初中數(shù)學二次函數(shù)解題方法與技巧

王建勤

基于中考數(shù)學試題的研究可以發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)的知識點在初中數(shù)學試卷中所占比例較大，內(nèi)容較多，題目較復雜，考題難度較大.特別是二次函數(shù)問題經(jīng)常會在中考壓軸題中出現(xiàn).下面對有關二次函數(shù)的常見題型及解題方法進行總結.

1 解析式問題——找、代、解

在求解二次函數(shù)解析式的問題中，教師可以引導學生遵循“找、代、解”的解題思路，解決與二次函數(shù)有關的實際問題.

例1? 如圖1所示，對稱軸為直線x=12的拋物線經(jīng)過B（2，0），C（0，4）兩點，拋物線與x軸的另一為點A，求拋物線的解析式.

找：找出題目中拋物線上的相應坐標信息.如B（2，0），C（0，4），對稱軸直線x=12.

代：代入到二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）.

解：進一步求解二次函數(shù)解析式.

注：解析式問題需要學生具有較為扎實的二次函數(shù)學習基礎.為此，在開展解析式問題教學前，教師可以利用對分課堂教學模式，引導學生梳理二次函數(shù)基本知識，提高學生的做題效果和課堂教學效率.

2 動點問題——設、找、論

有關動點問題，主要有x軸上的動點問題、二次函數(shù)對稱軸上的動點問題以及拋物線上的動點問題三種情況.求解時，

首先假設出動點的坐標，由題干中的隱藏關系找出相應的等式，最后根據(jù)情況分類討論，并根據(jù)合理性解出正確的結果.

例2? 已知拋物線y=－2x2+2x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，若P為拋物線第一象限內(nèi)的一點，設四邊形COBP的面積為S，求S的最大值.

設：設P（n，－2n2+2n+4）（0＜n＜2）.

找：如圖2，過點P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為F，E，連接OP.由此可知S=S△COP+S△POB=12·OC·n+12·OB·（－2n2+2n+4）=－2（n－1）2+6.

論：當且僅當n=1時，S取得最大值，且最大值為6.

注：動點問題需要學生耐心思考，找出題干中的關系式，這也是二次函數(shù)動點問題的重難點所在.為此，教師要引導學生克服解決動點問題時的恐懼心理，運用二次函數(shù)動點問題的三部解題法加強訓練.

3 面積問題——找、拆、設

面積問題常以求解三角形面積或四邊形面積的形式出現(xiàn)，主要考查求解三角形面積、求解兩個三角形交點的坐標位置、求解三角形或四邊形面積最大時的動點坐標這三大問題.

例3? 如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=－x2+5x+6與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，且直線y=x-6過點B，與y軸交于點D，點C與點D關于x軸對稱，已知P是線段OB上的一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，交直線BD于點N.當△MDB的面積最大時，求點P的坐標.

根據(jù)題干，可以發(fā)現(xiàn)本道題在考查面積的基礎上，進一步提出了求點P的坐標.但仍需先求出△MDB面積的最大值，再從中尋找答案.

找：找出△MDB的面積關系.已知在△MDB中，B和D是定點，M是拋物線上的一個動點，可以使用鉛垂模型求解，即線段MN將△MDB分割為有公共底邊的兩個三角形△MND和△MNB.

拆：根據(jù)上述陳述，可以得到S△MDB=S△MND+S△MNB=12MN·|xB－xD|.

設：設點P坐標為（m，0），則M（m，－m2+5m+6），N（m，m－6），

于是MN=－m2+4m+12，所以

S△MDB=12MN·|xB－xD|=－3m2+12m+36=－3（m－2）2+48，

當且僅當m=2時，S△MDB有最大值，且最大值為48，此時點P的坐標為（2，0）.

注：教師在開展有關二次函數(shù)面積問題題型訓練時，首先要引導學生學習如何找出面積關系.教師可以引導學生復習求面積的方法，如割補法、鉛垂法等，從而提高學生的學習效率［1］.其次，利用面積求解方法引導學生靈活解決面積問題.

4 幾何圖形存在性問題——找、解、論

中考有關二次函數(shù)幾何圖形存在性問題，主要考查三角形和四邊形的存在性，且以考查特殊三角形和四邊形居多.通常幾何圖形會與面積最值或動點問題搭配考查，靈活性較高，難度較大.

例4? 如圖4所示，已知二次函數(shù)y=x2+2x－3的圖象與x軸相交于點A和B，其中點A的坐標為（－3，0），且過點B作一條直線與拋物線相交于點D（-2，-3）.過x軸上的點E（a，0）（點E在點B的右側）作直線EF∥BD，且與該拋物線相交于點F，試分析是否存在實數(shù)a，使得四邊形BDFE為平行四邊形？若存在，請求出滿足條件的實數(shù)a；若不存在，請說明理由.

找：根據(jù)題干內(nèi)容，學生能夠輕松求出直線BD的解析式為y=x-1，則直線EF的解析式為y=x-a.根據(jù)“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”這一定理可知，若想四邊形BDFE為平行四邊形，只需滿足DF與x軸平行即可.

解：若DF與x軸平行，則點D和點F的縱坐標相等，即點F的縱坐標為-3.而F為直線EF與拋物線的交點，設F的橫坐標為m，根據(jù)BE=DF，可得a-1=m+2，即m=a-3，則F（a-3，-3）.

論：將F（a-3，-3）代入y=x2+2x-3，可以解出a1=1，a2=3.

當a=1時，點E（1，0）與點B重合，不符合題意，舍去;

當a=3時，點E（3，0）符合題意.

所以，當且僅當a=3時，四邊形BDFE為平行四邊形.

注：關于二次函數(shù)幾何圖形存在性問題的內(nèi)容較為豐富，出題方式較為靈活，因此，學生需要加強訓練，把握解決二次函數(shù)幾何圖形存在性問題的解題思路，提高解題效率和解題質量.

5 最值問題——設、找、論

最值問題是二次函數(shù)的常考題型，最值問題通常與面積問題一同出現(xiàn).因此，在面對這一問題時，教師可以引導學生運用割補法或鉛垂（鉛垂高，水平寬）法求出幾何圖形的面積，再通過數(shù)式關系求出最大值或最小值.

例5? 如圖5，已知拋物y=ax2－2ax+c經(jīng)過點C（1，2），與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（-1，0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）直線y=34x交拋物線于S，T兩點，M為拋物線上A，T之間的一個動點，過M作ME垂直x軸于點E，MF⊥ST于點F，求ME+MF的最大值.

本題

根據(jù)解決解析式問題的步驟，可以很快得出拋物線y=-12x2+x+32.對于第（2）問，可以通過設、找、論的步驟求解.

設：設點M的坐標為t，－12t2+t+32，直線OT交ME于G，則Gt，34t.

找：找出ME+MF的表達式.ME=－12t2+t+32，OG=54t，

MG=－12t2+14t+32.

由sin∠OGE=sin∠MGF=45，得

MF=45MG=－25t2+15t+65.

所以，可得ME+MF=－910t2+65t+2710=－910t－232+3110.

論：當且僅當t=23時，ME+MF有最大值，且最大值為3110.

注：最值問題首先需要學生找到目標函數(shù)的表達式，然后化簡等式.其次，最值問題需要學生正確計算出數(shù)式的答案，保證運算的準確率［2］.

綜上所述，初中對二次函數(shù)的考查內(nèi)容雖然靈活復雜［3］，但是若學生能夠利用解析式問題、動點問題、面積問題、幾何圖形存在性問題和最值問題的解題方法與解題技巧，并進行適當?shù)挠柧殻湍芴岣哂嘘P二次函數(shù)的解題能力.

參考文獻：

［1］

陸立明.二次函數(shù)綜合題解題分析與備考策略——以南寧市中考數(shù)學二次函數(shù)題型為例［J］.中學教學參考，2022（17）：22-24.

［2］陳麗黎.類比探究透本質，數(shù)形結合雙翼飛——“二次函數(shù)的圖象與性質（3）”的教學設計與反思［J］.中學數(shù)學，2022（12）：45-46.

［3］王國強，華云鋒.慢教學：初中生數(shù)感培養(yǎng)的課堂新樣態(tài)——以“二次函數(shù)”單元起始課教學為例［J］.中學數(shù)學，2022（10）：7-10.