基于深度學習的“相似變換運動軌跡”課堂設計

顧桂新 趙毓君

項目信息：廣州市教學成果培育項目（Guangzhou teaching achievement cultivation project）“指向深度學習知識可視化原理的初中數學混合式教學的研究與實踐”，項目編號為2023128470.

摘要：初中數學深度學習的教學設計重點在于通過精心設計問題情境和學習任務，引發學生認知沖突和深度思考.基于深度學習的“相似變換運動軌跡”課堂設計，引領學生經歷問題情境、嘗試猜想、問題驅動、遷移應用等探究過程，拓展學生的思維深度，培養學生的數學核心素養.

關鍵詞：深度學習；相似變換；運動軌跡

初中數學深度學習是指在教師引領下，學生圍繞具有挑戰性的數學學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的數學學習過程［1］.本課堂設計以學生為主體，教師進行引導，并采用探究式和問題式相結合的教學方法實施教學.首先通過嘗試猜想的學習經驗總結歸納出研究相似變換運動軌跡的一般經驗，獲得研究特殊圖形相似變換特征的方法，從知識層面上升到方法層面；然后以小組為單位，探究新的圖形相似變換運動軌跡的特征，引導學生在探究過程中，獲得研究相似變換運動軌跡的方法，并深入思考面對不同情況應采取的方案.

1 情境設置，以舊引新

學生已經學習了“三角形”“全等三角形”“軸對稱”等知識點，如何從這些舊知識出發，使學生想到相似變換運動軌跡呢？

問題1? 如圖1，在等腰直角三角形ABC中，D為斜邊BC上一點，若△ADE是以DE為斜邊的等腰直角三角形，求證：BD=CE.

設計意圖：通過證明BD=CE，明確“△ABD≌△ACE”，喚醒學生的知識儲備.

問題2? 在問題1的基礎上，添加條件“D為BC上動點”，求證：BD=CE.

設計意圖：通過動態改變點D的位置，點D在BC上運動，△ABD與△ACE總是全等，引導學生得到“當點D在線段BC上移動時，BD=CE”.

2 通過嘗試，大膽猜想，導出主題

問題3? 在等腰直角三角形ABC中，D為斜邊BC上動點，若△DAE為等腰直角三角形（∠DAE為90°），當點D在線段BC上移動，如圖2，猜一猜：點E的運動軌跡是什么圖形？

設計意圖：在問題2的基礎上引出本節課主題“相似變換的運動軌跡”，同時通過問題2的知識鋪墊，引導學生從“特殊到一般”探究規律的方法，通過觀察，嘗試歸納點E的運動軌跡形狀.

在問題3中，學生通過取幾個不同D點，畫出相應的點E，再結合幾何畫板的演示（如圖3）和問題2的知識儲備，猜想：點E的運動軌跡在直線CE上，且長度等于BC，與BC夾角為90°.接下來就需要證明猜想的正確性.

3 問題驅動，突出思維之道

證明點E的運動軌跡在直線CE上，且長度等于BC，與BC夾角為90°，通常從“運動中的相等線段”的基本圖形尋找點D運動時，點E如何運動，而證明線段相等可以運用“全等三角形”解決.若沒有現成的“全等三角形”，就需要構造，這是初中數學學習的難點.

問題4? 為什么點D在線段BC上運動時，點E運動的軌跡是線段呢？

設計意圖：由教師先引導學生構造三角形，證明全等三角形，得到BD=CE，從而得到點D在BC運動時，點E在CE上運動.把證明運動軌跡是線段轉化為證明兩線段相等.

解法：如圖4，連接CE，構造△ACE，證明△ABD≌△ACE.

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∠2+∠3=90°.

∴∠1=∠2.

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）.

∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°.

∴當點D在BC上運動時，點E的運動軌跡在直線CE上，且長度等于BC.

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°.

上述解法是學生通過猜測、嘗試，在教師指導下得出的證明方法.啟發學生基于舊有經驗，突破思維局限，創新研究思路，完成探索推理，概括獲得新知.

問題5? 如圖5，在等邊三角形ABC中，D為BC邊上動點，若△ADE為等邊三角形，當點D在線段BC上移動，點E的運動軌跡是什么圖形？

設計意圖：通過對特殊圖形的改變，對于每一種圖形結論的猜想與證明，引導學生善于發現規律，并體會運動變化中不變的規律.

問題5的結論：因為點D在BC邊上運動，且△ADE是等邊三角形，所以，點E的運動軌跡在直線CE上，且長度等于BC，與BC夾角為120°.解法與問題4類似，只是在證明∠BAD=∠CAE時，用到60°角.

問題6? 如圖6，AB=AC，點D在BC上運動，AD=AE，∠BAC=∠DAE，當點D在線段BC上移動，點E的運動軌跡是什么圖形？

設計意圖：通過由特殊圖形到一般圖形的變換，對于每一種圖形結論的猜想與證明，引導學生善于發現規律，并體會運動變化中不變的規律.對問題4、問題5的解決，由淺入深、逐層遞增，學生已經有解題思路，但需要深度加工，抽象出等腰三角形相似變換運動軌跡的規律.同時，變式也促進了學生的深度學習.

4 遷移應用，揭示問題本質規律，觸類旁通

通過對等腰三角形相似變換運動軌跡的規律探究，得出規律：點D在線段BC上運動，點E的運動軌跡在直線CE上，且長度等于BC，與BC夾角等于等腰三角形底角的兩倍（即2∠C）.

問題7? 如圖7，已知AB=AC，D是AC上一個動點，E，C位于BD兩側，BD=BE，∠BAC=∠DBE=45°，連接AE.當∠CDB=度時，AE最小.

設計意圖：在前面知識學習的基礎上設置同類型題目進行練習，加以鞏固.但是，問題7是在前面知識的基礎上又增加新的情境，從一個具有挑戰性的問題出發，運用己有的知識和經驗，經歷研究等腰三角形相似變換運動軌跡的完整過程，將在學習知識的過程中積累的經驗提升到一般的方法層面，整體把握研究相似變換運動軌跡的方法.加強相似變換運動軌跡的學習深度.

解法：如圖8，因為D是AC上一個動點，△BDE是等腰三角形，構造等腰三角形BCF，BC=BF，所以點E的運動軌跡在直線FE上，且等于AC的長，∠CFE=135°（證明△BCD≌△BFE），則FE⊥AB.根據垂線段最短，當點E在AB上時，AE最小，此時∠DAE=∠DBE=45°，故∠BDC=90°.

5 結語

基于深度學習理念下的探究，需要從中找準適合學習的問題，創設情境，提升探究成效；逐步引導，激活學生的思維.初中數學深度學習的教學設計，重點在于通過精心設計問題情境和學習任務，引發學生認知沖突和深度思考.

本課堂設計，從特殊到一般，給學生創造觀察、猜想、探究、邏輯推理等學習機會，引導學生“從圖形的特征中抽象出一般規律和結構”，讓學生在變式中提升求知欲，凸顯學生學習主體地位，克服學習中的思維定勢.深挖知識點之間的聯系，盡量將知識點進行有機整合，促進學生的深度學習.

參考文獻：

［1］

劉曉玫.深度學習：走向核心素養（學科教學指南·初中數學）［M］.北京：教育科學出版社，2019.