透析試題結(jié)構(gòu) 探尋思維路徑

沈敏輝 馬飛

摘 要：數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)擺脫了教材中的單元?jiǎng)澐?，將?shù)學(xué)知識(shí)以網(wǎng)絡(luò)連接，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有整體性的認(rèn)識(shí)和結(jié)構(gòu)性的認(rèn)知，進(jìn)而形成完整的知識(shí)體系.文章通過(guò)對(duì)一道中考試題的結(jié)構(gòu)透析，分析其條件結(jié)論，將其與勾股定理、全等三角形等知識(shí)連接，建構(gòu)起整體的知識(shí)體系，形成網(wǎng)絡(luò)框架.

關(guān)鍵詞：試題結(jié)構(gòu)；思維路徑；解法探究；思考

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）08-0043-03

中考?jí)狠S題通常以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，具有結(jié)構(gòu)優(yōu)美、解法多樣等典型特征，所以一直以來(lái)都是教師研究的主要對(duì)象.本文以2021年嘉興市中考數(shù)學(xué)第9題為例，對(duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)類型分析、解法探究和反思內(nèi)化，供讀者參考.

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，點(diǎn)D在AC上，且AD=2，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE.F，G分別是BC和DE的中點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G.當(dāng)AG=FG時(shí)，線段DE長(zhǎng)為（）.

2 結(jié)構(gòu)分析

2.1 條件分析

由∠BAC=90°，AB=AC=5可知△ABC是等腰直角三角形，并且可求得相關(guān)角度和邊長(zhǎng).由AD=2可得到CD=3.因?yàn)镕，G分別是BC和DE的中點(diǎn)，由中點(diǎn)和直角三角形，可聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即AG=DG=GE.由中點(diǎn)和等腰直角三角形，可聯(lián)想到等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，連接AF，進(jìn)而得到AF⊥BC.由條件AG=FG可以考慮AG=DG=GE=GE，進(jìn)而得到A，D，E，F(xiàn)在以點(diǎn)G為圓心圓上.

2.2 結(jié)論分析

一方面，因?yàn)锳，D，E，F(xiàn)在以點(diǎn)G為圓心的圓上，∠BAC=90°，所以DE是此圓的直徑.根據(jù)已知條件可構(gòu)造全等三角形，從而得出各條線段的長(zhǎng)度，然后計(jì)算線段DE的長(zhǎng)度.在構(gòu)造全等三角形的基礎(chǔ)上，可以引入“一線三等角”模型.另一方面，根據(jù)圖形特征，可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)構(gòu)造方程的方式，將DE的長(zhǎng)度表示出來(lái).另外，可考慮建立直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，設(shè)未知數(shù)構(gòu)造方程，從而解得DE的長(zhǎng)度.

3 解法探究

思路1 本題是一道選擇題，故可考慮將四個(gè)選項(xiàng)一一代入，觀察得到的結(jié)論和條件是否矛盾.

思路2 在直角三角形中，可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)的方式將DE表示出來(lái)，遇到這類問(wèn)題通常利用題中的等量關(guān)系聯(lián)立方程，求出未知數(shù).

思路3 若學(xué)生觀察到本題可以分離成多個(gè)直角三角形，存在多條線段相等，則通過(guò)添加輔助線的方式，構(gòu)造全等三角形.

思路4 根據(jù)等腰直角△DEF角度的特殊性，可以采用構(gòu)造“一線三等角”的基本圖形.根據(jù)圖形的局部特征也可以構(gòu)造相似三角形，利用相似比求解.

思路5 基于△ABC是等腰直角三角形，可以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB為x軸正方向，AC為y軸正方向建立坐標(biāo)系，把題目中的等量關(guān)系表示出來(lái).

解法8 如圖9，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以直線AB為x軸、直線AC為y軸，建立平面直角從標(biāo)系.設(shè)AE=

4 解題思考

4.1 篩選試題，包含主干知識(shí)

教師在進(jìn)行中考專題復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)該精心挑選涵蓋主干知識(shí)、具備多種解法途徑的典型例題，帶領(lǐng)學(xué)生一起對(duì)這些試題進(jìn)行深度探究，運(yùn)用綜合知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，總結(jié)類型和反思內(nèi)化.把典型試題當(dāng)作發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體，能全面提高學(xué)生符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、空間觀念等核心素養(yǎng)［1］.

4.2 分析試題結(jié)構(gòu)，尋找多種解法

在解題過(guò)程中，學(xué)生之所以出現(xiàn)困難，有一大部分原因是學(xué)生沒(méi)有進(jìn)行細(xì)致的結(jié)構(gòu)分析.分析題目的結(jié)構(gòu)時(shí)，要將題目條件逐一進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，并標(biāo)注在圖形上，相關(guān)重要線段的長(zhǎng)可以用未知數(shù)代替，可以用此未知數(shù)表示出與其相關(guān)的其他線段的長(zhǎng)度，實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何的數(shù)形結(jié)合.

4.3 反思內(nèi)化，提高核心素養(yǎng)

解題完成后，筆者帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行解法反思.裴光亞老師說(shuō)過(guò)：“教學(xué)生解題，就是教學(xué)生猜想，洞察出最后的結(jié)果.”學(xué)生表示，建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)設(shè)未知數(shù)的方式能夠較快求出結(jié)果.最后，學(xué)生總結(jié)得出了解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題的基本思路.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.