廣義的WBKL方程和HS-KdV方程的微分不變量、微分不變方程

雷桂英,宋軍鋒

(陜西師范大學數學與統計學院,陜西 西安 710119)

0 引言

微分不變量是非線性系統的重要應用方面,也是不變量經典理論的組成部分,而不變量是抽象代數的一部分.微分不變量用于求解不變微分方程和變分問題[1-2],確定其顯示解和守恒律的基本構件.子流形的等價性、對稱性[3]和剛性都由它們的微分不變量決定.此外,微分不變量在微分幾何和相對論、偏微分方程組特解的構造[4-5]、計算機視覺中的物體識別[6]、可積系統、幾何數值積分[7]、經典不變量理論、不變流以及許多其他純數學和應用數學領域[8-12]中的應用比比皆是.

考慮廣義的Whitham-Broer-Kaup-Like(WBKL)方程組[13]:

其中,u(x,t)和v(x,t)表示待定函數,a,b,c為任意常數.

該方程組可用于描述長波在淺水波中的雙向傳播,這是一個非常重要的物理模型.該系統包含許多大家熟知的非線性演化方程,當參數取不同值時,該方程組可導出許多著名的非線性演化方程.廣義的WBKL方程組已被許多學者以各種方法進行了深入研究. GUO等[14]應用推廣的(G′/G)展開法,得到了WBKL方程的具有雙曲函數、三角函數、有理函數形式的行波解.MING等[15]利用分歧方法和動力系統定性理論得到了WBKL方程的扭結解、爆破解、周期爆破解和孤立波解.LI等[16]應用簡化了的齊次平衡法,借助線性方程組解的非線性變換得到了WBKL方程的許多精確解.

考慮廣義的Hirota-Satsuma耦合KdV方程[17]:

此方程是Hirota-Satsuma耦合KdV方程的可積推廣.許多學者已經對廣義的HS-KdV方程進行了大量研究.ENGUI[18]應用擴展的tanh函數法獲得了方程新的孤子解.YU等[19]使用推廣的Jacobi橢圓函數法得到了方程更一般的解,該通解不但包含了已有的Jacobi橢圓函數展開法求得的解,還包含了許多新的顯式解.YONG等[20]使用改進的投影Riccati方程法得到了方程的許多精確解.

本文以廣義的WBKL方程組和廣義的HS-KdV方程組為研究對象,運用最新的等變活動標架理論[21-24],選擇合適的群軌道橫截面,并對其進行規范化以獲得活動標架,進而產生基本的微分不變量,再利用Gr?bner基算法計算微分不變量代數的基本結構,借助符號計算軟件Maple,切實有效地求得廣義的WBKL方程和廣義的Hirota-Satsuma耦合KdV方程的微分不變量、微分不變量代數和微分不變方程．

1 基礎知識

下面給出等變活動標架理論和微分不變量的相關定義和定理.

給定微分方程組:

Δv(x,u(n))=0,

(3)

其中,x=(x1,…,xp)表示p個自變量,u=(u1,…,uq)表示q個因變量.z=(x,u)是全空間M上的局部坐標,M是m=p+q維的流形,SΔ={Δ(x,u(n))=0}?Jn(M,p)是全空間M上p維子流形的n階Jet叢的子簇.

n階延拓向量場為:

其中,DJ=Dxj1,…,Dxjk,J=(j1,…,jk),1≤jv≤p表示相應的迭代全微分,延拓系數為:

v(n)(Δv)=0,v=1,2,…,k.(4)

在SΔ上展開(4)式,關于向量場v的系數ξi和φα滿足的齊次線性偏微分方程組:

系統的提升水平余標架如下:

(6)

其中,dH表示水平微分,Dj=Dxj表示全微分.

一旦一個活動標架被固定,可誘導出不變量化過程ι,將Jn(M,p)上的微分函數、微分形式、微分算子映射到微分不變量、不變微分形式、不變微分算子.不變量是通過用它們的活動標架歸一化來替換變換對象中的群參數.因此,不變量化過程為:

ι:F(x,u(n))I(x,u(n))=F(ρ(n)(x,u(n))·(x,u(n))).

將微分函數F(x,u(n))映射到微分不變量I=ι(F).從幾何角度來講,不變量化是把函數限制在橫截面上,并且要求其沿著偽群軌道是恒定的.因此,ι定義了一個代數態射,將微分函數的代數投影到微分不變量的代數上.特別地,由活動標架誘導的正規化微分不變量是通過對n階Jet坐標(x,u(n))不變量化得到的.

(7)

xiXi,uα

定理3不變性的Maurer-Cartan形式滿足不變性的決定方程:

定理4正規化微分不變量(7)之間的遞推公式為:

2 廣義的Whitham-Broer-Kaup-Like(WBKL)方程組

運用最新的等變活動標架理論計算方程組(1)的微分不變量、微分不變量代數以及微分不變方程.

方程組(1)的全空間M=4的坐標為(t,x,u,v),其向量場為:

方程組(1)對應的無窮小決定方程可約化為:

上述方程組的通解為:

(8)

定義四維廣義的WBKL方程的對稱代數,其基為:

通過指數映射,得到對應的李偽群:

其中,λ1,λ2,λ3,λ4是群參數.

根據(6)式可得方程組(1)的水平余標架:

dHT=(Tt+Tuut+Tvvt)dt+(Tx+Tuux+Tvvx)dx=eλ4dt,

(9)

(10)

和對偶的隱式全微分算子:

(11)

構造廣義的WBKL方程的活動標架,選取群軌道的坐標截面,得到四個歸一化方程:

X=0,T=0,U=0,V=1.

解得群參數:

λ1=-t,λ2=-x,λ3=-u,λ4=lnv.

(13)

將(13)式代入(12)式,得到幻影微分不變量:

和函數獨立的正規化微分不變量的完整系統:

將式(13)代入式(9)、(10)式,得到不變量化的水平余標架,并且不變量化的水平1-形式ω1,ω2滿足結構方程:

(14)

再將式(13)代入式(11),得到不變的微分算子:

(15)

通過對偶性,由式(14)可得不變微分算子的交換關系:

根據定理2和定理3可得不變量化的Maurer-Cartan形式滿足的方程:

(16)

根據式(8),設無窮小生成子的一般形式為:

其中,c1,c2,c3,c4是常參數,延拓系數為:

(17)

對式(17)不變量化可得如下的遞推公式:

根據定理4可得:

0=dHH1=ω1+α,0=dHH2=ω2+β,

(18)

由式(18)解得:

將上述結果代入式(18),再根據定理4,整理使得等式兩邊ω1,ω2的系數相等,得到微分不變量的遞推公式:

(19)

由式(19)可知,每一個正規化微分不變量都可以由這4個基本的微分不變量:

根據Gr?bner基算法,由式(15)和(19)可得到廣義的WBKL方程微分不變量代數的基本關系:

根據等變活動標架理論可得方程組(1)的微分不變方程為:

3 廣義的Hirota-Satsuma耦合KdV方程

運用最新的等變活動標架理論計算方程組(2)的微分不變量、微分不變量代數以及微分不變方程.

方程組(2)的全空間M=5的坐標為(t,x,u,v,w),其向量場為:

方程組(2)對應的無窮小決定方程可約化為:

上述方程組的通解為:

(20)

定義四維廣義的Hirota-Satsuma耦合KdV方程的對稱代數,其基為:

通過指數映射,得到對應的李偽群為:

其中,λ1,λ2,λ3,λ4是群參數.

根據式(6)可得方程組(2)的水平余標架:

(21)

dHT=(Tt+Tuut+Tvvt+Twwt)dt+(Tx+Tuux+Tvvx+Twwx)dx=eλ4dt,

(22)

和對偶的隱式全微分算子:

(23)

構造廣義的Hirota-Satsuma耦合KdV方程的活動標架,選取群軌道的坐標截面,得到4個歸一化方程:

T=0,X=0,U=1,V=1.

解得群參數:

(25)

將式(25)代入式(24)得到幻影微分不變量:

和函數獨立的正規化微分不變量的完整系統:

將式(25)代入式(21)、(22)得到不變量化的水平余標架,并且不變量化的水平1-形式ω1,ω2滿足結構方程:

(26)

再將式(25)代入式(23)得到不變的微分算子:

(27)

通過對偶性,由式(26)可得不變微分算子的交換關系:

根據定理2和定理3可知,不變量化的Maurer-Cartan形式滿足的方程:

(28)

根據式(20)設無窮小生成子的一般形式為:

其中,c1,c2,c3,c4是常參數,延拓系數為:

(29)

對式(29)不變量化,可得如下的遞推公式:

(30)

根據定理4可得:

由式(31)解得:

將上述結果代入式(30),再根據定理4,整理使得等式兩邊ω1,ω2的系數相等,得到微分不變量的遞推公式:

(32)

由式(32)可知,每一個正規化微分不變量都可以由6個基本的微分不變量:

根據Gr?bner基算法,由式(27)和式(32)可得到廣義的Hirota-Satsuma耦合KdV方程微分不變量代數的基本關系:

根據最新的等變活動標架理論可得方程組(2)的微分不變方程為:

4 結語

本文基于最新的等變活動標架理論,選取合適的偽群軌道截面,構造方程的活動標架,借助數學軟件,有效求得了廣義的WBKL方程組和廣義的HS-KdV方程組的微分不變量、微分不變量代數以及微分不變方程.這一結果可作為利用微分不變量求解方程的不變解和有關不變量問題的重要工具.