“復變函數與數理方程”課程思政教學探索

章權兵 張華永 任愛娣

［摘 要］ 課程思政是全面提升人才培養質量、落實立德樹人根本任務的重要途徑。對電子類專業的專業課程“復變函數與數理方程”的思想政治教學進行了探索，并選取課程中的復變函數的積分、傅里葉變換、定解問題等主要教學內容，通過對教學內容的剖析，挖掘知識點中所蘊含的科學元素和思政元素，將思想政治教育融入知識傳授中。在激發學生學習興趣、培養其學習主動性的同時，幫助學生樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀，以達到教書育人的目的。

［關鍵詞］ 課程思政；復變函數與數理方程；復變函數的積分；傅里葉變換；定解問題

［中圖分類號］ G642.3［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2024）08-0089-04

引言

立德樹人是中國教育的根本任務和時代使命，為實現中華民族偉大復興，必須通過教育立德樹人。黨的二十大報告強調：“全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，培養德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人。”［1］立德樹人在教學中的重要地位更加凸顯。

課程思政是落實立德樹人根本任務、全面提升人才培養質量的重要途徑。課程思政不是增開一門課，也不是增設一項活動，而是一種教育理念、一種教育活動［2］，是培養德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人的現實需要，也是保障“三全育人”實現的必然選擇［3］。高校要實現立德樹人根本目標，不能僅靠思想政治理論課，必須加強課程思政建設，要在專業課程教學中進行思想政治教育，使專業課程與思政課程同向同行，在完成知識傳授的同時，發揮育人功能［4］。2020年，教育部在印發的《高等學校課程思政建設指導綱要》中明確指出，“全面推進課程思政建設是落實立德樹人根本任務的戰略舉措”［5］。落實立德樹人根本任務，對教師隊伍的建設提出了更高的要求；推進高校課程思政建設，發揮好課程教學的育人作用，是每位教師須要承擔的重要使命和責任［6］。

一、“復變函數與數理方程”課程思政的必要性

“復變函數與數理方程”是安徽大學電子、通信等理工科專業的一門重要的專業基礎課程，主要包含復變函數、積分變換、典型常微分方程和偏微分方程的求解及其解的性質等內容，這些都為學生后續專業課程學習提供了必要的數學基礎［7-8］。由于該課程基本概念抽象、理論性強、涉及的知識點多且相互之間的關聯度大，因此學生普遍感到學習難度較大。如果學生沒有理解清楚前面的知識點，那么后續內容就會很難聽懂，并且問題越積越多，最后易放棄學習。傳統的教學方式很難激發學生的學習興趣，并且重在基本理論和公式推導，缺乏科學精神的培養和科學方法的引導［9］。

事實上，“復變函數與數理方程”課程蘊含著豐富的思政元素，并分布于各個章節的細微之處。如何結合專業特點和課程內容，深入挖掘課程中的科學元素和思政元素，使思想政治教育融入知識傳授中，在吸引學生的注意力，激發其學習興趣、培養其學習主動性的同時，做到潤物無聲地對學生進行思想價值引領，幫助他們樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀，是須要思考和解決的重要問題［10］。

二、課程思政教學實踐

課程思政不是空談，要依附于教學內容［11］。本文結合筆者多年的課堂教學經驗，以復變函數的積分、傅里葉變換和定解問題等教學內容為例，挖掘了“復變函數與數理方程”課程的思政元素，對該課程的思想政治教學進行了探索并提供了材料支撐。

（一）復變函數的積分

“復變函數與數理方程”課程的一個重要內容是復變函數的相關理論，它在電學、流體力學和航空力學等方面具有廣泛的應用，而復變函數的積分是其中的重點和難點之一。

復變函數的積分與高等數學中第二型曲線積分有很多相同或相似之處。例如，它們的定義在形式和內容上是一致的，并且具有大量相同的運算性質。與第二型曲線積分一樣，復變函數的積分包含沿曲線的分割、近似、求和、取極限等步驟，其中蘊含了豐富的哲學思想。分割、近似使每一段弧長都趨于零，是一個化整為零的過程；而求和、取極限是一個合零為整的過程。實際上，再復雜的問題都可分割為一系列簡單的小問題，將這些小問題逐個解決后再尋求總體突破，復雜問題自然就迎刃而解了。人生的大目標也是由一個個小目標組合而成的，只有循序漸進，突破一個個小目標，才能最終實現自己的夢想，正所謂“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海”。（《荀子·《勸學》）借此引導學生明白學習是一個不斷積累的過程，必須腳踏實地、努力進取并持之以恒，才能實現從量變到質變的根本改變。

復變函數的積分還有一些重要性質，例如：可以像計算一元實函數定積分一樣應用著名的牛頓-萊布尼茨公式。盡管復變函數的積分對函數的要求要遠高于實函數的積分，但復變函數的積分并不涉及一元實函數積分的中值定理。在教學過程中，我們要引導學生將這兩種積分進行對比研究，指出它們之間的異同之處，培養學生的創造性思維，使學生在理解復變函數積分相關知識的同時，掌握基本的科學探索方法。此外，要充分研究復變函數的積分與實函數定積分的相似性質，以及它們之間的緊密聯系。例如，利用計算第二型曲線積分的參數法可方便地得到計算復變函數積分的參數法，進而將復變函數積分的計算轉化為一元實函數定積分的計算，從而為復積分的計算提供一種有效方法；反過來，實函數中某些比較復雜，甚至難以計算的定積分和反常積分，可以轉化為復變函數沿閉曲線的積分，并可利用留數定理等輕松解決。這告訴我們，在某種理論框架下無法解決或難以解決的問題，放在一個新的理論框架下可能會變得非常簡單。借此激勵學生努力學習，不斷拓寬知識面。社會在發展，科學在進步，要想跟上社會發展的節奏，必須不斷求索新知，樹立終身學習的理念。

（二）傅里葉變換

傅里葉變換將滿足一定條件的函數表示成三角函數的線性組合或積分，從而為將信號分析由時域轉換到頻域提供了理論依據。作為數學理論中非常重要的工具，其在信息科學和物理化學等領域有著廣泛的應用。

從時域角度來分析，信號是隨時間動態變化的函數，自變量是時間。比如一首優美的樂曲，人們能夠感受到它的旋律是隨時間變化的。然而，樂曲中不同的音符實質上表示的是不同頻率的聲音。從頻域角度來研究信號，將時間變量換成了頻率變量，揭示了隨時間動態變化的信號其內在的頻率特性，使得在時域中難以解決的問題，往往在頻域中得以簡化。對于同一個信號，分別從頻域和時域進行分析，就是從不同的角度來看待問題，并能得到不同的結果，正所謂“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”。（蘇軾·《題西林壁》）這也告訴我們，對于同一事物，觀察的立足點和角度不同，就會有不同的認識，得到不同的結論。借此啟發學生，在面對復雜工程問題時，若只拘于一種思考，往往無法抓住問題的核心和本質；而換個角度思考，可能會“柳暗花明又一村”。要認清事物的本質，就必須從多角度觀察，多維度思考。

進一步來看，一個三角函數表示信號的能力非常有限，只能表示一個固定振幅和頻率的簡諧振動，但多個不同頻率三角函數的線性疊加可以表示更加復雜的函數，從而解決更加復雜的問題。這也類似于個人與集體的關系，個人的力量總是有限的，但集體的力量卻是無窮的，團隊合作所取得的成果往往能超過成員個人的總和。每個人都要融入集體，才能充分發揮個人的作用；而集體要發揮出團隊真正的力量，就必須團結，正所謂“協力山成玉，同心土變金”，沒有團結精神的團隊將是一盤散沙。借此引導學生思考個體與整體、個人與集體的關系，培養學生的團隊合作精神，激勵學生為全面建成社會主義現代化強國、實現第二個百年奮斗目標，以中國式現代化全面推進中華民族偉大復興而奮斗。

傅里葉變換在信號處理等很多領域有著無可替代的重要性，但其正式發表卻是一個非常曲折的過程。1807年，傅里葉在關于熱傳導的論文中提出了傅里葉變換，但遭到拉格朗日的反對而未發表；此后經過不斷的補充完善，并于1811年再次提交，但仍未被正式發表。盡管如此，傅里葉并未放棄，于1822年出版了專著《熱的解析理論》，其創立的包括傅里葉變換在內的理論對后來的數學、物理等科學的發展產生了深遠影響。借此，教師可以激勵學生學習傅里葉勇于創新的科學精神和堅持不懈、追求真理的優秀品質。同時，要讓學生明白，按照當時的理論水平，傅里葉的研究成果確實存在爭議，拉格朗日拒絕其論文發表正是嚴謹求實的科學精神的最好體現。

（三）定解問題

定解問題的建立是“復變函數與數理方程”中一個基本且重要的問題。定解問題建立的合適與否，直接決定著能否從中得到物理意義明確且符合客觀實際的解。定解問題包括數理方程本身（泛定方程）和定解條件（初始條件、邊界條件等）。在定解問題的建立過程中體現了馬克思主義辯證法，需要我們辯證思考。在教學中體現辯證法思想，既可以使學生加深對定解問題的認識和理解，又可以引導學生掌握分析和解決問題的正確方法，是培養積極、科學的探索精神的生動實踐。

首先，在定解問題建立過程中推導出的泛定方程，反映了所研究的物理過程和現象的矛盾運動。例如：均勻弦的微小橫向自由振動方程反映了弦自身張力和橫向運動的矛盾統一；熱傳導方程反映了熱量的傳導和吸收的矛盾統一；泊松方程反映了電荷分布與其產生的靜電場之間的矛盾統一。這些例子正是矛盾普遍存在、矛盾推動事物發展等辯證法思想的生動體現。在推導泛定方程的具體過程中，引導學生理解矛盾運動是有規律的，而規律是可以被認識的，培養學生堅持真理、追求真知的理想和信念。

其次，定解問題是矛盾普遍性和特殊性的統一體，泛定方程是對一類物理過程共性的一種描述，而具體到每一個物理過程又有其特殊性，這體現在定解條件中，具體問題要具體分析。例如，在均勻弦的微小橫振動問題中，泛定方程描述了弦振動的橫向位移所遵循的普遍規律，而之所以有不同的弦振動現象則源于不同的定解條件，只有把泛定方程和定解條件放在一起看作一個完整的定解問題，才能對具體的弦振動問題給出正確的求解和解釋。借此，教師要引導學生堅持矛盾普遍性和特殊性相統一的觀點，認識世界是豐富多彩的，我們既要樹立獻身科學、探求真理的遠大抱負，又要有腳踏實地、實事求是的學習和工作態度。

最后，我們在研究一個物理過程時不能孤立地進行研究，必須考慮周圍環境對它的影響。例如，在均勻弦的微小橫向受迫振動方程中，自由項是由于弦受到外力作用而引入的，反映了外在因素和弦振動問題的聯系。定界條件中不同的邊界條件也充分體現了外界環境對弦振動的不同影響。這些外在的影響因素在很大程度上決定了弦的振動方式，所以研究弦振動問題需充分考慮其與外界的廣泛聯系。在定解問題的教學中堅持普遍聯系的觀點，引導學生在進行科學研究時既要掌握扎實的專業知識，又要廣泛學習其他相關領域知識，具有寬廣的知識面。

結語

立德樹人是教育之本，課程思政是落實立德樹人根本任務的重要途徑。“復變函數與數理方程”是電子、通信等理工科專業的一門重要的專業基礎課程，如何在課程教學中將知識傳授與價值引領相結合，踐行課程思政理念，實現協同育人目標，具有重要意義。

本文對“復變函數與數理方程”課程思政教學進行了探索，并選取了幾個典型的教學內容，挖掘了知識點中蘊含的科學元素和思政元素，使思想政治教育融入知識傳授中。從教學效果來看，這種方式有效提升了學生的學習興趣，培養了學生的科學思維能力，并對學生世界觀、人生觀、價值觀的正確樹立起到了很好的引導作用。

參考文獻

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Exploration of Curriculum Ideology and Politics in the Course of Complex Variables Function and Equations of Mathematical Physics

ZHANG Quan-bing， ZHANG Hua-yong， REN Ai-di

（School of Electronic and Information Engineering， Anhui University， Hefei， Anhui 230601， China）

Abstract： Curriculum ideology and politics provides an important way to comprehensively improve the quality of talent training and implement the fundamental task of moral education. This paper explores the ideological and political teaching of the specialized course Complex Variables Function and Equations of Mathematical Physics of electronics specialties， and selects several major teaching contents， including integral of complex variable function， fourier transform and definite solution problem. Through the analysis of the teaching content， the scientific elements and ideological and political elements contained in these knowledge points are excavated， so that ideological education can be integrated into knowledge teaching. It can not only stimulate students interest in studying and cultivate their learning initiative， but also help them to establish correct outlook on life， values and world， so as to achieve the purpose of cultivating talents.

Key words： curriculum ideology and politics; complex variables function and equations of mathematical physics; integral of complex variable function; fourier transform; definite solution problem