到銜接基礎與高階的作用，此階段教學要提高學生對極限概念的應用能力；函數極限是關鍵核心階段，教師需根據教學大綱要求，通過信息化建模提升極限概念的生活化、實操性。因此，在整個教學過程中要按照教材編排逐層設計教學內容，強化基礎知識，提升高階應用能力。

（二）極限概念抽象難度的邏輯分析

在極限概念學習上學生會遇到諸多問題，其中最為嚴重的便是極限概念的抽象性。抽象性在實際教學中很難通過一種有效的方式解決。調查發現，多數學生在學習高數極限概念時往往思維模糊，對概念的抽象定義不明確，無法形成完整且客觀的抽象模型，無窮小量的“似零非零”需要從實無限、潛無限的辯證觀念進行解讀，但當下教師所采用的描述語言過于模糊，無法將極限概念進行客觀定性，學生學習過于盲從。在極限概念的掌握學習中一定要反復體驗、循環上升。目前教師在實際教學中采用逐層設計的方式，通過定義形式、關系明確、表明關系、成立條件等層次教學，將以往教學中的“一句話”定義概念進行不斷地層次驗證，形成過程化的概念推演，讓學生更為立體、客觀地掌握極限概念。

（三）極限概念三元指標分析

通過對極限概念三元指標觀察發現，極限概念由“過程”到對象的轉變相對復雜。采用抽象度分析方式，在學習此概念時，需要從原有認知結構中同時激活多個相關概念，包括數列、自然數、距離、不等式、ε的任意性和確定性、N的存在性和不唯一性等，信息量遠遠超過了短時工作記憶的容量，而且ε的任意性和確定性、N的存在性和不唯一性又是學生原有認知結構中所未有的，這就大大影響了整合的速度。從這個意義上說，當前數列極限概念教學中主張預先補課、分散難點、各個擊破的方式是合理的。

二、數學概念學習特點及心理表征

（一）數學概念學習特點

分析數學概念的學習特點，便于掌握學生的學習心理及特點。首先，學生數學概念學習存在盲從特點。數學概念的客觀性、立體性較弱，概念學習中需通過思維塑造或邏輯架構的方式推演概念，在推演過程中學生的自主性、創造性不足，只能按照教師的指導思路學習，盲從性嚴重導致其數學概念的學習效果不佳。其次，學生在數學概念學習中注重理論講解、忽視邏輯抽象。學習過程中學生只是根據教師對概念的言語描述對其定性，單從文字及言語上很難全面深入掌握數學概念。學習中學生的概念邏輯、概念抽象的分析創造能力偏低，無法設計概念模型，不能明確概念性質，造成數學概念的系統掌握不足。

（二）數學概念學習的心理表征

數學概念學習的心理表征是指學生在學習數學概念中表現的心理狀態、行為動作，體現學生對數學概念學習的基本認知及實際情況。首先，學生對數學規律、概念變化的演變性存在排斥心理。以高等數學的極限概念為例，從定義解讀上雖然可快速掌握極限概念，但在實際應用與解題過程中很難掌握極限概念的變化規律、靈活適用。學生對極限概念的適應心理依然停留在靜態的概念描述上，而非動態的數學規律變化及概念延展應用，導致在學習中產生恐懼心理，不利于對極限概念的深入掌握。其次，學生在學習數學概念過程中畏難心理嚴重。畏難心理是指在學習極限概念中出現的不解、不惑或困境等問題，無法通過建模的方式將概念進行演變，在解題中不能融合概念的拓展性，導致概念應用過于片面、思維邏輯過于單一，簡單地認為數學概念就是一種基礎的數學規律及定理描述，無法解決問題造成畏難心理出現。再次，學生在學習數學概念時缺乏“過程心理”，更多為“結果心理”，不能從活動、程序、對象、圖式的層面入手，將極限概念的學習過程、學習階段進行思維設計，而是更多地注重概念的論證結果，造成對極限概念的表層了解而非深度掌握。

三、基于APOS 理論的高數極限概念教學實踐

（一）指導思想

在本次教學實踐設計中，以“育人、創新”為指導思想，根據高等學校數學教學大綱，立足培養實踐數學人才的標準，認真貫徹中央提出的“立德樹人”指導思想，探討將APOS 理論應用在高數極限概念教學中的可行性、重要性和方法性。根據APOS 理論在概念學習中的四個階段進行設計，明確本次教學的重點及難點，并將極限概念的實效性、應用性、生活化進行體現，減少過度的形式設計與繁雜內容，提升本次教學設計的有效性。幫助學生養成良好的學習習慣，形成自主分析與探究的主觀意識，在極限概念學習中不再盲從，而是客觀地分析極限概念的規律，掌握建模技術。同時，利用APOS理論消除學生的畏難心理，改變其心理表征，引導學生形成過程化的學習思維，在極限概念掌握上不再注重表面，而是剖析極限概念的深度，提高極限概念教學質量［1］。

（二）教學原則

第一，主體性原則。本次教學設計中確定學生為認知主體，根據生本教育及“以人為本”的指導思想，要讓學生積極參與到本次教學活動當中。在整個過程中，教師為學生設計有序、趣味、多元的數學構建活動，為學生提供良好的學習環境，將極限概念進行情境構建，讓學生自由開放地感受其中，引導學生自主理解、自主分析、互動交流及認真評價，并將極限概念知識運用到生活實踐當中。

第二，適應性原則。在教學實踐開展中，更加注重學生的適應性。多數學生對APOS 理論了解不深，對其內涵掌握不足，在極限概念學習中思維與認知很難快速轉變。因此，在學生傳統思維及過往經驗的基礎上，可采用概念引導、過程設計的方式，讓學生逐步逐層地適應APOS理論的運用實踐。在傳統經驗及認知思維上鞏固創新，幫助學生獲得新的學習能力、思維認知。

第三，個性化原則。本次教學實踐設計采用自由開放的方式，提高學生的學習自主性、興趣引導性。學生可根據自身的經驗、學習能力、興趣、個性特征等，自主選擇學習內容、學習方法，通過APOS理論激發學生對極限概念及應用的學習興趣［2］。

（三）學情分析

第一，學生對極限概念的性質、內涵等掌握不足、了解不深，多數學生還處在極限概念的基礎階段，對極限規律及拓展知識了解不深，不能全面、系統地開展學習，對概念的運用不足，只能從理論層面解讀。因此，針對多數學生的實際情況，采用APOS理論，鞏固學生對極限概念的深度掌握，讓學生在日后學習與解題中更好地運用極限概念。

第二，學生對數學概念的認知較弱，對數學規律的掌握不足，整體數學素養偏低。通過對班級學生的學情分析發現，學生的數學概念認知較差，雖然多數學生掌握極限概念，也可通過語言描述的方式對其定性，但對概念的邏輯性、拓展性、變化性認知不夠。只有少數學生可以利用極限概念解決問題，多數學生無法掌握數學規律，數學素養偏低，在實際學習中形式大于實效。

（四）教學案例

教學實踐以高等教育出版社出版的《高等數學》第七版（上冊）作為教材，依據APOS 理論運用在極限概念的教學要求，通過信息化教學模式，以數列極限為例，開展完整教學設計。

1.極限概念學習資源設計

本次教學設計以APOS 理論為主，利用信息化數學教學模式，提升學生對極限概念的立體掌握，制作相應的APOS理論信息化極限概念教學PPT，并通過移動終端與App實現線上+線下的學習模式（見圖1、圖2）。

圖1 極限概念學習模式

圖2 基于APOS理論的極限概念教學模式

2.活動階段——分析有關概念，構建數列極限初步認知思維

思考一：寫出下列數列的通項公式并思考，當以下數列的項數無窮大時，該數列是否無限趨近于一個常數；若是，寫出這個數，若不是請說明理由。

（2）3，5，9，17，33，65.......

（3）0，1，0，1，0，1.......

設計目的：對中學階段的數學概念進行回顧，主要涉及數列的概念，特殊的數列，有界數列、無界數列，單調遞增數列、單調遞減數列，子數列的概念等，為數列極限的內涵了解及掌握奠定基礎。

然后，教師利用信息化PPT演示，講解極限概念的演變歷程，如劉徽求圓周率精確值的“割圓術”；牛頓和萊布尼茲創立微積分時關于無窮小量的討論產生了第二次數學危機之后，極限概念的描述性定義的缺陷凸顯，外爾斯特拉斯給出了極限概念的形式化定義消除第二次數學危機等，體現極限概念的直觀性，描述一種無限接近的數學思想［3］。

設計目的：主要從數學發展的視角對極限概念的背景、思想等進行回顧，提升學生對極限概念的感性認知，將語言的描述性與符號性進行明確，讓學生的數學思維在不斷抽象的變化中得到練習，讓學生感受到最為直觀的極限觀，了解極限是一個無限逼近的過程［4］。

3.程序階段——講解數列極限定義與幾何含義

思考二：第一次畫出一個邊長為1的正方形，第二次在第一次畫出的正方形的左上方與右下方畫出邊長為的正方形，以此類推，請問最后階梯會變成什么樣子？它的面積是多少？（見圖3）

圖3 思考二案例

觀察圖3后發現，畫到最后會變成三角形，對該情況如何通過數學概念進行刻畫呢？這種無限接近的效果需如何描述呢？假如你正在奔跑，要追上前面的人需要怎么辦呢？等你逐漸接近他時，你會與他的距離越來越近，也就是“你們之間的距離足夠小，無限接近0”［5］。

設計目的：主要是讓學生結合生活領悟感受極限概念中“無限逼近”的思想。

思考三：掰粉筆，第一次掰一半，第二次掰剩下的一半的一半，直到粉筆小于0.01mm，你能否完成這項游戲？

設計目的：引導學生體驗及分析“無限”的本質，即無法達到，如確定一個標準，該無限過程可判定為有限，故此引出“數列極限”的概念。

先確定一個標準?ε＞0，總會存在某個時刻N（?N＞0），當n＞N時，達到標準（|an-a|＜ε），設{an}為一數列，如果存在常數a，對于任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當n＞N時，不等式|an-a|＜ε均成立，那么就稱常數a是數列{an}的極限，或者稱數列{an}收斂于a，記為an→a（n→∞）；如不存在該常數a，就說明數列{an}沒有極限，或者說數列{an}是發散的，習慣上也說不存在。幾何解釋如圖4所示。

圖4 數列極限幾何解釋

從N項之后，每一項都在領域U（a，ε）內。

4.對象階段——采用數列極限的定義證明

設計目的：幫助學生展開思考，并找到其關鍵點，找出一個N，該N與ε緊密相關。借此對如何運用數列極限定義進行講解，闡明該數列極限的證明方法。

證明思路：從|an-a|分析n＞φ（ε），取［φ（ε）］，則當n＞N時，就是|an-a|＜ε。

思考四：請同學們思考為什么要對找到的N取整？

設計目的：讓學生明白，N是正整數，取整是取φ（ε）的整數部分，假設φ（ε）為3.7，取N=［3.7］=3，即n＞3，那么N從第4 項開始取值，可知4＞3.7，表明該“數”的整數部分顯然大于這個數，因此對φ（ε）取整是非常關鍵的。

5.圖式階段——梳理數列極限概念的知識

數列的極限概念思維導圖如圖5所示。

圖5 數列的極限概念思維導圖

（五）教學策略

1.豐富感性素材，加速“活動”到“過程”的自動化進程

在極限概念的教學開展中，教師需注重素材的感性化。感性化的素材是指能夠拓展學生極限概念思維的學習元素。數學概念的學習強化學生思維活動的引導，極限概念教學中，教師利用APOS理論，按照教學大綱開展教學活動，加速“活動”到“過程”的自動化進程。活動到過程是思維轉變的關鍵環節，教師可結合趣味教學法，將繁雜的數學概念進行簡化，通過感性素材的應用，增加課堂學習的互動性、數學信息模型的融合性，如利用數學歷史發展及數學思想的演變故事，將數學史中關于極限的趣味元素植入，拉近與學生之間的距離，讓學生認識到極限出現與發展的形成過程、重要性等。如戰國時期《莊子·天下篇》中截杖問題“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”等，無不閃現出極限思想的光輝。《莊子·天下篇》中的截杖問題，為什么會“萬世不竭”呢？每天剩留量是多少呢？可以利用無窮數列的方式解決，讓學生對極限概念更加深入了解［6］。

2.選擇合理創設情境，在“過程”到對象的過程中獲得充分的體驗和反思

在極限概念教學中，情境設計與環境創設也同樣重要。合理的情境創設能讓學生在“過程”到對象的過程中獲得新的體驗感受，并培養反思意識。高數中的極限概念更加注重生活化、有效性，諸多生活問題與極限概念緊密關聯。APOS理論注重“過程”到對象的思維拓展及創新能力培養，教師在教學設計中可利用信息化技術關聯生活實踐，讓學生通過角色扮演的方式參與其中，切身體驗“無窮大、無限接近”的極限概念，讓學生在極限概念學習中養成良好的總結習慣及不足反思［7］。

3.綜合函數極限概念的集合包容，促進對象到圖式的系統化進程

極限概念教學中更好地反映出函數極限、數列極限尤為關鍵。極限概念在邏輯思維上具有統一性，APOS理論也提出通過一種項目的過程演變，培養學生的極限概念綜合思維。在實際教學中，教師需將數列極限概念納入函數極限概念當中，函數極限概念具有較大的延展性，在“無窮大、無限接近”上更能體現其變量關系。高數課程內容中函數占比較大，重要性明顯，函數在極限描述上更加客觀精確、多元豐富。APOS理論強調對象到圖式的系統化轉變，圖式中要體現本次教學的重點及概念解讀，要將數列極限與函數極限進行融合，通過函數關系的圖式表現數列極限概念，提升數列函數的立體性、層次感。另外，在極限概念教學中，圖式要反映出綜合知識點，數列極限的表現可通過簡單的函數圖像呈現，加深學生對極限概念的了解。

本研究通過對以APOS理論為基礎的高數極限概念教學實踐進行研究，強化APOS 理論下對學生極限概念運用能力的培養，利用APOS 理論與信息技術構建完善的高數極限概念教學體系，從不同層面對高數極限概念教學設計的可行性、重要性、策略性進行闡明，提升極限概念教學的引導性與創新性。目前APOS理論在高數極限概念教學實踐中逐漸推廣應用。“立德樹人”指導思想要求培養學生對極限概念的領悟體驗、探究能力及實踐運用，通過APOS理論，綜合信息技術創新極限概念教學內容，立體客觀、多元豐富地展現極限概念，規避以往的建模局限與思維屏障，拓展學生的高數極限概念學習思維。