開裂簡支梁動力特性的兩種解析方法對比研究

摘要：【目的】為開展橋梁結構損傷識別和狀態評估等工作，進行了開裂簡支梁動力特性兩種解析方法的對比研究。【方法】根據傳遞矩陣法和分段振型函數法基本思想，采用無質量扭轉彈簧模擬裂縫引起的局部柔度，分別借助遞推方法和Heaviside函數，推導了帶任意數量裂縫簡支梁動力特性的兩種求解方法，并與ANSYS有限元結果對比分析。【結果】無論是單裂縫、雙裂縫還是三裂縫梁，兩種方法計算結果與有限元結果吻合較好，均具有較高的計算精度；與傳遞矩陣法相比，分段振型函數法在計算多裂縫梁固有頻率時具有更高的計算效率，尤其是對于高階頻率，三裂縫下最大計算時間差值為16.51 s；裂縫數量增加，傳遞矩陣法固有頻率計算時間分別增大到2.85 倍，13.30 倍，分段振型函數法分別增大到1.10 倍，5.43 倍，傳遞矩陣法計算時間顯著增加且呈指數增長趨勢；裂縫深度的變化對計算效率的影響較小。【結論】探討裂縫深度及數量對兩種方法計算效率的影響，對于提升橋梁結構損傷識別的效率和準確性具有顯著的實際意義。

關鍵詞：傳遞矩陣法；分段振型函數法；簡支梁；裂縫；解析方法

中圖分類號：TU311.3；U446 文獻標志碼：A

本文引用格式：桂水榮，譚銘軍，桂智升，等. 開裂簡支梁動力特性的兩種解析方法對比研究[J]. 華東交通大學學報，2024，41（6）：19-27.

【研究意義】隨著橋梁使用年限的不斷增加，橋梁結構不可避免地會遭受一定程度的損傷。裂縫作為橋梁結構損傷的主要表現形式之一，嚴重影響結構的正常性能和使用壽命[1]。因此，研究裂縫梁的動力特性具有重要的工程意義。

【研究進展】目前，在帶裂縫梁式橋的研究領域內，現有文獻多將裂縫梁劃分為若干個子梁，這些子梁段由裂縫所分隔，裂縫通常采用無質量扭轉彈簧模擬，其扭轉彈簧剛度取決于裂縫深度[2-3]。Ostachowicz等[4]提出了一種雙裂縫梁固有頻率求解方法，在此方法中，每個子梁段都包含4 個未知量，導致具有n 條裂縫的梁式結構的特征方程成為4（n +1）階行列式。然而，當裂縫數量較多時，采用這種方法求解通常較為困難。為了降低求解難度，眾多學者致力于減少特征方程行列式的階次[5]，其中，Li[6]采用無質量扭轉彈簧模擬裂縫引起剛度損失，提出了一種具有任意數量裂縫和集中質量的變截面梁的自由振動解析方法（以下簡稱為分段振型函數法），該方法顯著優點在于對任意邊界條件下的此類梁式結構，均可通過二階行列式求得其特征方程。在此基礎上，Aydin[7]提出了一種分析方法，用于確定具有任意數量裂縫的軸向力Timoshenko 梁的振動頻率和振型函數，并考慮了4 種不同邊界條件。董磊[8]進行了基于動力特性的裂縫損傷識別研究，形成了基于自振頻率和低階動力參數的裂縫位置和深度識別算法。Tan 等[9]針對彈簧-質量系統下的連續梁，研究了裂縫參數和彈簧質量系統參數對梁固有頻率的影響，并提出了一種損傷識別方法。此外，傳遞矩陣法也是一種有效的裂縫梁自由振動分析工具，這種方法是由Pestel 等[10]首次提出的，通過裂縫位置處兩端子梁段的相容條件建立振型函數待定系數間的協調關系，進而求解整個梁段的待定系數。Lin 等[11]基于傳遞矩陣方法，提出了一種帶任意裂縫數量的梁式結構動力特性計算方法，始終只需4 個待定系數，極大地提高了計算效率。Attar[12]同樣利用傳遞矩陣法，分析了具有任意數量裂縫的階梯梁的自振頻率和振型，其方法適用于多種邊界條件。馬一江等[13]基于傳遞矩陣方法，提出了一種求解含多條裂紋變截面簡支梁固有頻率的新方法，該方法降低了裂縫梁特征方程的行列式階數，提高了動力特性的計算效率。盡管國內外學者廣泛運用這兩種方法對帶裂縫梁結構進行了深入研究[14]，但目前還未有學者對這兩種解析方法在裂縫梁動力特性計算效率方面進行過比較研究。

【創新特色】本文基于Euler-Bernoulli梁基本理論，采用無質量扭轉彈簧模擬裂縫，分別借助遞推方法和Heaviside 函數，使用傳遞矩陣法和分段振型函數法推導帶裂縫簡支梁的頻率方程，求解帶裂縫結構的固有頻率。【關鍵問題】研究多種裂縫特征下兩種解析方法求解各階固有頻率計算時間，探討裂縫深度及數量對兩種方法計算效率的影響，對于提升橋梁結構損傷識別的效率和準確性具有顯著的實際意義。

1 開裂梁局部柔度模型

圖1 為具有n 條裂縫的Euler-Bernoulli 簡支梁，梁長為L ，寬為b ，高為h ，其中li 為被裂縫分割開的各區段長度，xi 為第i 條裂縫的坐標，ai 為第i 條裂縫的深度。

3.2 計算效率比較

圖2 所示為帶裂縫簡支梁為研究對象，研究不同裂縫位置、深度和數量等參數，采用傳遞矩陣法和分段函數法計算簡支梁各階固有頻率，分別記錄兩種方法求解前n 階固有頻率的計算時間（取3 次平均值），計算結果如圖3～圖5所示。

3.2.1 單裂縫比較

由圖3 可知，傳遞矩陣法和分段振型函數法對帶裂縫簡支梁固有頻率的計算時間不同。單裂縫下，兩種方法計算頻率時間t 均隨著頻率階數的增加而增加，且呈指數增長趨勢，計算前15 階頻率時間均小于2.60 s；傳遞矩陣法計算時間略小于分段振型函數法計算時間，且隨著頻率階數的升高，兩種方法的計算時間差逐漸減小，時間差值（傳遞矩陣法計算時間減去分段振型函數法計算時間）由-0.28 s 變化至-0.25 s，時間差較小。裂縫深度增加導致曲線不平滑，但對計算時間影響不明顯。結果表明，兩種方法在計算單裂縫簡支梁固有頻率均具有良好的計算效率，傳遞矩陣法計算效率略高于分段振型函數法，說明傳遞矩陣法在計算上具有一定的優勢。然而，隨著計算頻率階數的升高，這種優勢逐漸減少。

3.2.2 雙裂縫比較

采用分段振型函數法和傳遞矩陣法計算雙裂縫簡支梁前15 階頻率，兩種方法計算時間如圖4 所示。從圖4 中可知，計算雙裂縫簡支梁前4 階頻率，傳遞矩陣法計算時間略低于分段振型函數法；計算頻率大于4 階后，傳遞矩陣法計算時間高于分段振型函數法，且兩種方法計算時間差呈逐漸增大趨勢，計算差值由-0.32 s 增大至3.61 s。結果表明，分段振型函數法在求解雙裂縫簡支梁低階固有頻率時，計算效率略低于傳遞矩陣法，但隨著計算頻率階數增加，特別是需計算高階頻率時，分段振型函數法計算效率遠大于傳遞矩陣法。

兩種方法的計算時間曲線出現交點，這主要是由于在求解帶裂縫梁固有頻率時，計算時間t 包括兩部分（表4）：① 計算裂縫梁的頻率方程|H| =0的時間t1 ；② 采用半區間迭代法求解頻率方程的時間t2 。由表4 可知，計算頻率方程只需計算一次，計算時間t1 不隨頻率階數增加而增加，且傳遞矩陣法計算裂縫梁頻率方程的時間t1 小于分段振型函數法，時間差值為-0.339 s；而求解頻率方程需要反復迭代計算行列式|H|，計算時間t2 隨頻率階數增加而增加，傳遞矩陣法求解頻率方程的時間t2 大于分段振型函數法，且時間差呈逐漸增大趨勢，時間差由0.015 s 增大至4.017 s。故兩種方法的計算時間曲線出現交點，在交點之前，傳遞矩陣法計算時間更小，在交點之后，分段振型函數法計算時間更小。

對t2 進一步分析，在求解裂縫梁頻率方程時，兩種方法均采用半區間迭代法進行求解，而傳遞矩陣法計算時間t2 遠大于分段振型函數法，且時間差呈逐漸增大趨勢。這是由于采用半區間迭代法求解時，反復迭代計算行列式|H|，而計算式復雜度是影響行列式計算時間的重要因素。傳遞矩陣法在求解多裂縫梁固有頻率時，式（9）使用矩陣乘法，矩陣乘法是計算量較大的運算，在求解時會使計算式數量增大；且2.1 節推導過程中均使用符號矩陣，計算多裂縫時，多次使用矩陣乘法，使得傳遞矩陣Fn中fij 計算式數量迅速增大，導致推導出的頻率方程|H| =0 計算式數量增大。因而傳遞矩陣法求解頻率方程的時間t2 遠大于分段振型函數法。

3.2.3 三裂縫比較

采用分段振型函數法和傳遞矩陣法計算三裂縫簡支梁前15 階頻率，兩種方法計算時間如圖5 所示。從圖5 中可知，當簡支梁出現三裂縫時，計算前2階頻率，傳遞矩陣法的計算時間略低于分段振型函數法，計算頻率大于2 階之后，傳遞矩陣法計算時間高于分段振型函數法，且兩種方法的計算時間差呈逐漸增大趨勢，計算差值由-0.35 s 增大至16.51 s。與3.2.2 節結果一致，分段振型函數法在求解三裂縫簡支梁低階固有頻率時的計算效率略低于傳遞矩陣法，但隨著計算頻率階數的增加，特別計算高階頻率時，分段振型函數法的計算效率遠大于傳遞矩陣法。并且計算時間曲線交點的前移，也進一步驗證了3.2.2節分析的正確。

從圖3～圖5 中可知，傳遞矩陣法在單裂縫、雙裂縫、三裂縫下求解前15 階頻率的最大計算時間分別為2.27，6.46，30.20 s，后二者時間分別增大到單裂縫的2.85 倍，13.30 倍。分段振型函數法在單裂縫、雙裂縫、三裂縫下求解前15 階頻率的最大計算時間分別為2.52，2.78，13.69 s，后二者時間分別增大到單裂縫的1.10倍，5.43倍。結果表明，隨著裂縫數量的增加，求解固有頻率的計算時間顯著增加，傳遞矩陣法計算時間增長速度遠大于分段函數法。

4 結論

1）基于開裂梁局部柔度模型，采用無質量扭轉彈簧模擬裂縫，推導了帶任意數量開口裂縫的簡支梁動力特性兩種解析求解方法，并與文獻結果對比，驗證了傳遞矩陣法和分段振型函數法求解帶裂縫梁橋動力特性的可靠性。

2）求解單裂縫簡支梁固有頻率，計算時間均小于0.26 s，時間差值由-0.28 s 增大至-0.25 s，兩種方法均具有良好的計算效率，傳遞矩陣法計算效率略高于分段振型函數法，且差值絕對值逐漸減小；求解多裂縫簡支梁固有頻率，雙裂縫下時間差值由-0.32 s 增大至3.61 s，三裂縫下時間差值由-0.35 s增大至16.51 s，分段振型函數法計算效率明顯優于傳遞矩陣法，特別是計算高階頻率。

3）裂縫參數對求解簡支梁固有頻率計算效率影響不同，隨著裂縫數量增加，固有頻率計算時間顯著增加，傳遞矩陣法最大計算時間分別增大到2.85 倍，13.30 倍，分段振型函數法分別增大到1.10倍，5.43倍。

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第一作者：桂水榮（1979—），女，副教授，博士，碩士生導師，研究方向為公路橋梁車橋耦合振動，損傷梁橋動力特性及承載性能，橋梁施工技術。E-mail：guishuirong@163.com。

通信作者：譚銘軍（1996—），男，碩士研究生，研究方向為橋梁損傷。E-mail：1563005054@qq.com。

（責任編輯：吳海燕）

基金項目：國家自然科學基金項目（52268026）