考查基本能力，重視核心素養

黃章海 汪帆

摘要：近幾年的武漢中考試題板塊之間相對保持穩定，適當創新，非常契合新課程標準理念.2023年的中考試題關注到了對學生基本能力的全面考查，充分重視數學核心素養的考查.本文中摘選了2023年中考試卷中的幾道典型試題進行賞析.

關鍵詞：基本能力;核心素養;試題賞析

1 考查理解能力，重視數學抽象

試題1? （試卷第10題）皮克定理是格點幾何學中的一個重要定理，它揭示了以格點為頂點的多邊形的面積S＝N＋12L－1，其中N，L分別表示這個多邊形內部與邊界上的格點個數．在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數的點為格點．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），則△ABO內部的格點個數是（? ）.

A．266

B．270

C．271

D．285

賞析：本題是一道數形結合的找規律問題，有兩種思考方法.如圖1，直接根據題目的條件去求△ABO內部的格點個數.先求出直線OB和直線AB的解析式，然后依次取x=1，2，3，……，19，找到格點的個數分別為28，26，25，23，22，20，19，……，2，1，總個數為（1+4+……+28）+（2+5+……+26）=145+126=271.還有一種思考方法是從題目所給的皮克定理出發，先求出△ABO的面積是300，然后求出邊界上的格點數為30+10+20=60，最后代入皮克定理即可得出△ABO內部的格點個數是271.作為選擇題的壓軸題，如果直接去求稍微有點難度，本題中介紹了皮克定理，命題人的本意是側重于考查學生對“新定理”的理解能力，將尋求內部格點個數的問題抽象成皮克定理模型，轉化為求較為簡單的面積和邊界上的格點個數問題.

2 考查幾何變換，重視邏輯推理

試題2? （試卷第21題）如圖2是由小正方形組成的8×6網格，每個小正方形的頂點叫做格點.正方形ABCD四個頂點都是格點，E是AD上的格點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

（1）在圖2（1）中，先將線段BE繞點B順時針旋轉90°，畫對應線段BF，再在CD上畫點G，并連接BG，使∠GBE＝45°；

（2）在圖2（2）中，M是BE與網格線的交點，先畫點M關于BD的對稱點N，再在BD上畫點H，并連接MH，使∠BHM＝∠MBD.

賞析：本題是以正方形網格為背景，利用無刻度直尺完成作圖的題.此題將旋轉、翻折、平移這三大幾何變換都考查到位，實現了幾何變換考點的全覆蓋.如第（1）問中涉及到旋轉和翻折變換，第（2）問中暗含平移變換等.

本題不僅要求學生有較強的動手能力和空間想象能力，還需要有一定的幾何邏輯推理能力.

如第（1）問中要畫點G使∠GBE=45°，就可以通過等腰三角形“三線合一”的性質，將其轉化為畫EF的中點（如圖3）.

第（2）問中要畫點M關于BD的對稱點N，可以根據正方形的軸對稱性和翻折全等的幾何推理去轉化.畫點H的方法較多，如果能利用所學的幾何邏輯推理轉化為平行會比較容易處理，圖4中利用“A字形”相似可推導得BN∥MH，圖5中利用構造平行四邊形得到BM∥NH，再利用軸對稱性可得四邊形BNHM為菱形，從而∠BHM=∠MBD.

3 考查應用能力，重視數學建模

試題3? （試卷第22題）某課外科技活動小組研制了一種航模飛行，通過實驗，收集了飛機相對于出發點的飛行水平距離x（單位：m）、飛行高度y（單位：m）隨飛行時間t（單位：s）變化的數據如表1.

探究發現：x與t，y與t之間的數量關系可以用我們已學過的函數來描述，直接寫出x關于t的函數解析式和y關于t的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）.

問題解決：如圖6，活動小組在水平安全線上A處設置一個高度可以變化的發射平臺試飛該航模飛機.根據上面的探究發現解決下列問題：

（1）若發射平臺相對于安全線的高度為0 m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；

（2）在安全線上設置回收區域MN，AM＝125 m，MN＝5 m．若飛機落到MN內（不包括端點M，N），求發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍.

賞析：本題是以學生比較感興趣的航模飛行為背景，以一次函數和二次函數為載體的綜合性應用題，是對學生實際應用能力的全面考查.“探究發現”直接考查用待定系數法求兩個函數的解析式，問題解決的第（1）問是根據題意列出一元二次方程，并求解方程，再代入到一次函數中求出飛機落到安全線時飛行的水平距離；第（2）問則是將實際問題轉化成不等式組來求解.本題全面考查了學生的讀題、審題能力，要求能夠在理解題意的基礎上建立數學模型，并用所學的方程和函數以及不等式的相關知識解決實際生活中的問題.

4 考查主干知識，重視數學運算

試題4? （試卷第24題）拋物線C1：y＝x2－2x－8交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于點C.

（1）直接寫出A，B，C三點的坐標.

（2）如圖7（1），作直線x＝t（0＜t＜4），分別交x軸、線段BC、拋物線C1于D，E，F三點，連接CF．若△BDE與△CEF相似，求t的值.

（3）如圖7（2），將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點為原點，直線y＝2x與拋物線C2交于O，G兩點，過OG的中點H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點，直線MO與直線GN交于點P，問點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，說明理由.

賞析：本題主要考查一次函數與二次函數的綜合運用能力，所設計的三個問題將函數的核心主干知識都一一考查到位，涉及到解一元二次方程、簡單的代數求值、利用相似比列方程求解、含字母參數的綜合計算等，重視數學運算的考查.第（1）問考查解方程和代數求值；第（2）問利用分類討論思想，通過“鉛垂線”，將相似三角形的問題轉化為線段之間的關系，然后列方程求解，如圖8（1），8（2），這都是函數中常考的主干知識；第（3）問是含字母參數的運算，先求出點H的坐標（1，2），接著設點M的坐標為（m，m2），點N的坐標為（n，n2），通過直線MN經過點H，可得m+n=mn+2，然后表示出直線MO和直線GN的解析式，求得交點P為2nn－m+2，2m+2n－4n－m+2，最后確定點P所在直線為y=2x-2.

5 考查函數圖象，重視直觀想象

試題5? （試卷第14題）我國古代數學經典著作《九章算術》記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”如圖9是善行者與不善行者行走路程s（單位：步）關于善行者的行走時間t的函數圖象，則兩圖象交點P的縱坐標是.

賞析：本題主要考查一次函數圖象的實際應用.它是一道關于行程問題的應用題，條件用古文和一次函數的圖象來表達，既直觀又簡潔，相得益彰.本題解法眾多，既可以用一次函數解析式來解決，設善行者行100步的時間為“單位1”，然后分別求出兩個一次函數的解析式，再聯立求出交點P的縱坐標；還可以利用方程組求解，設善行者走x步才能追上不善行者，此時不善行者走了y步，依據題意，可以列出方程組x－y=100，x=10060y，解得x=250，

圖10

進而得到交點P的縱坐標為250；甚至也可以利用幾何圖形中的相似關系迅速得解，

如圖10所示，由△PAB∽△PFO和△OBC∽△OPQ，可得60100－60=yP－100100，解得yP=250.這道題是數與形完美結合的典范.

6 考查統計知識，重視數據分析

試題6? （試卷第14題）某校為了解學生參加家務勞動的情況，隨機抽取了部分學生在某個休息日做家務的勞動時間t（單位：h）作為樣本，將收集的數據整理后分為A，B，C，D，E五個組別，其中A組的數據分別為0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，繪制成如表2不完整的統計表及如圖11的統計圖：

請根據以上信息解答下列問題：

（1）A組數據的眾數是.

（2）本次調查的樣本容量是，B組所在扇形的圓心角的大小是.

（3）若該校有1 200名學生，估計該校學生勞動時間超過1 h的人數.

賞析：本題是一道數據分析與統計的綜合性試題.2023年將統計方面的試題進行了整合，將求數據的眾數放到了第19題中考查，整體分值減少了3分.本題以統計學生勞動時間為載體，以頻數分布表和扇形統計圖的形式，考查了眾數、樣本容量、扇形圓心角的度數、樣本估計總體等基本常規考點.其實近幾年中考中這些內容都保持了相對的穩定，難度不高，是對學生基礎知識的考查.

一套好的中考試題應該能對數學教學起到較好的導向作用，既能全面考查初中階段學生所需掌握的基礎知識和基本能力，又能促使更多的學生參與數學思考，有利于不同層次的學生考出真實水平，最終以達到立意于能力、落實于素養的根本目的.