找準問題方向 挖掘問題本質

錢云華

1 教學背景

1.1 教學分析

在本課教學前，學生已經學習了用尺規作線段、作角的基本方法，具備一定的操作經驗.不過以上基本作圖的方法分散于不同的章節，影響知識的系統化建構，使得學生綜合運用知識的能力還比較欠缺.另外，因受“講授式”教學模式的影響，學生作圖時大多依賴于模仿，對“為什么這樣做”的理解還不夠深入.在本節課中，教師從學生已有經驗出發，帶領學生深度挖掘問題的本質，讓學生在掌握尺規作圖基本方法的同時，明晰尺規作圖的原理，初步建立尺規作圖的知識體系，逐漸將感性認識上升至理性認識.

1.2 教學目標

（1）會用尺規作已知角的平分線，并證明作法的正確性；

（2）會用尺規過一點作已知直線的垂線，并證明作法的正確性；

（3）通過比較探索不同作圖方法，掌握知識與方法的聯系和本質，優化認知結構，培養創新能力.

1.3 教學重難點

理解并掌握作已知角的平分線和過一點作已知直線的垂線的方法及原理，并能證明其正確性.

2 教學設計

2.1 回顧舊知，明晰原理

問題1? 回憶利用尺規作角、作線段的過程，回答以下問題：

（1）作圖中，直尺和圓規各起到什么作用？

（2）按照以上方法操作，為什么所作的兩個角相等呢？

（3）你還能用其他方法作一個角與已知角相等嗎？

師生活動：教師預留時間讓學生通過動手操作，回顧作一條線段與已知線段相等及一個角與已知角相等的基本步驟，并結合以上操作過程理解尺規作圖的本質.對于問題（1），通過分析易于發現用直尺可以作直線、線段、射線，其作圖原理為兩點確定一條直線；用圓規可以作圓弧，其作圖原理為半徑相等.通過分析直尺和圓規的功能，為接下來自主探究作圖方法奠基.在探索問題（2）時，教師讓學生口述作圖過程，并展示圖1，根據三邊相等易證△MON≌△PEQ，從而得到∠E=∠O.充分思考與交流之后，教師引導學生對問題進行歸納總結，從而明晰作一個角等于已知角的基本思路是構造全等三角形，可以通過截取相等線段來實現.

在探索問題（3）時，教師引導學生思考：如何用一副三角板作與已知角相等的角？讓學生得出如圖2所示的圖形，由此得到作與已知角相等的角的又一方法，即通過平行得到角相等的信息，如作DE∥AB，DF∥AC，可得∠D=∠A.

教學說明：教師結合教學內容精心設計問題，通過對知識的再分析幫助學生跳出淺層的認知，讓學生不僅知道怎么做，還知道為什么這么做，明晰知識背后的方法和原理，從而為接下來自主探究活動的開展奠定基礎.

2.2 自主探究，拓寬思路

問題2? 如何作已知角的平分線？

（1）結合已有知識和經驗，自主探索作已知角的平分線的方法.

（2）作任意角的平分線，并加以證明.

（3）合作交流，探索其他作已知角的平分線的方法.

師生活動：教學中，教師首先預留時間讓學生自主探究，然后進行師生互動交流.結合作線段的原理不難發現，只要用尺規確定一點，即可作出角平分線.在探索過程中，教師引導學生反向思考.如圖3，

圖3

設OP是∠AOB的角平分線，即∠AOP=∠BOP，結合“作一個角等于已知角”的經驗，嘗試構造全等三角形.基于此，只要利用圓規截相等的線段OC=OD，然后作線段PC=PD，即可找到點P.可見，結合“作一個角等于已知角”的經驗及“作一條線段等于已知線段”的方法，即可作出已知角的平分線.結合探索問題（1）的經驗，學生易于理解和掌握作已知角的平分線的方法（如圖4）.

同時，通過經歷以上自主探究的過程，學生明晰作角平分線的基本思路為構造全等三角形.這樣，學生可以輕松地理解“這樣作圖為什么相等”，使證明變得更加輕松、自然.在探索問題（3）的過程中，教師要充分發揮集體優勢，鼓勵學生合作探究，以此拓寬學生的視野，幫助學生積累作圖經驗.在教師的啟發與指導下，學生通過合作探究得出了其他三種作圖方法.

教學說明：數學學習是一個不斷積累、不斷發展的過程.教學中，教師不要急于將結果呈現給學生，應預留充足的時間讓學生思考與交流，借助已有知識、經驗，尋找解決新問題的思路與方法.在探索作已知角的平分線的過程中，教師引導學生利用假設法，逐步分析問題解決所需的條件，發現通過構造全等三角形可以解決問題.對于構造全等三角形，教師并不滿足單一方法，而是預留充足的時間讓學生思考探索，并交流展示，結合已有的作圖經驗尋找多種構造方法，以此幫助學生積累豐富的活動經驗.同時，通過多角度分析，引導學生摸索解決問題的思路與方法，有利于揭示問題的本質，提升學生的思維品質.教學的目的不是簡單地解決問題，而是要引導學生透過問題發現問題的本質，掌握解決問題的方法.在日常教學中，教師要充分發揮其啟發者和組織者的作用，通過創設合理的問題情境來激發學生的好奇心和探究欲，引導學生結合已有知識和經驗積極嘗試，不斷開拓，以此成就更多精彩.

2.3 引導思考，歸納創新

問題3? 過一點作已知直線的垂線.

（1）在已知直線上任取一點，過該點作已知直線的垂線.

（2）過直線外一點，作已知直線的垂線，并證明其正確性.

（3）嘗試運用不同的方法過直線外一點作已知直線的垂線.

師生活動：在探索問題（1）時，教師啟發學生將該直線視為一平角，任取一點視為角的頂點，于是問題可以轉化為作已知平角的平分線，不過唯一不同的是，角平分線為射線，而垂線為直線.在探索問題（2）時，

過直線外一點作已知直線的平行線，同問題（1）的原理類似，作垂線，也垂直于已知直線.

為了讓學生能更加直觀、深刻地理解兩條直線為什么垂直，教師引導學生在圖4的基礎上進一步探究，過點C，D作直線l，觀察直線l與射線OP的位置關系.結合證明兩個三角形全等的經驗，易證直線l與射線OP垂直.理清證明思路后，預留時間讓學生獨立證明，以此深刻理解應用該方法作垂線的正確性.在探索問題（3）時，教師可以引導學生回顧作角、作線段、作垂線的思路，讓學生體會數學知識、方法間的聯系，領悟問題的本質.學生結合已有經驗，給出了兩種不同的作圖方法.

教學說明：教學中，教師引導學生從特殊情況出發，視直線為一平角，進而將問題轉化為作平角的平分線，從而借助已有經驗順利解決問題.接下來，教師引導學生將該思路向一般推廣，歸納總結基本方法.在此基礎上，教師又引導學生回顧已有的作圖方法及相關經驗，繼續探尋其他作圖方案，以此突破原有的思維限制，形成新的解題思路，培養思維的靈活性和變通性.

3 教學思考

在數學教學中，教師應認真研究教材、研究學生，掌握學生的現有水平，進而以學生“最近發展區”為出發點，結合有效的問題為已有認知與新知架橋鋪路，讓學生通過自主探究與合作交流發現解決問題的有效路徑，提高自主學習和合作學習能力.

另外，教師應重視引導學生挖掘問題的本質，讓學生獲得深層次的理解，以此有效規避簡單的模仿與套用，提高數學綜合應用能力.在數學教學中，如果僅將學習當作一種技能，學習中勢必會出現重復訓練，這樣很容易固化學生的思維，影響學生自主探究能力和創新能力的提升.因此，教學中要引導學生挖掘問題的本質，抓住解決問題的關鍵，以此實現知識的融會貫通，提高創新能力.

總之，在數學教學中，教師應預留時間讓學生去思考、去操作、去探究，幫助學生厘清問題解決背后的原理與本質，發現解決問題的一般規律與方法，以此提高分析和解決問題的能力.