中考數學探索性問題答題策略

王小琪 雷業紅

摘要：數學探索是一種重要的研究問題、解決問題的方法，也是人們探索和發現新知識的重要手段，有利于培養和發展創造思維能力.探索性問題已成為近年來中考數學的熱點題型，本文中結合中考真題，對常見的幾種探索性問題進行了歸類、整合與解析，幫助學生熟悉探索性問題的答題策略，掌握解答的方法與技巧.

關鍵詞：規律探索型；條件探索型；結論探索型；存在性探索型；嘗試性解答

初中數學課程標準要求教師“引導學生通過實踐、思考、探索、交流，獲得知識，形成技能，發展思維，學會學習”，探索性題型正是為了適應加強對學生綜合能力考查的新形勢，在近年來中考數學試題中出現的一種新穎的題型.探索性問題的解答過程本身就是一個探索、發現的過程，這一類問題對培養學生的創造性思維、想象能力、實踐能力、探索創新能力有很大的幫助.

1 規律探索型

解答規律探索類問題的策略是：運用化歸思想，根據題目的設問方式，采用“提出問題－分析問題－解決問題－深度思考”逐步深入的模式分步解答；要善于從所提供的數字或圖形信息中，尋求其內在的共同之處，找到這個存在于特殊之中的共性，也就找到了規律.

例1? （2022年江蘇省鹽城市中考試題第27題）

【發現問題】小明在練習簿的橫線上取點O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發現這些點的位置有一定的規律.

【提出問題】小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續畫圓描點，所描的點都在某二次函數圖象上.

【分析問題】小明利用已學知識和經驗，以圓心O為原點，過點O的橫線所在直線為x軸，過點O且垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標系，如圖2所示.當所描的點在半徑為5的同心圓上時，其坐標為.

【解決問題】請幫助小明驗證他的猜想是否成立.

【深度思考】小明繼續思考：設點P（0，m），m為正整數，以OP為直徑畫⊙M，是否存在所描的點在⊙M上？若存在，求m的值；若不存在，說明理由.

解析：對于“分析問題”，根據題意可知，所描的點在半徑為5的同心圓上時，其縱坐標為y=5－1=4，橫坐標

x=±52－42=±3，所以點的坐標為（－3，4）或（3，4）.

對于“解決問題”，設所描的點在半徑為n（n為正整數）的同心圓上，則該點的縱坐標為（n－1），橫坐標為±n2－（n－1）2=±2n－1，所以該點的坐標為（－2n－1，n－1）或（2n－1，n－1）.

因為（±2n－1）2=2n－1，又n－1=2n－1－12，

所以該點在二次函數y=12（x2－1），即y=12x2－12的圖象上.故

小明的猜想正確.

對于“深度思考”，假設該點在第二象限，坐標為（－2n－1，n－1），⊙M的圓心坐標為0，12m，所以由（±2n－1－0）2+n－1－12m2

=12m解得m=n2n－1=（n－1+1）2n－1=（n－1）2+2（n－1）+1n－1

=n－1+2+1n－1.又因為m，n均為正整數，

所以n－1=1，于是m=1+2+1=4.

故存在所描的點在⊙M上，m的值為4.

思路與方法：本題考查了勾股定理、二次函數圖象上點的坐標特征以及與圓有關的位置關系等知識.在“分析問題”中，根據題意可得知該點的縱坐標為4，再利用勾股定理，即可求出該點的橫坐標；在“解決問題”這一步中，設所描的點在半徑為n（n為正整數）的同心圓上，即可推知該點的縱坐標為（n－1），利用勾股定理又可得出該點的坐標為（－2n－1，n－1）或（2n－1，n－1），利用點橫、縱坐標間的關系，可得出該點在二次函數y=12x2－12的圖象上，進而即可驗證小明的猜想正確；在“深度思考”中，先假設該點的坐標為（－2n－1，n－1），再根據⊙M的圓心坐標，結合勾股定理，用含n的代數式表示出m的值，最后結合m與n均為正整數，即可求出m，n的值.

2 條件探索型

解答條件探索類問題的策略是：從結論出發，逆向追索，補充使結論成立的條件，當然很可能滿足結論的條件不唯一.這也正是開放性探索問題的一大特點.具體的解題方法因題而異，具有多樣性，值得我們不斷探索.

例2? （2022年江蘇省蘇州市中考全真模擬試題第27題）（1）【問題提出】蘇科版《數學》九年級（上冊）習題2.1有這樣一道練習題：如圖3①，BD，CE是△ABC的高，M是BC的中點，點B，C，D，E是否在以點M為圓心的同一個圓上？為什么？在解決此題時，若想要說明“點B，C，D，E在以點M為圓心的同一個圓上”，在連接MD，ME的基礎上，只需證明.

（2）【初步思考】如圖3②，BD，CE是銳角三角形ABC的高，連接DE，求證∠ADE=∠ABC.

小敏在解答此題時，利用了“圓的內接四邊形的對角互補”進行證明.（請你根據小敏的思路完成證明過程.）

（3）【推廣運用】如圖3③，BD，CE，AF是銳角三角形ABC的高，三條高的交點G叫做△ABC的垂心，連接DE，EF，FD，求證：點G是△DEF的內心.

解析：（1）根據圓的定義可知，當點B，C，D，E到點M點距離相等時，則它們在圓M上，所以只需證明“ME=MD=MB=MC”.

（2）如圖4，取BC的中點M，連接ME，MD.

由BD，CE是銳角三角形ABC的高，可知∠BDC=∠CEB=90°.

在Rt△BDC中，因為M是BC的中點，所以MD=MB=MC.

同理，可得ME=MB=MC.

所以MB=MC=MD=ME.

故四邊形BCDE是⊙M的內接四邊形.

因此∠EBC+∠EDC=180°.

又∠ADE+∠EDC=180°，所以

∠ADE=∠EBC，即∠ADE=∠ABC.

（3）證明：在圓M的內接四邊形BCDE中，可知∠CBD=∠CED.

在圓的內接四邊形EFCA中，∠CAF=∠CEF.

因為∠CBD+∠ACB=90°，

∠CAF+∠ACB=90°，所以

∠CBD=∠CAF，則∠CED=∠CEF，即

EG平分∠DEF.

同理，可知DG平分∠EDF.

所以點G是△DEF的內心.

思路與方法：本題主要考查了有關三角形、圓的綜合問題，熟練掌握三角形、圓的相關知識及證明方法是解題的關鍵.第（1）問根據圓的定義即可求解.第（2）問根據題意作圖4，取BC的中點M，再連接ME，MD；首先求出∠BDC=∠CEB=90°，然后得出MD=MB=MC=ME，即可證明四邊形BCDE是⊙M的內接四邊形，進而求證即可.第（3）問，首先在圓的內接四邊形BCDE中，可知∠CBD=∠CED，在圓的內接四邊形EFCA中，可知∠CAF=∠CEF，然后求出∠CBD=∠CAF，即可得出∠CED=∠CEF，進而得出EG平分∠DEF，同理DG平分∠EDF，即可得證.

3 結論探索型

解答結論探索類問題的策略是：采用“執因索果”的思路，從找原因開始，一步步順推前進.由于解題思路和推導的角度不同，使得答案具有不確定性.

例3? （2022年江蘇省揚州市中考試題第28題）

如圖5，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，點D在BC邊上由點C向點B運動（不與點B，C重合），過點D作DE⊥AD，交射線AB于點E.

（1）分別探索以下兩種特殊情形時線段AE與BE的數量關系，并說明理由：

①點E在線段AB的延長線上且BE=BD；

②點E在線段AB上且EB=ED.

（2）若AB=6.

①當DEAD=32時，求AE的長；

②直接寫出運動過程中線段AE長度的最小值.

解析：（1）①如圖5，因為在△ABC中，∠BAC=90°，

∠C=60°，所以∠ABC=30°.又BE=BD，所以

∠BDE=12∠ABC=15°.

所以∠BDA=90°－∠BDE=90°－15°=75°.

在△ABD中，∠BAD=180°－∠ABD－∠BDA=

180°-30°-75°=75°，則

∠BAD=∠BDA=75°，所以

AB=BD=BE.

故AE=2BE.

②如圖6，因為BE=DE，所以∠EBD=∠EDB=30°，則∠AED=60°.

所以在Rt△ADE中，

∠EAD=30°，于是

AE=2ED.

故AE=2BE.

（2）①如圖7，分別過點A，E作BC的垂線，垂足分別為G，H，易知△EGD∽△DHA（一線三垂直）.

設DE=3a，AD=2a，

則有AE=DE2+AD2=7a，BE=6－7a.

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=6，

則AC=AB3=23，BC=2AC=43.

在Rt△BEG中，∠EBG=30°，BE=6－7a，則

EG=BE2=3－72a.在Rt△AHC中，∠C=60°，AC=23，則AH=3AC2=3，DH=AD2-AH2=4a2-9.

由△EGD∽△DHA，得EDAD=EGDH，于是有

32=3－72a4a2-9，解得a1=375，a2=-37（舍）.

故AE=7a=215.

②當∠EAD=30°時，AE最小，且最小值為4.

思路與方法：本題考查幾何綜合問題，涉及到特殊直角三角形、相似、等腰三角形等知識，有一定的難度；解題的思路與方法主要體現在，能夠根據題意作出圖7，通過添加輔助線構造“一線三垂直”，運用三角形的相似性質來解決問題.

4 存在性探索型

解答存在性探索類問題的策略是：先假設所探索的對象成立（即存在），再結合題設和已學過的知識進行計算、推理與判斷.如果推出的結果符合題目要求，就肯定了存在性；如果推出的結果與題目條件或有關結論矛盾，這樣就否定了存在性.

例4? （2022年江蘇省蘇州市中考試題第27題）

如圖8，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于點D，DE∥AC，交BC于點E.

（1）若DE=1，BD=32，求BC的長；

（2）試探究ABAD－BEDE是否為定值.如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

解析：（1）因為CD平分∠ACB，所以

∠ACD=∠DCB=12∠ACB.

又∠ACB=2∠B，所以∠ACD=∠DCB=∠B.

所以CD=BD=32.又DE∥AC，則

∠ACD=∠EDC，所以∠EDC=∠DCB=∠B.

所以CE=DE=1，△CED∽△CDB.

所以CECD=CDCB，則BC=94.

（2）因為DE∥AC，所以ABAD=BCCE.

由（1）可得CE=DE，于是ABAD=BCDE.

所以ABAD－BEDE=BCDE－BEDE=CEDE=1.

故ABAD－BEDE是定值，且定值為1.

思路與方法：本題考查了相似三角形的性質與判定.第（1）問，先證明△CED∽△CDB，再根據相似三角形的性質即可求解；第（2）問，由DE∥AC，可得ABAD=BCDE，由第（1）問可得CE=DE，通過計算ABAD－BEDE=1可得證.

由上述幾類探索性問題的解答可知，解答探索性問題的思路與策略是：首先認真審題，在深刻理解題意的基礎上，針對不同的題型，從不同的側面、不同的角度，理清條件和結論之間、圖形特征與數式特征之間的關系，然后運用觀察、比較、類比、聯想、猜想、證明、計算、推斷等多種具體方法，進行嘗試性解答.