嵌套陣的疏密子陣融合波達方向估計方法

王娜, 趙宣植, 劉增力, 侯書畫

(昆明理工大學 信息工程與自動化學院, 云南 昆明 650504)

波達方向估計是陣列信號處理領域的一個研究熱點,測定信源方向不僅是實現目標定位乃至跟蹤的基礎,還能為接收端信號增強提供支持,其應用廣泛,涉及雷達、聲吶、無線通信等諸多領域[1-3]。稀疏線陣在分辨率和自由度方面都優于傳統的最小間距均勻線陣,因而受到研究者的持續關注。較早提出的稀疏陣包括最小冗余陣[4]和最小空洞陣[5]。近年來,嵌套陣[6]和互質陣[7]的提出,使得眾多改進陣型及適用于稀疏線陣的波達方向(direction of arrival,DOA )估計算法應運而出[8-11]。

現有稀疏線陣從幾何結構可分為2類:1)由均勻線陣疊加而成,配置規則簡明,互質陣、嵌套陣及幾種改進陣列[6-9]均屬于此;2)配置規則需復雜算式求解陣元位置,如最大陣元間距約束(maximum inter-element spacing constraint, MISC)陣列、緊耦合天線陣列(tightly coupled array,TCA)[10-11]等。幾乎所有稀疏線陣都可以使用基于差分共陣的虛擬陣元類方法,文獻[12]結合Toeplitz矩陣重構與多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[13]求解空間譜;文獻[14]使用最小絕對收縮和選擇算子(least absolute shrinkage and selection operator, LASSO)方法計算稀疏字典上的展開系數實現方向估計。這些方法充分利用差分共陣自由度,可估計信源數較高。但由于使用完整陣列協方差,并不支持分布式陣列結構,且因要處理高維協方差矩陣或向量,計算復雜度較高。另有一類適用于互質陣的解模糊方法[15-17]。文獻[15]在2子陣上分別應用MUSIC算法再搜索配對,但復雜度高且易遭受匹配錯誤;文獻[16]以局部搜索代替全局搜索,文獻[17]以root-MUSIC代替MUSIC,降低了復雜度。這類方法利用互質約束下2子陣估計的唯一交集消除了單信源模糊,且在小快拍時具有精度優勢,但多信源下依賴互協方差消除匹配錯誤[18],同樣不支持分布式陣列結構。

嵌套陣由疏密兩級均勻線陣組成,通常使用虛擬陣元類方法進行DOA估計[6,19-20]。本文將子陣分解并融合的思想應用于此陣列,拆分其為分布式配置結構。對疏密2個均勻子陣的快拍數據分別使用root-MUSIC算法,利用密集子陣無模糊和稀疏子陣精度高的特點融合2陣估計值,最終可得既無模糊也沒有匹配錯誤的結果。分布式陣列配置與root-MUSIC相結合,不涉及互協方差,也無需譜峰搜索,能有效降低計算量。仿真驗證了上述優勢并顯示所提方法具有較高精度。

1 測向的系統模型

1.1 嵌套陣系統模型

嵌套陣可由2個及以上陣元間距不相等的均勻線陣串聯而成。標準二級嵌套陣第1級是N1元密集均勻線陣,陣元間距為d1=λ/2;第2級是N2元稀疏均勻線陣,陣元間距為d2=(N1+1)d1,其中λ為入射信號波長。圖1為嵌套陣系統模型。

圖1 嵌套陣列系統模型Fig.1 System model of nested array

嵌套陣總陣元數為N=N1+N2,以原點為起始參考點,其陣元位置集合可表示為:

S={n1d1,n1=1,2,…,N1}∪

{n2(N1+1)d1,n2=1,2,…,N2}

(1)

通常,假設空間有K個互不相關的窄帶遠場信號,以角度θ=[θ1θ2…θK]T撞擊到嵌套陣上,則嵌套陣的N1+N2維陣列輸出為:

y(t)=A(θ)s(t)+n(t),t=1,2,…,L

(2)

式中:s(t)=[s1(t)s2(t)…sK(t)]T為信源矢量;A(θ)=[a(θ1)a(θ2)…a(θK))]為N×K維導向矢量矩陣;n(t)為時間和空間上均獨立的加性高斯白噪聲矢量,其均值為0,方差為σ2;L為快照數量。

假設信號源不相關,則陣列輸出信號的協方差矩陣為:

R=A(θ)RsAH(θ)+σ2I

(3)

式中:Rs為入射信號的協方差矩陣;I為單位矩陣。

嵌套陣與互質陣均可看作是2個均勻線性子陣按一定幾何關系復合構成,其中嵌套陣將2個均勻子陣在同一陣列線上前后放置,而互質陣將2個均勻子陣重疊放置。對于互質陣,因2子陣陣元間距都大于半波長,由任一子陣得到的DOA估計值必然存在角度模糊問題。

若一均勻線陣陣元間距大于半波長,d>λ/2,則估計值與真實值具有相同的導向矢量[15]:

a(θ)=a(θ′)

(4)

式中:θ為入射信源的真實值;θ′為陣列的估計值。兩者在陣元間產生同樣的相位差:

2πdsinθ/λ-2πdsinθ′/λ=2qπ

(5)

由式(5)可知,陣列DOA估計值個數與陣元間距密切相關。若間距d=Qλ/2,Q>1,信號的入射角范圍為(-90°,90°)時,有|sinθ-sinθ′|<2,則q的范圍為q∈[-(Q-1),-(Q-1)+1,…,(Q-1)]。又因|sinθ′|<1,q及對應θ′的實際取值有Q個。

借鑒互質陣子陣分解思想,可將嵌套陣分解為2個均勻陣。單信源下,密集子陣Q=1,只有單個估計結果,無模糊;稀疏子陣Q=(N1+1)>1,含真實角會產生N1+1個估計值。參照密集子陣無模糊的估計結果,可排除稀疏子陣的模糊估值。

利用子陣分解策略進行DOA估計時,若待估信源較多,信源在不同子陣上產生的模糊值可能會重合,從而出現配對匹配錯誤問題,基于互質陣的許多解模糊算法都致力于消除匹配錯誤[17-18]。而對于嵌套陣,其稀疏子陣不滿足采樣定理,會產生多個模糊值,但密集子陣得到的估計角的個數等于信源數。對兩子陣估計信息取交集進行配對時,僅在信源方向上出現公共角,不會出現配對匹配錯誤。且完整嵌套陣串聯的2子陣陣元間距無法統一,結合傳統算法時常需進行預處理,子陣分解有利于降低計算復雜度。

因此,將原本應用于互質陣的子陣分解與融合思想推廣至嵌套陣,單一信源下同樣可以消除模糊,且多信源下還具有額外的優勢。

1.2 分布式嵌套陣系統模型

嵌套陣分解后,采用分布式配置,在遠場環境中,不限定2子陣間的距離,僅要求2子陣互相平行。N1元密集陣和N2元稀疏陣的陣元間距仍為d1=λ/2和d2=(N1+1)d1。圖2為分布式嵌套陣的系統模型。

圖2 分布式嵌套陣列系統模型Fig.2 System model of distributed nested array

此時,疏密子陣接收信號分別為:

y1(t)=A1(θ)s(t)+n1(t)

(6)

y2(t)=A2(θ)s(t)+n2(t)

(7)

式中:A1(θ)和A2(θ)為疏密子陣的導向矢量矩陣;n1(t)和n2(t)均為獨立白噪聲矢量。

(8)

(9)

與傳統的整體嵌套陣相比,由式(8)、(9)給出的協方差數據不含互協方差,降低了數據處理負擔。

2 求根MUSIC方差融合估計

2.1 分布式嵌套陣求根MUISC

求根MUSIC算法[21]是MUSIC的一種改進形式,通過多項式求根解出與噪聲空間正交的導向矢量所包含的復相位,進而獲得DOA估計。求根MUSIC利用均勻線陣導向矩陣具有范德蒙結構這一屬性,用求根操作代替了MUSIC方法的角度搜索,降低了計算復雜度,在低信噪比(signal to interference plus noise ratio, SNR)時,求根MUSIC有比MUSIC更好的性能[22]。但求根方法僅適用于均勻線陣,這使它在稀疏非均勻陣列的DOA估計中具有局限性。而對于分布式嵌套陣,其疏密子陣都是均勻線陣,便于使用求根MUSIC算法分別對2個子陣進行處理。

(10)

(11)

(12)

(13)

定義疏密子陣求根多項式為:

(14)

(15)

(16)

(17)

不失一般性,以單信源θ為待估方向。密集子陣最接近單位圓的復根記作z1,代表入射信號在半波長距離上形成相位差的復數。根據采樣定理,此時有唯一估計角θ1滿足約束條件:

(18)

稀疏子陣中最接近單位圓的復根記作z2,代表入射信號在距離為(N1+1)倍半波長的兩相鄰陣元間形成相位差的復數。由于相位差相加等于對應的復相位相乘,對復數z2開(N1+1)次根可得半波長間距上的復相位差。顯然,z2開(N1+1)次方將得到(N1+1)個根,且所有根均在單位圓上,但其中只有一個根與真實角度對應,其余N1個根為稀疏陣的模糊角。

定義集合Z2為復數z2開N1+1次根后得到的解集,表示為:

(19)

此時,可將相位差轉化為入射角,得到對應的估計角,用集合Θ2表示。

(20)

式中:集合Θ2的N1+1個值除一真實角度外,還有N1個模糊值。而式(18)中密集子陣僅提供單個估計值θ1。通過找到與θ1最接近的θ2i來消除模糊,可確定稀疏陣估計角,記為θ2。由于稀疏陣具有較大的陣列孔徑,θ2將具有比θ1更高的精度。

同理,多信源下,對稀疏陣貼近單位圓的K個復根分別再開(N1+1)次方,將得到K(N1+1)個估計角。找到其中與密集陣估計值最近的K個,即可獲得稀疏陣估計角。

為具體說明分布式嵌套陣求根MUSIC方法,考慮陣元數N1=N2=7,入射角θ=[48.7°,60.0°]的情況。圖3給出了分布式嵌套陣疏密子陣根的分布。

圖3 分布式嵌套陣根的示意Fig.3 Schematic diagram of distributed nested array roots

從圖3中可以看出,對分布式嵌套陣疏密子陣協方差數據分別進行求根處理,兩陣均得到12個根。找出稀疏陣12個根中最貼近單位圓的2個,再開N1+1次方后,得到2(N1+1)=16個根,這些根均位于單位圓上,具有較高精度,且與密集陣得到的與單位圓最近的根存在明顯關聯。

2.2 方差融合估計

對于分布式嵌套陣,密集陣可提供無模糊信息,稀疏陣可提供高精度信息,為進一步在無模糊條件下提高估計精度,可通過方差加權平均進行融合。

信源不相關時,稀疏子陣和密集子陣利用求根MUSIC獲得角度估計方差[23]分別為:

(21)

(22)

其中:

(23)

(24)

式中:d(θ1)=da(θ1)/dθ1、d(θ2)=da(θ2)/dθ2為2子陣導向矢量的導數;RSN為信噪比。

(25)

3 仿真實驗和結果分析

定義實驗所用角度估計的均方根誤差(root mean square error, RMSE)為:

(26)

T=tE/VE

(27)

式中:tE為算法進行E次蒙特卡羅模擬的總運行時間;V為參數的變化個數。

實驗1算法RMSE性能對比。將所提算法與嵌套陣MUSIC、嵌套陣空間平滑MUSIC[12,26]、嵌套陣Toeplitz的MUSIC、嵌套陣Toeplitz求根MUSIC進行均方誤差性能對比,其中嵌套陣MUSIC指不對陣列協方差矩陣重構直接實施MUSIC。設定相同物理陣元數,N=14,N1=N2=7,信源角度為50°和60°。對于每個模擬場景,進行300輪蒙特卡羅實驗。圖4為L=100時各算法ERMS隨信噪比變化圖,RSN=-3∶2∶9 dB;圖5為RSN=-1 dB時各算法的ERMS隨快拍數變化圖。

圖4 RMSE隨SNR變化Fig.4 Variation of RMSE with SNR

圖5 RMSE隨快拍數變化Fig.5 Variation of RMSE with the number of snapshots

由圖4可知,在RSN<5 dB時,融合算法性能優于另外4種算法。隨信噪比增加,嵌套陣MUSIC方法與所提算法性能差距縮小,RSN>5 dB時有所勝出。但幾種對比方法都需互相關信息,不支持分布式配置,對處理模塊和配置環境要求都更高。尤其值得分析的是,融合算法在SNR<5 dB時,用較少的兩子陣局部協方差數據,獲得了比擁有完整嵌套陣全局信息的對比方法更高的精度。原因在于,虛擬陣元方法需重復使用疏密子陣快拍數據相乘來計算差分共陣協方差,低信噪比下,會在一定程度上影響大孔徑稀疏陣的高精度數據。而所提方法稀疏陣雖含模糊角,但解算時未與低精度數據混合,性能無損,后經加權融合,精度進一步提高。

由圖5可知,所提算法估計誤差隨快拍數增加逐漸減小,在整個快拍范圍內明顯優于另外4種方法。因此低信噪比、小塊拍下所提算法性能更優。

實驗2驗證所提算法適應性與穩定性。對比不同快拍數、陣元數下所提算法隨信噪比的變化。入射角度為30°和50°,進行300輪模擬實驗。圖6為N1=N2=7,快拍數L=100,200,300時算法RMSE隨信噪比的變化;圖7為快拍數L=100,子陣1陣元數分別為N1=8,9,12,且N1=N2時算法RMSE隨快拍數變化示意圖。

圖7 融合算法不同陣元數下RMSE隨SNR變化Fig.7 Variation of RMSE with snapshot number under different snapshot numbers of fusion algorithm

由圖6可知,低信噪比下,不同快拍融合算法性能差距較小。但隨快拍數和信噪比的增加其角度估計性能逐漸變好。

由圖7可看出,陣元數接近時估計性能差距較小,隨著陣元數增加差距逐漸變大,性能逐漸變好。仿真結果顯示所提算法能適應不同場景且較穩定。

實驗3算法時間效率對比。比較融合算法與幾種嵌套陣算法的運行時間。設置RSN=-1 dB,快拍數為100,總陣元數N=6∶4∶30,N1=N2=N/2,搜索間隔為0.1,信源入射角為50°和60°。僅參數N變化,則V=1。對每個給定的N進行300輪實驗,對比結果如圖8所示。

圖8 算法的平均運行時間Fig.8 Average running time of algorithm

由圖8可知,所提算法運行時間總體低于嵌套陣其他4種算法。這是由于嵌套陣MUSIC類方法均涉及整體陣列的協方差數據且譜峰搜索較耗時。同時,嵌套陣Toeplitz類方法需重構并分解高維Toeplitz矩陣,協方差矩陣處理復雜。而融合算法分別處理兩子陣快拍數據,計算簡單,無需譜峰搜索,復雜度較低。實驗充分證明了本文算法的估計效率。

實驗4所提算法與互質陣方法性能對比。為體現本文算法在相位模糊上的優勢,圖9和圖10給出了所提算法與互質陣MUSIC算法、互質陣解模糊算法的RMSE性能對比。陣元總數相同,分布式嵌套陣N1=N2=7,互質陣陣元數為5和9,進行300輪實驗。圖9為信噪比對算法誤差的影響RSN=-3∶2∶9 dB,快拍數為300;圖10為RSN=1 dB,L=50∶50∶300變化時算法的估計誤差。

圖9 信噪比變化對算法估計誤差的影響Fig.9 Influence of SNR on estimation error of the algorithm

圖10 快拍數變化對算法估計誤差的影響Fig.10 Influence of the number of snapshots on the estimation error of the algorithm

由圖9可知,RSN<3 dB時,融合算法估計性能明顯優于互質陣方法。RSN>3 dB時,互質陣方法性能逐漸優于所提算法。原因在于,互質陣MUSIC使用了互相關信息,且整體陣列孔徑較大;互質陣解模糊分解后的兩子陣均為稀疏陣,間距較大,單個子陣的分辨率較高;且互質陣2種方法都使用了MUSIC算法,高信噪比下搜索方法性能較好。總之,低信噪比情況,融合算法具有相對優勢。

由圖10可知,隨快拍數增加,所提算法估計誤差逐漸減小,在整個快拍參數范圍內明顯優于另外2種方法。

實驗5驗證所提算法無匹配錯誤。實驗場景參考文獻[27],對比互質陣和嵌套陣分解子陣的估計結果。保證總陣元數相等,互質陣兩子陣陣元數為5和7,嵌套陣N1=N2=6,信源入射角[20]為48.7°和60.0°,信噪比RSN=5∶1∶30 dB。圖11和圖12中均用空心圓表示子陣1估計結果,實心圓表示子陣2估計結果。

圖11 互質陣子陣配對匹配Fig.11 Subarray pairing matching of coprime array

圖12 嵌套陣子陣配對匹配Fig.12 Subarray pairing matching of nested array

由圖11可知,互質陣子陣1共14個估計角,子陣2共10個估計角,2子陣除真實角度外,在27.8°和-58.0°也會形成交集,導致配對匹配錯誤。由圖12可知,嵌套陣子陣1估計角僅含真實角度,子陣2包含真實角度會產生14個估計角,但2子陣僅在真實角度處形成交集,能正確進行配對匹配。

4 結論

1) 將子陣分解思想與嵌套陣的幾何結構相結合,通過公式給出嵌套陣疏密子陣分布式配置的理論依據。分布式配置方便靈活,對軟硬件要求低。

2) 利用求根MUSIC算法僅適用于均勻線陣的特性,對分布式嵌套陣疏密子陣分別進行處理,不涉及互相關信息,且不需譜峰搜索,有效降低了計算量。

3) 融合嵌套陣密集子陣的無模糊估計和稀疏子陣的高精度估計,得到無模糊、高精度、配對匹配正確的DOA估計結果。

4) 所提算法使用局部陣列協方差數據,相比無差別使用全局陣列協方差數據,在低信噪比時能獲得更高精度的估計結果。

5) 本文所提算法可考慮推廣應用于陣元間距為任意整數倍波長的稀疏均勻線陣,不局限于N1倍。

6) 本文算法的缺點在于分別處理2個子陣,未充分利用嵌套陣在自由度上的優勢,能處理的信源數減少。